Теорема о перехвате, также известная как теорема Фалеса или основная теорема пропорциональности, является важной теоремой в элементарной геометрии о соотношениях различных линий сегменты, которые создаются, если две пересекающиеся линии пересекаются парой параллелей. Это эквивалентно теореме о соотношениях в подобных треугольниках. Традиционно его приписывают греческому математику Фалесу.
Предположим, что S - точка пересечения двух прямых, а A, B - точки пересечения первой линии с двумя параллелями, так что B находится дальше от S, чем A и аналогично C, D являются пересечениями второй линии с двумя параллелями, так что D находится дальше от S, чем C.
Первая теорема о пересечении показывает отношения сечения от линий, второй - отношения сечений от линий, а также сечений от параллелей, наконец, третий показывает отношения сечений от параллелей.
Теорема о перехвате тесно связана с подобием. Это эквивалентно концепции похожих треугольников, то есть может использоваться для доказательства свойств подобных треугольников, а похожие треугольники могут использоваться для доказательства теоремы о перехвате. Сопоставляя одинаковые углы, вы всегда можете поместить два одинаковых треугольника друг в друга, чтобы получить конфигурацию, в которой применяется теорема о пересечении; и , наоборот, конфигурация теоремы о перехвате всегда содержит два одинаковых треугольника.
В нормированном векторном пространстве аксиомы , касающиеся скалярного умножения (в частности и ) убедитесь, что выполняется теорема о перехвате. Имеем
Есть три известные проблемы элементарной геометрии, которые были поставлены греками в терминах построения циркуля и линейки :
Это потребовалось более 2000 лет, пока все три из них не были окончательно продемонстрированы в XIX веке с использованием данных инструментов, с использованием алгебраических методов, которые стали доступными в тот период времени. Чтобы переформулировать их в алгебраических терминах с использованием расширений полей, необходимо сопоставить полевые операции с конструкциями компаса и линейки (см. конструктивное число ). В частности, важно гарантировать, что для двух данных сегментов линии можно построить новый сегмент, длина которого равна произведению длин двух других. Точно так же нужно иметь возможность построить для отрезка линии длиной новый отрезок линии длиной . Теорема о перехвате может использоваться, чтобы показать, что в обоих случаях такая конструкция возможна.
Построение продукта | Построение инверсии |
Чтобы разделить произвольный отрезок линии в соотношении , нарисуйте произвольный угол в A с помощью одной ногой. На другой ноге постройте равноудаленных точек, затем проведите линию через последнюю точку и B и параллельную линию через m-ю точку. Эта параллельная линия делит в нужном соотношении. На рисунке справа показано разбиение отрезка в соотношение. |
Согласно некоторым историческим источникам греческий математик Фалес применил теорему о перехвате, чтобы определить высоту пирамиды Хеопса. Следующее описание иллюстрирует использование теоремы о перехвате для вычисления высоты пирамиды. Однако в нем не упоминается оригинальная работа Фалеса, которая была утеряна.
Фалес измерил длину основания пирамиды и высоту своего столба. Затем в то же время дня он измерил длину тени пирамиды и длину тени столба. Это дало следующие данные:
Из этого он вычислил
Зная A, B и C, он теперь мог применить теорему о перехвате для вычисления
Теорема о перехвате может быть используется для определения расстояния, которое нельзя измерить напрямую, например ширины реки или озера, высоты высоких зданий и т. д. График справа показывает измерение ширины реки. Сегменты ,,измеряются и используются для вычисления желаемого расстояния . |
Теорема о перехвате может использоваться для доказательства того, что некоторая конструкция дает параллельную линию (отрезок) s.
Если середины двух сторон треугольника соединены, полученный отрезок параллелен третьей стороне треугольника (теорема о средней точке треугольников). | Если середины двух непараллельных сторон трапеции соединены, то результирующий отрезок прямой параллелен двум другим сторонам трапеции. |
В элементарном доказательстве теоремы используются треугольники одинаковой площади для вывода основных утверждений о соотношениях (п.1). Затем следуют другие утверждения с применением первого утверждения и противоречия.
Начиная с , высоты и имеют одинаковую длину. Поскольку эти треугольники имеют одинаковую базовую линию, их площади идентичны. Итак, у нас есть и, следовательно, . Это дает и Вставка формулы для треугольника области () преобразует это в и Отмена общие факторы приводят к: (a) и (b) Теперь используйте (b) для замены и в (a): Снова использование (b) упрощает до: (c) |
Проведите дополнительную параллель к через A. Эта параллель пересекает в G. Тогда один имеет и по п.1 и, следовательно, |
Допустим, и не параллельны. Затем параллельная линия от до пересекает в . Начиная с верно, мы имеем. . и, с другой стороны, из пункта 2 мы имеем. .. Итак, и находятся на одной стороне от и находятся на одинаковом расстоянии от , что означает . Это противоречие, поэтому предположение не могло быть верным, что означает, что и действительно параллельны |
Утверждение 4 можно показать, применив теорему о перехвате для двух строк.
Викискладе есть материалы, связанные с теоремой о перехвате. |