Аппроксимация Вина

редактировать

Физический закон

Сравнение закона распределения Вина с законом Рэлея – Джинса и законом Планка закон, для тела с температурой 5800 K температура.

приближение Вина (также иногда называемое законом Вина или законом распределения Вина ) является законом из физики, используемой для описания спектра теплового излучения (часто называемого функцией черного тела ). Этот закон был впервые выведен Вильгельмом Вином в 1896 году. Уравнение точно описывает короткий длина волны (высокая частота ) спектр теплового излучения от объектов, но оно не соответствует экспериментальным данным для длинноволнового (низкочастотного) излучения.

Содержание

1 Подробности
2 Связь с законом Планка
3 Другие приближения теплового излучения
4 См. также
5 Ссылки

Подробности

Вин вывел свой закон из термодинамических аргументов за несколько лет до того, как Планк ввел квантование излучения.

Оригинальная статья Вена не содержала постоянной Планка. В этой статье Вин взял длину волны излучения черного тела и объединил ее с распределением Максвелла – Больцмана для атомов. Экспоненциальная кривая была создана с помощью числа Эйлера e, возведенного в степень температуры, умноженной на константу. Фундаментальные константы были позже введены Максом Планком.

Подробности содержатся в статье Дж. Крепо 2009 года, озаглавленной «Краткая история закона Т-излучения». Закон может быть записан как

I (ν, T) = 2 час ν 3 c 2 e - час ν K T, {\ displaystyle I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3 }} {c ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {h \ nu} {kT}}},}

{\ displaystyle I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {h \ nu} {kT}}},}

или, вводя естественные единицы Планка :

I (ν, x) = 2 ν 3 е - Икс, {\ Displaystyle I (\ nu, x) = 2 \ nu ^ {3} e ^ {- x},}

{\ displaystyle I (\ nu, x) = 2 \ nu ^ {3} e ^ {- x},}

где:

$I (ν, T) { \ displaystyle I (\ nu, T)}$ $I (\ nu, T)$ - количество энергии на единицу площади поверхности на единицу времени на единицу телесный угол на единицу частоты, излучаемый с частотой ν.
$T {\ displaystyle T}$ $T$ - температура черного тела.
$x {\ displaystyle x}$ $x$ - отношение температуры к частоте.
$h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка.
$c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света.
$k {\ displaystyle k}$ $k$ - постоянная Больцмана.

Это уравнение также можно записать как

я (λ, T) = 2 hc 2 λ 5 е - hc λ К T, {\ displaystyle I (\ lambda, T) = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}} } e ^ {- {\ frac {hc} {\ lambda kT}}},}

{\ displaystyle I (\ lambda, T) = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} e ^ {- { \ frac {hc} {\ lambda kT}}},}

где $I (λ, T) {\ displaystyle I (\ lambda, T)}$ $I (\ lambda, T)$ - количество энергии на единицу площадь поверхности на единицу времени на единицу телесного угла на единицу длины волны, излучаемую на длине волны λ.

Пиковое значение этой кривой, определенное путем взятия производной и решения для нуля, происходит при длине волны λ max и частоте ν max из:

λ макс. ⋅ T = 0,2898 см ⋅ K {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {max}} \ cdot T \ = \ 0,2898 \ \ mathrm {cm {\ cdot} K}}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {max}} \ cdot T \ = \ 0.2898 \ \ mathrm {cm {\ cdot} K}}

ν max = 5,88 × 10 10 ⋅ T {\ displaystyle \ nu _ {\ rm {max}} \ = \ 5,88 \ times 10 ^ {10} \ cdot T}

{ \ displaystyle \ nu _ {\ rm {max}} \ = \ 5.88 \ times 10 ^ {10} \ cdot T}

в единицах cgs.

Связь с законом Планка

Приближение Вина первоначально было предложено как описание полного спектра теплового излучения, хотя оно не могло точно описать длинноволновое (низкочастотное) излучение. Однако вскоре его заменил закон Планка, разработанный Максом Планком. В отличие от приближения Вина, закон Планка точно описывает полный спектр теплового излучения. Закон Планка можно представить в виде

I (ν, T) = 2 час ν 3 c 2 1 eh ν К T - 1 {\ displaystyle I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3 }} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1}}}

I (\ nu, T) = {\ frac {2h \ nu ^ { 3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {{{\ frac {h \ nu} {kT}}}} - 1}}

Приближение Вина можно вывести из закона Планка, если предположить $час ν ≫ К T {\ displaystyle h \ nu \ gg kT}$ $h \ nu \ gg kT$ . Если это так, то

1 eh ν k T - 1 ≈ e - h ν k T {\ displaystyle {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} - 1} } \ приблизительно e ^ {- {\ frac {h \ nu} {kT}}}}

{\ frac {1} {e ^ {{{\ frac { h \ nu} {kT}}}} - 1}} \ приблизительно e ^ {{- {\ frac {h \ nu} {kT}}}}

и поэтому закон Планка приблизительно равен приближению Вина на высоких частотах.

Другие приближения теплового излучения

Закон Рэлея-Джинса, разработанный лордом Рэлеем, можно использовать для точного описания длинноволнового спектра теплового излучения. излучения, но не может описать коротковолновый спектр теплового излучения.

См. также

Ссылки