Нулевой диез

редактировать

Концепция теории множеств

В математической дисциплине теории множеств, 0(диез до нуля, также 0 # ) - это множество истинные формулы о неразличимых и неразличимых по порядку в конструируемой вселенной Гёделя. Он часто кодируется как подмножество целых чисел (с использованием нумерации Гёделя ), или как подмножество, или как действительное число. Его существование недоказуемо в ZFC, стандартной форме аксиоматической теории множеств, но следует из подходящей аксиомы большого кардинала. Впервые он был представлен как набор формул в диссертации Сильвера 1966 г., позже опубликован как Сильвер (1971), где он был обозначен Σ, и вновь открыт Соловеем (1967)., стр.52), который рассматривал его как подмножество натуральных чисел и ввел обозначение O (с заглавной буквы O; позже оно было изменено на цифру "0").

Грубо говоря, если существует 0, то вселенная V множеств намного больше, чем вселенная L конструктивных множеств, а если она не существует, то вселенная всех множеств близко аппроксимируется конструируемыми множествами.

Содержание

1 Определение
2 Утверждения, подразумевающие существование
3 Утверждения, эквивалентные существованию
4 Последствия существования и несуществования
5 Прочие аспекты
6 См. Также
7 Ссылки

Определение

Нулевой диез был определен Сильвером и Соловей следующим образом. Рассмотрим язык теории множеств с дополнительными постоянными символами c 1, c 2,... для каждого положительного целого числа. Тогда 0 определяется как набор чисел Гёделя истинных предложений о конструируемой вселенной, причем c i интерпретируется как несчетный кардинал ℵ i. (Здесь ℵ i означает ℵ i в полной вселенной, а не в конструируемой вселенной.)

В этом определении есть тонкость: из-за неопределенности Тарского Теорема в общем случае невозможно определить истинность формулы теории множеств на языке теории множеств. Чтобы решить эту проблему, Сильвер и Соловей предположили существование подходящего большого кардинала, такого как кардинал Рамсея, и показали, что с этим дополнительным предположением можно определить истинность утверждений о конструируемой вселенной. В более общем смысле, определение 0 работает при условии, что существует неисчислимый набор неразличимых для некоторого L α, и фраза «0 существует» используется как сокращенный способ сказать это.

Есть несколько незначительных вариантов определения 0, которые не имеют существенного значения для его свойств. Существует много различных вариантов нумерации Гёделя, и от этого выбора зависит 0. Вместо того, чтобы рассматриваться как подмножество натуральных чисел, можно также закодировать 0 как подмножество формул языка, или как подмножество наследственно конечных множеств, или как действительное число.

Утверждения, подразумевающие существование

Условие существования кардинала Рамсея, подразумевающее, что существует 0, может быть ослаблено. Существование ω 1-кардиналов Эрдеша подразумевает существование 0. Это близко к наилучшему возможному, поскольку существование 0 означает, что в конструктивной вселенной существует α-кардинал Эрдеша для всех счетных α, поэтому такие кардиналы не могут быть использованы для доказательства существования 0.

Гипотеза Чанга подразумевает существование 0.

Утверждения, эквивалентные существованию

Кунен показал, что 0 существует тогда и только если существует нетривиальное элементарное вложение для гёделевской конструируемой вселенной L в себя.

Дональд А. Мартин и Лео Харрингтон показали, что существование 0 эквивалентно определенности аналитических игр с лайтфейсом. Фактически, стратегия универсальной аналитической игры со световым лицом имеет ту же степень Тьюринга, что и 0.

Из теоремы Дженсена о покрытии следует, что существование 0 эквивалентно к ω ω, являющемуся обычным кардиналом в конструируемой вселенной L.

Сильвер показал, что существование бесчисленного множества неразличимых в конструируемой вселенной эквивалентно существование 0.

Последствия существования и несуществования

Его существование подразумевает, что каждый несчетный кардинал в теоретико-множественной вселенной V является неразличимое в L и удовлетворяет всем большим кардинальным аксиомам, которые реализованы в L (например, полностью невыразимым ). Отсюда следует, что существование 0 противоречит аксиоме конструктивности : V = L.

Если 0 существует, то это пример неконструируемого Δ. 3набора целых чисел.. Это в некотором смысле простейшая возможность для неконструктивного множества, поскольку все Σ. 2и Π. 2наборы целых чисел конструктивны.

С другой стороны, если 0 не существует, то конструируемая вселенная L является базовой моделью, то есть канонической внутренней моделью, которая аппроксимирует большую кардинальную структуру рассматриваемой вселенной. В этом случае выполняется лемма Йенсена о покрытии :

Для каждого несчетного множества x ординалов существует конструктивное y такое, что x ⊂ y и y имеет ту же мощность, что и x.

Такой глубокий результат принадлежит Рональду Дженсену. Используя форсирование, легко увидеть, что условие несчетности x не может быть устранено. Например, рассмотрим форсирование Намба, которое сохраняет $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1 }$ и сворачивает $ω 2 { \ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ до порядкового номера cofinality $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Пусть $G {\ displaystyle G}$ $G$ будет $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ -последовательностью cofinal на $ω 2 L {\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L}}$ $\ omega _ {2} ^ {L}$ и общий над L. Тогда ни один набор в L размера L меньше $ω 2 L {\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L}}$ $\ omega _ {2} ^ {L}$ (который не исчисляется в V, поскольку $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1 }$ сохраняется) может охватывать $G {\ displaystyle G}$ $G$ , поскольку $ω 2 {\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ является обычным кардиналом.

Другие особенности

Если x является любым набором, то x определяется аналогично 0, за исключением того, что используется L [x] вместо L. См. Раздел об относительной конструктивности в конструируемой вселенной.

См. Также

0, набор, аналогичный 0, где конструируемая вселенная заменяется более крупной внутренней моделью с измеримым кардиналом.

Ссылки

Drake, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
Харрингтон, Лео (1978), «Аналитическая определенность и 0», Журнал символической логики, 43 (4): 685–693, doi : 10.2307 / 2273508, ISSN 0022-4812, JSTOR 2273508, MR 0518675
Джеч, Томас (2003). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
Канамори, Акихиро (2003). Высшая Бесконечность: Большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
Мартин, Дональд А. (1970), «Измеримые кардиналы и аналитические игры», Polska Akademia Nauk. Fundamenta Mathematicae, 66 : 287–291, ISSN 0016-2736, MR 0258637
Сильвер, Джек Х. (1971) [1966], «Некоторые приложения теории моделей в теории множеств », Annals of Pure and Applied Logic, 3 (1): 45–110, doi : 10.1016 / 0003-4843 (71) 90010 -6, ISSN 0168-0072, MR 0409188
Соловей, Роберт М. (1967), «Неразрушаемый Δ. 3набор целых чисел», Труды Американского математического общества, 127 : 50–75, doi : 10.2307 / 1994631, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994631, MR 0211873