Теорема невозможности Эрроу

редактировать

В теории общественного выбора, теорема Эрроу, то общая теорема возможность или парадокс Эрроу является теорема невозможности не о том, что, когда избиратели имеют три или более различных альтернатив (вариантов), не попал в статистику голосования избирательная система может преобразовывать ранг предпочтения индивидов в community- широкий (полный и транзитивный) ранжирование, а также соответствие заданному набору критериев: неограниченная область, недиктатура, эффективность по Парето и независимость от нерелевантных альтернатив. Теорема часто цитируется в обсуждениях теории голосования, поскольку она дополнительно интерпретируется теоремой Гиббарда – Саттертуэйта. Теорема названа в честь экономиста и лауреата Нобелевской премии Кеннета Эрроу, который продемонстрировал теорему в своей докторской диссертации и популяризировал ее в своей книге 1951 года « Социальный выбор и индивидуальные ценности». Оригинальный доклад был озаглавлен «Трудность концепции социального обеспечения».

Короче говоря, теорема гласит, что нельзя создать систему ранговых выборов, которая всегда удовлетворяла бы этим трем критериям «справедливости»:

  • Если каждый избиратель предпочитает альтернативу X альтернативе Y, тогда группа предпочитает X, а не Y.
  • Если предпочтение каждого избирателя между X и Y остается неизменным, то предпочтение группы между X и Y также останется неизменным (даже если предпочтения избирателей между другими парами, такими как X и Z, Y и Z или Z и W, изменятся).
  • Не существует «диктатора»: ни один избиратель не обладает властью всегда определять предпочтения группы.

Кардинальные избирательные системы голосования не охватываются теоремой, поскольку они несут больше информации, чем порядковые номера. Однако теорема Гиббарда показывает, что стратегическое голосование остается проблемой.

Аксиоматический подход, принятый Эрроу, позволяет рассматривать все мыслимые правила (основанные на предпочтениях) в рамках единой системы. В этом смысле подход качественно отличается от более раннего подхода в теории голосования, в котором правила исследовались одно за другим. Таким образом, можно сказать, что современная парадигма теории социального выбора началась с этой теоремы.

Практические последствия этой теоремы спорны: Эрроу сказал: «Большинство систем не будут работать постоянно плохо. Все, что я доказал, - это то, что иногда все могут работать плохо».

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Заявление
    • 1.1 Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)
  • 2 Формальная формулировка теоремы
  • 3 Неофициальное доказательство
    • 3.1 Часть первая: есть "ключевой" избиратель за B, а не за A
    • 3.2 Часть вторая: ключевой избиратель для B над A является диктатором для B над C.
    • 3.3 Часть третья: существует диктатор
  • 4 Толкования
    • 4.1 Примечание: скалярное ранжирование на основе вектора атрибутов и свойства IIA
  • 5 Альтернативы, основанные на функциях профилей предпочтений
    • 5.1 Бесконечно много индивидуумов
    • 5.2 Ограничение количества альтернатив
    • 5.3 Парное голосование
    • 5.4 Ограничения домена
    • 5.5 Расслабляющая транзитивность
    • 5.6 Расслабляющее предположение IIA
    • 5.7 Ослабление критерия Парето
    • 5.8 Ослабление запрета на диктатуру
    • 5.9 Социальный выбор вместо социальных предпочтений
  • 6 Другие альтернативы
  • 7 См. Также
  • 8 ссылки
  • 9 Дальнейшее чтение
  • 10 Внешние ссылки

Заявление

Необходимость агрегировать предпочтения возникает во многих дисциплинах: в экономике благосостояния, где пытаются найти экономический результат, который был бы приемлемым и стабильным; в теории принятия решений, когда человек должен сделать рациональный выбор по нескольким критериям; и, что наиболее естественно, в избирательных системах, которые представляют собой механизмы для извлечения решения, связанного с управлением, из множества предпочтений избирателей.

Структура теоремы Эрроу предполагает, что нам нужно извлечь порядок предпочтений для данного набора вариантов (результатов). Каждый человек в обществе (или, что эквивалентно, каждый критерий решения) дает определенный порядок предпочтений по набору результатов. Мы ищем систему ранжированного голосования, называемую функцией общественного благосостояния ( правило агрегирования предпочтений), которая преобразует набор предпочтений ( профиль предпочтений) в единый глобальный порядок социальных предпочтений. Теорема Эрроу гласит, что если орган, принимающий решения, имеет по крайней мере два члена и по крайней мере три варианта выбора, то невозможно разработать функцию социального обеспечения, которая удовлетворяет всем этим условиям (считается разумным требованием справедливого избирательного процесса). system) сразу:

Недиктатура
Функция социального обеспечения должна учитывать пожелания нескольких избирателей. Он не может просто имитировать предпочтения одного избирателя.
Неограниченный домен или универсальность
Для любого набора индивидуальных предпочтений избирателей функция социального обеспечения должна давать уникальный и полный рейтинг социальных выборов. Таким образом:
  • Это должно быть сделано таким образом, чтобы в результате был составлен полный рейтинг предпочтений общества.
  • Он должен детерминированно обеспечивать одинаковый рейтинг каждый раз, когда предпочтения избирателей представлены одинаково.
Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)
Социальное предпочтение между x и y должно зависеть только от индивидуальных предпочтений между x и y ( попарная независимость). В более общем плане изменения в рейтинге отдельных лиц нерелевантных альтернатив (тех, которые не входят в определенное подмножество) не должны влиять на социальное ранжирование подмножества. Например, если кандидат х занимает социально до того кандидата у, то х должен ранжировать социально до того у даже если третий кандидат г удаляется от участия. (См. Примечания ниже.)
Монотонность, или позитивная ассоциация социальных и индивидуальных ценностей
Если какой-либо человек изменяет свой порядок предпочтений, продвигая определенный вариант, тогда порядок социальных предпочтений должен реагировать только путем продвижения этого же варианта или не изменяться, и никогда не ставя его ниже, чем раньше. Человек не должен иметь возможности навредить опциону, поставив его выше.
Не навязывание или гражданский суверенитет
Каждый возможный порядок социальных предпочтений должен быть достигнут с помощью некоторого набора индивидуальных порядков предпочтений. Это означает, что функция социального обеспечения сюръективна : она имеет неограниченное целевое пространство.

В более поздней (1963 г.) версии теоремы Эрроу критерии монотонности и неприменения были заменены на:

Эффективность Парето или единодушие
Если каждый человек предпочитает определенный вариант другому, то и результирующий порядок предпочтений общества должен быть таким же. Это, опять же, требование, чтобы функция социального обеспечения была минимально чувствительной к профилю предпочтений.

Эта более поздняя версия является более общей и имеет более слабые условия. Аксиомы монотонности, неприменения и IIA вместе подразумевают эффективность Парето, тогда как эффективность Парето (сама подразумевающая неприменение) и IIA вместе не подразумевают монотонность.

Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)

Условие IIA преследует три цели (или следствия):

Нормативный
Нерелевантные альтернативы не должны иметь значения.
Практичный
Использование минимальной информации.
Стратегический
Обеспечение правильных стимулов для правдивого раскрытия индивидуальных предпочтений. Хотя стратегическая собственность концептуально отличается от IIA, она тесно связана.

Пример Эрроу со смертью кандидата (1963, стр. 26) предполагает, что повестка дня (набор возможных альтернатив) сужается, скажем, с X = {a, b, c} до S = {a, b} из-за смерть кандидата c. Этот пример вводит в заблуждение, поскольку может создать у читателя впечатление, что МИС - это условие, включающее две повестки дня и один профиль. Дело в том, что IIA включает только одну повестку дня ({x, y} в случае попарной независимости), но два профиля. Если условие применяется к этому запутанному примеру, оно требует следующего: предположим, что правило агрегирования, удовлетворяющее IIA, выбирает b из повестки дня {a, b}, когда профиль задается (cab, cba), то есть индивидуум 1 предпочитает c вместо от a к b, 2 предпочитает c вместо b. Затем он все равно должен выбрать b из {a, b}, если профиль был, скажем,: (abc, bac); (acb, bca); (acb, cba); или (abc, cba).

Другими словами, Эрроу определяет IIA как утверждение, что социальные предпочтения между альтернативами x и y зависят только от индивидуальных предпочтений между x и y (а не от предпочтений других кандидатов).

Формальная формулировка теоремы

Пусть A будет набором результатов, N количеством голосовавших или критериев принятия решения. Мы будем обозначать множество всех полных линейных упорядочений из А на L (A).

(Строгая) функция общественного благосостояния ( правило агрегирования предпочтений) - это функция

F : L ( А ) N L ( А ) {\ Displaystyle F: \ mathrm {L (A)} ^ {N} \ to \ mathrm {L (A)}}

который агрегирует предпочтения избирателей в разовом порядке предпочтения на A.

N - кортеж ( R 1,..., R N) ∈ L (A) N предпочтений избирателей называется профиль предпочтений. В своей самой сильной и простой форме теорема о невозможности Эрроу утверждает, что всякий раз, когда множество возможных альтернатив A имеет более двух элементов, следующие три условия становятся несовместимыми:

Единодушие или слабая эффективность Парето
Если альтернатива, a, ранжируется строго выше, чем b для всех порядков R 1,…, R N, тогда a ранжируется строго выше, чем b, по F ( R 1, R 2,…, R N). (Единогласие подразумевает отказ от навязывания.)
Недиктатура
Там нет индивидуального, я, чьи строгие предпочтения всегда превалируют. То есть, нет я ∈ {1,..., N }, что для всех ( R 1,..., R N) ∈ L (А) Н, занимает строго выше, чем Ь на R я означает занимает строго выше, чем b на F ( R 1, R 2,…, R N) для всех a и b.
Независимость от нерелевантных альтернатив
Для двух профилей предпочтений ( R 1,…, R N) и ( S 1,…, S N) таких, что для всех лиц i, альтернативы a и b имеют тот же порядок в R i, что и в S i, альтернативы a и b имеют тот же порядок в F ( R 1,…, R N), что и в F ( S 1,…, S N).

Неофициальное доказательство

Основано на двух доказательствах, представленных в « Экономической теории». Для простоты мы представили все рейтинги так, как будто ничья невозможна. Полное доказательство, учитывающее возможные связи, по существу не отличается от приведенного здесь, за исключением того, что в некоторых случаях следует говорить «не выше» вместо «ниже» или «не ниже» вместо «сверху». Полная информация представлена ​​в оригинальных статьях.

Мы докажем, что любая система общественного выбора, уважающая неограниченную область, единодушие и независимость от нерелевантных альтернатив (IIA), является диктатурой. Ключевая идея состоит в том, чтобы определить основного избирателя, бюллетень которого влияет на общественный результат. Затем мы доказываем, что этот избиратель является частичным диктатором (в конкретном техническом смысле, описанном ниже). В заключение мы показываем, что все частичные диктаторы - одно и то же лицо, следовательно, этот избиратель - диктатор.

Часть первая: есть "ключевой" избиратель за B, а не за A

Часть первая: последовательно перемещайте букву B снизу вверх на бюллетенях избирателей. Избиратели, чьи изменение приводит к B быть оцениваемым над А являются ключевыми для избирателей B над A.

Скажем, есть три варианта для общества, называют их, B и C. Предположим сначала, что каждый предпочитает вариант B меньше: каждый предпочитает А к В, и каждый предпочитает C до B. По единодушию, общество также должно предпочитать как A и C к B. Назовите эту ситуацию профилем 0.

С другой стороны, если бы все предпочли B всему остальному, тогда общество было бы единогласно предпочло бы B всему остальному. Теперь расположите всех избирателей в произвольном, но фиксированном порядке, и пусть для каждого i профиль i будет таким же, как профиль 0, но переместите B в верхнюю часть бюллетеней для избирателей с 1 по i. Так профиль 1 имеет B в верхней части бюллетеня для избирателей 1, но не для любого из остальные. Профиль 2 имеет B в верхней части для избирателей 1 и 2, но не других, и так далее.

Поскольку B в конечном итоге переходит на вершину социальных предпочтений, должен существовать некоторый профиль, номер k, для которого B поднимается над A в социальном ранге. Мы называем избиратель, чье голосование изменения вызывает это произойдет в стержневую избирателю для B над A. Следует отметить, что ключевой избиратель для B над A не является, априори, таким же, как ключевым избирателем для A над B. В третьей части доказательства мы покажем, что они действительно совпадают.

Также обратите внимание, что IIA тот же аргумент применяется, если профиль 0 - это любой профиль, в котором A имеет рейтинг выше B каждым избирателем, а основным избирателем для B над A по- прежнему будет избиратель k. Ниже мы воспользуемся этим наблюдением.

Часть вторая: ключевой избиратель для B над A является диктатором для B над C.

В этой части аргумента мы ссылаемся на избирателя k, основного избирателя для B по сравнению с A, как основного избирателя для простоты. Покажем, что решение главнейших диктата избирателей общества для B над C. То есть мы показываем, что независимо от того, как голосует остальная часть общества, если основной избиратель ставит B выше C, то это общественный результат. Отметим еще раз, что диктатор для B над C является априори не то же самое, что для C над B. В третьей части доказательства мы увидим, что они тоже окажутся такими же.

Часть вторая: переключение A и B в бюллетене k-го избирателя вызывает такое же переключение на социальный результат согласно первой части аргументации. Выполнение любого или всех указанных переключений на другие бюллетени не влияет на результат.

Далее мы называем избирателей с 1 по k - 1, сегмент один, и избирателей с k + 1 по N, сегмент два. Для начала предположим, что бюллетени выглядят следующим образом:

  • Каждый избиратель в одном сегменте занимает B выше C и C выше A.
  • Решающее избиратель входит в А выше, B и B выше C.
  • Каждый избиратель в сегменте два ряда A выше B и B выше C.

Тогда аргумент в первой части (и последнее наблюдение в этой части), социетальном результат должны расцениваться A выше B. Это потому, что, за исключением изменения положения C, этот профиль такой же, как профиль k - 1 из первой части. Кроме того, был принят единогласно социетальная результат обязательно ранг B выше C. Таким образом, мы полностью знаем исход этого дела.

Теперь предположим, что стержневую движется избирателей B над A, но сохраняет С в том же положении, и представьте себе, что любое число (или все!) Других избирателей изменить свои бюллетени для перемещения B ниже C, без изменения положения А. Затем в стороне от репозиции C это то же самое, как профиль к из первой части и, следовательно, занимает социальный исход B выше A. Кроме того, согласно IIA, социальный результат должен иметь рейтинг A выше C, как и в предыдущем случае. В частности, социальный результат занимает B выше C, несмотря на то, Pivotal избиратель, возможно, был только избирателю ранга B выше C. По IIA, этот вывод справедлив независимо от того, как расположен на бюллетенях, так основной избиратель является диктатором B над C.

Часть третья: существует диктатор

Часть третья: Поскольку избиратель k является диктатором для B над C, основной избиратель для B над C должен появиться среди первых k избирателей. То есть вне второго сегмента. Кроме того, поворотные избиратели для C над B должны появиться среди избирателей к через N. То есть за пределами Первого сегмента.

В этой части аргумента мы возвращаемся к исходному порядку избирателей и сравниваем позиции разных основных избирателей (идентифицированных путем применения первой и второй частей к другим парам кандидатов). Во-первых, основной избиратель для B над C должен появиться раньше (или на той же позиции) в очереди, чем диктатор для B над C: поскольку мы рассматриваем аргумент первой части, применяемый к B и C, последовательно перемещая B наверх избирательные бюллетеней избирателей, точка опоры, где общество занимает B выше C должна прийти на или прежде чем мы достигнем диктатор B над C. Кроме того, реверсивный роли B и C, стержневой избиратель для C над B должен быть на уровне или ниже в строке, чем диктатор для B над C. Короче говоря, если k X / Y обозначает позицию основного избирателя для X над Y (для любых двух кандидатов X и Y), то мы показали

K B / C ≤ K B / A, ≤ к С / В.

Теперь, повторяя весь предыдущий аргумент с переключением B и C, мы также имеем

K C / B ≤ K B / C.

Следовательно, мы имеем

k B / C = k B / A = k C / B

и тот же аргумент для других пар показывает, что все решающие избиратели (и, следовательно, все диктаторы) занимают одну и ту же позицию в списке избирателей. Этот избиратель - диктатор на всех выборах.

Интерпретации

Хотя теорема Эрроу является математическим результатом, она часто выражается нематематическим образом с помощью таких утверждений, как « ни один метод голосования не является справедливым, каждый метод рейтингового голосования ошибочен или единственный метод голосования, который не ошибочен, - это диктатура». Эти утверждения являются упрощениями результата Эрроу, которые не всегда считаются истинными. Теорема Эрроу утверждает, что детерминированный механизм предпочтительного голосования, то есть такой, при котором порядок предпочтения является единственной информацией в голосовании, а любой возможный набор голосов дает уникальный результат, не может одновременно соответствовать всем условиям, приведенным выше..

Различные теоретики предлагали ослабить критерий IIA как выход из парадокса. Сторонники ранжированных методов голосования утверждают, что МИС является неоправданно сильным критерием. Это одна из наиболее эффективных избирательных систем. Сторонники этой позиции указывают, что несоблюдение стандартного критерия IIA тривиально подразумевается возможностью циклических предпочтений. Если избиратели проголосовали следующим образом:

  • 1 голос за Agt; Bgt; C
  • 1 голос за Bgt; Cgt; A
  • 1 голос за Cgt; Agt; B

тогда предпочтение попарного большинства состоит в том, что A побеждает B, B побеждает C, а C побеждает A: это дает предпочтение камень-ножницы-бумага для любого парного сравнения. В этом случае любое правило агрегирования, удовлетворяющее самому основному мажоритарному требованию о том, что кандидат, получивший большинство голосов, должен победить на выборах, не будет соответствовать критерию IIA, если требуется, чтобы социальные предпочтения были транзитивными (или ациклическими). Чтобы убедиться в этом, предположим, что такое правило удовлетворяет требованиям IIA. Поскольку предпочтения большинства соблюдаются, общество предпочитает A вместо B (два голоса за Agt; B и один за Bgt; A), B за C и C за A. Таким образом создается цикл, который противоречит предположению о том, что социальные предпочтения переходный.

Итак, что действительно показывает теорема Эрроу, так это то, что любая избирательная система с преобладанием большинства является нетривиальной игрой, и эту теорию игр следует использовать для прогнозирования результатов большинства механизмов голосования. Это можно рассматривать как обескураживающий результат, потому что игра не обязательно должна иметь эффективное равновесие; например, голосование может привести к альтернативе, которая никому не нужна изначально, но все проголосовали за.

Примечание: скалярное ранжирование на основе вектора атрибутов и свойства IIA.

Свойство IIA может не соблюдаться при принятии человеком решений реалистичной сложности, потому что скалярное ранжирование предпочтений эффективно выводится из взвешивания - обычно не явного - вектора атрибутов (одна книга, посвященная теореме Эрроу, предлагает читателю рассмотреть связанная проблема создания скалярной меры для соревнований по десятиборью в легкой атлетике - например, как сделать получение 600 очков в соревновании по дискусу «соизмеримым» с получением 600 очков в беге на 1500 м), и это скалярное ранжирование может сильно зависеть от взвешивания различных атрибутов, при этом само неявное взвешивание зависит от контекста и контраста, создаваемого явно «неуместными» выборами. Эдвард МакНил обсуждает эту проблему чувствительности в отношении рейтинга «самого пригодного для жизни города» в главе «Обзоры» своей книги « Математическая семантика: заставляя числа говорить разумно» (1994).

Альтернативы, основанные на функциях профилей предпочтений

Пытаясь избежать отрицательного заключения теоремы Эрроу, теоретики социального выбора исследовали различные возможности («выходы»). В этом разделе представлены подходы к

  • правила агрегации (функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в социальное предпочтение), и
  • другие функции, такие как функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в альтернативный.

Поскольку эти два подхода часто пересекаются, мы обсуждаем их одновременно. Для этих подходов характерно то, что они исследуют различные возможности, устраняя, ослабляя или заменяя одно или несколько условий (критериев), наложенных Эрроу.

Бесконечно много индивидуумов

Некоторые теоретики (например, Фишберн, Кирман и Зондерманн) отмечают, что если отказаться от предположения, что существует только конечное число индивидов, можно найти правила агрегации, удовлетворяющие всем остальным условиям Эрроу.

Однако такие правила агрегирования практически представляют ограниченный интерес, поскольку они основаны на ультрафильтрах, крайне неконструктивных математических объектах. В частности, Кирман и Зондерманн утверждают, что за таким правилом стоит «невидимый диктатор». Михара показывает, что такое правило нарушает алгоритмическую вычислимость. Эти результаты можно увидеть, чтобы установить надежность теоремы Эрроу.

С другой стороны, ультрафильтры (действительно, построение их в бесконечной модели опирается на аксиому выбора ) также присущи конечным моделям (без необходимости в аксиоме выбора). Их можно интерпретировать как решающие иерархии с той лишь разницей, что верхний уровень иерархии - диктатор Эрроу - всегда существует в конечной модели, но может быть недостижим (= отсутствовать) в бесконечной иерархии. В последнем случае «невидимый диктатор» - не что иное, как сама бесконечная решающая иерархия. При желании его можно дополнить предельной точкой, которая потом станет «видимым диктатором». Поскольку диктаторы неотделимы от решающих иерархий, запрет диктатуры автоматически запрещает решающие иерархии, что гораздо менее самоочевидно, чем запрет диктатуры. См. Также параграф «Ослабление запрета диктатуры».

Ограничение количества альтернатив

Когда есть только две альтернативы, из которых можно выбирать, теорема Мэя показывает, что только правило простого большинства удовлетворяет определенному набору критериев (например, равное отношение к людям и альтернативам; усиление поддержки выигрышной альтернативы не должно превращаться в проигрышную).. С другой стороны, когда есть по крайней мере три альтернативы, теорема Эрроу указывает на сложность коллективного принятия решений. Почему существует такая резкая разница между случаем менее трех альтернатив и случаем не менее трех альтернатив?

Теорема Накамуры (о сути простых игр) дает более общий ответ. Он устанавливает, что если количество альтернатив меньше определенного целого числа, называемого числом Накамуры, то рассматриваемое правило без проблем определит «лучшие» альтернативы; если количество альтернатив больше или равно числу Накамуры, то правило не всегда будет работать, поскольку для некоторых профилей возникает парадокс голосования (такой цикл, как альтернатива A, социально предпочтительна альтернативе B, B к C и C к A) возникнет. Поскольку правило большинства по числу Накамуры равно 3 (за исключением случая четырех человек), из теоремы Накамуры можно сделать вывод, что правило большинства может иметь дело с двумя альтернативами рационально. Некоторые правила супербольшинства (например, требующие 2/3 голосов) могут иметь число Накамуры больше 3, но такие правила нарушают другие условия, данные Стрелкой.

Парное голосование

Обычный способ «обойти» парадокс Эрроу - ограничить набор альтернатив двумя альтернативами. Таким образом, всякий раз, когда необходимо проверить более двух альтернатив, очень заманчиво использовать механизм, который объединяет их и голосует попарно. Каким бы заманчивым ни казался этот механизм на первый взгляд, он в целом далек от удовлетворения даже эффективности по Парето, не говоря уже о IIA. Конкретный порядок определения пар сильно влияет на результат. Это не обязательно плохая особенность механизма. Во многих видах спорта для выбора победителя используется турнирный механизм - по сути, механизм спаривания. Это дает значительные возможности для победы более слабым командам, что добавляет интереса и напряженности на протяжении всего турнира. Это означает, что человек, контролирующий порядок парных выборов (составитель повестки дня), имеет большой контроль над результатом. В любом случае, если рассматривать весь процесс голосования как одну игру, теорема Эрроу все еще применима.

Ограничения домена

Другой подход - ослабление условия универсальности, что означает ограничение области правил агрегирования. Самый известный результат в этом направлении предполагает предпочтение «одного пика».

Дункан Блэк показал, что если есть только одно измерение, по которому каждый человек имеет предпочтение «с одним пиком», то все условия Эрроу выполняются по правилу большинства. Предположим, что существует некоторый предопределенный линейный порядок альтернативного множества. Предпочтение индивида является односторонним по отношению к этому порядку, если у него есть какое-то особое место, которое ему больше всего нравится на этой линии, и его неприязнь к альтернативе становится все больше, когда альтернатива уходит дальше от этого места (т. Е. График его функция полезности имеет один пик, если альтернативы расположены в соответствии с линейным порядком на горизонтальной оси). Например, если избиратели голосовали за то, где установить громкость для музыки, было бы разумно предположить, что у каждого избирателя было свое собственное идеальное предпочтение громкости, и что по мере того, как громкость постепенно становилась слишком громкой или слишком тихой, они были бы все более недовольны. Если домен ограничен профилями, в которых каждый человек имеет одно пиковое предпочтение относительно линейного упорядочения, тогда простые правила агрегирования, которые включают правило большинства, имеют ациклическое (определенное ниже) социальное предпочтение, следовательно, «лучшую» альтернативу. В частности, когда имеется нечетное число индивидуумов, тогда социальное предпочтение становится транзитивным, и социально «лучшая» альтернатива равна медиане всех пиков индивидов ( теорема Блэка о медиане избирателя ). При однопостовых предпочтениях правило большинства в некоторых отношениях является наиболее естественным механизмом голосования.

Можно определить понятие «односторонних» предпочтений на многомерных наборах альтернатив. Однако определить «медианное» пиков можно только в исключительных случаях. Вместо этого мы обычно имеем деструктивную ситуацию, предложенную теоремой Маккелви о хаосе : для любых x и y можно найти такую ​​последовательность альтернатив, что x превосходит x 1 большинством, x 1 на x 2, вплоть до x k на у.

Расслабляющая транзитивность

Ослабляя транзитивность социальных предпочтений, мы можем найти правила агрегирования, которые удовлетворяют другим условиям Эрроу. Однако, если мы налагаем нейтралитет (равное отношение к альтернативам) таким правилам, найдется человек, имеющий «вето». Так что возможности, предоставляемые этим подходом, также очень ограничены.

Во-первых, предположим, что социальное предпочтение квазитранзитивно (а не транзитивно); это означает, что строгое предпочтение («лучше, чем») транзитивно: если и, то. Кроме того, существуют недиктаторские правила агрегирования, удовлетворяющие условиям Эрроу, но такие правила олигархичны. Это означает, что существует коалиция L такая, что L является решающей (если каждый член в L предпочитает x вместо y, тогда общество предпочитает x вместо y), и каждый член в L имеет право вето (если он предпочитает x вместо y, то общество не может предпочесть y вместо x). {\ Displaystyle \ succ} Икс у {\ displaystyle x \ succ y} у z {\ displaystyle y \ succ z} Икс z {\ Displaystyle х \ succ z}

Во-вторых, предположим, что социальное предпочтение является ациклическим (а не транзитивным): не существует альтернатив, образующих цикл (). Затем, при условии, что существует по крайней мере столько же альтернатив, сколько индивидов, правило агрегирования, удовлетворяющее другим условиям Эрроу, является коллегиальным. Это означает, что есть индивиды, которые принадлежат к пересечению («коллегии») всех решающих коалиций. Если есть кто-то, у кого есть право вето, то он принадлежит к коллегии. Если правило считается нейтральным, значит, у него есть кто-то, кто имеет право вето. Икс 1 , , Икс k {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}} Икс 1 Икс 2 , Икс 2 Икс 3 , , Икс k - 1 Икс k , Икс k Икс 1 {\ Displaystyle x_ {1} \ succ x_ {2}, \; x_ {2} \ succ x_ {3}, \; \ ldots, \; x_ {k-1} \ succ x_ {k}, \; x_ {k} \ succ x_ {1}}

Наконец, теорема Брауна оставила открытым случай ациклических социальных предпочтений, когда количество альтернатив меньше количества индивидов. Однозначный ответ на этот случай можно дать с помощью числа Накамуры. См. Ограничение количества альтернатив.

Расслабляющее предположение IIA

Существует множество примеров правил агрегирования, удовлетворяющих условиям Эрроу, за исключением IIA. Правило Борда является одним из них. Однако эти правила уязвимы для стратегических манипуляций со стороны отдельных лиц.

См. Также « Интерпретации теоремы выше».

Ослабление критерия Парето

Уилсон (1972) показывает, что если правило агрегации не налагается и не равно нулю, то существует либо диктатор, либо обратный диктатор, при условии, что условия Эрроу, отличные от Парето, также выполняются. Здесь обратный диктатор является физическим лицом я так, что всякий раз, когда я предпочитаю е к у, то общество предпочитает у к  й.

Амартья Сен предложил как ослабление транзитивности, так и устранение принципа Парето. Он продемонстрировал еще один интересный результат невозможности, известный как «невозможность паретианского либерала» (подробности см. В разделе « Либеральный парадокс» ). Сен продолжал утверждать, что это демонстрирует бесполезность требований оптимальности по Парето в отношении механизмов голосования.

Ослабление запрета диктатуры

Андраник Тангян (2010) ввел меры «репрезентативности» диктатора, например, «индекс популярности», определяемый как средний размер социальной группы, чьи парные предпочтения разделяются (= представлены) диктатором, усредненные по всем парам альтернатив и все профили предпочтений. Было показано, что всегда существуют «хорошие» диктаторы Эрроу, которые в среднем составляют большинство. Поскольку они являются скорее представителями общества, как демократически избранные президенты, нет очевидных причин для их запрета. Ограничивая понятие диктатора только «плохими», то есть теми, кто в среднем представляет меньшинство, аксиомы Эрроу оказались непротиворечивыми.

Социальный выбор вместо социальных предпочтений

При принятии социальных решений ранжирование всех альтернатив обычно не является целью. Часто бывает достаточно найти альтернативу. Подход, сфокусированный на выборе альтернативы, исследует либо функции социального выбора (функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в альтернативу), либо правила социального выбора (функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в подмножество альтернатив).

Что касается функций социального выбора, хорошо известна теорема Гиббарда – Саттертуэйта, которая утверждает, что если функция социального выбора, диапазон которой содержит по крайней мере три альтернативы, является стратегически обоснованной, то она является диктаторской.

Что касается правил социального выбора, мы должны предположить, что за ними стоит социальное предпочтение. То есть мы должны рассматривать правило как выбор максимальных элементов («лучших» альтернатив) некоторого социального предпочтения. Набор максимальных элементов социального предпочтения называется ядром. Условия существования альтернативы в активной зоне исследовались двумя подходами. Первый подход предполагает, что предпочтения как минимум ацикличны (что необходимо и достаточно для того, чтобы предпочтения имели максимальный элемент на любом конечном подмножестве). По этой причине он тесно связан с расслабляющей транзитивностью. Второй подход отбрасывает предположение об ациклических предпочтениях. Кумабе и Михара придерживаются этого подхода. Они делают более прямое предположение, что индивидуальные предпочтения имеют максимальные элементы, и исследуют условия, при которых социальные предпочтения имеют максимальные элементы. См. Число Накамуры для подробностей об этих двух подходах.

Другие альтернативы

Первоначально Эрроу отверг кардинальную полезность как значимый инструмент для выражения общественного благосостояния и поэтому сосредоточил свою теорему на ранжировании предпочтений, но позже заявил, что кардинальная система оценок с тремя или четырьмя классами «вероятно, лучшая».

Структура Эрроу предполагает, что индивидуальные и социальные предпочтения являются «порядками» (т. Е. Удовлетворяют полноте и транзитивности) на множестве альтернатив. Это означает, что если предпочтения представлены функцией полезности, ее значение является порядковой полезностью в том смысле, что оно имеет смысл, поскольку большее значение указывает на лучшую альтернативу. Например, наличие порядковых полезностей 4, 3, 2, 1 для альтернатив a, b, c, d, соответственно, то же самое, что и наличие 1000, 100,01, 100, 0, что, в свою очередь, то же самое, что наличие 99, 98, 1,.997. Все они представляют порядок, в котором предпочтительнее от b до c до d. Допущение порядковых предпочтений, исключающее межличностные сравнения полезности, является неотъемлемой частью теоремы Эрроу.

По разным причинам подход, основанный на кардинальной полезности, где полезность имеет значение, выходящее за рамки простого ранжирования альтернатив, не является распространенным в современной экономике. Однако, как только кто-то принимает этот подход, можно принимать во внимание интенсивность предпочтений или сравнивать (i) выгоды и потери полезности или (ii) уровни полезности у разных людей. В частности, Харсаньи (1955) дает обоснование утилитаризма (который оценивает альтернативы с точки зрения суммы индивидуальных полезностей), исходящего от Джереми Бентама. Хаммонд (1976) дает обоснование принципа максимина (который оценивает альтернативы с точки зрения полезности для наиболее неблагополучного индивида), исходящего от Джона Ролза.

Не все методы голосования используют в качестве входных данных только упорядочивание всех кандидатов. Методы, которые не используются, часто называемые «рейтинговыми» или «кардинальными» (в отличие от «рейтинговых», «порядковых» или «предпочтительных») избирательных систем, можно рассматривать как использование информации, которую может передать только кардинальная полезность. В таком случае неудивительно, что некоторые из них удовлетворяют всем переформулированным условиям Эрроу. Таким методом является голосование по диапазону. Правильность такого утверждения зависит от того, как переформулировать каждое условие. Другие рейтинговые избирательные системы, которые соответствуют определенным обобщениям критериев Эрроу, включают одобрительное голосование и решение большинства. Обратите внимание, что теорема Эрроу не применима к таким методам с одним победителем, как эти, но теорема Гиббарда все еще применима: ни одна исправная избирательная система не является полностью свободной от стратегии, поэтому неформальное изречение «ни одна избирательная система не идеальна» все еще имеет математический смысл. основание.

Наконец, Джеймс М. Бьюкенен, Чарльз Плотт и другие критикуют это, хотя и не являются подходом, исследующим какие-то правила. Он утверждает, что глупо думать, что могут быть социальные предпочтения, аналогичные индивидуальным предпочтениям. Эрроу (1963, глава 8) отвечает на подобную критику, замеченную в ранний период, которая, по крайней мере частично, вызвана недопониманием.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-31 05:14:34
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте