Задача о пшенице и шахматной доске

К тому времени, когда на шахматной доске будет достигнута пятая клетка, на доске будет всего 31, или $2\; 5\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; 2\; ^\; \{5\}\; -1\}$, зерна пшеницы.

Задача пшеница и шахматная доска (иногда выражается в зернах риса): математическая задача, выраженная в текстовой форме как:

Если бы шахматная доска должна была иметь пшеницу, помещенную на каждую клетку так, чтобы одна зерна были размещены на первом квадрате, два на втором, четыре на третьем и т. д. (удвоение количества зерен на каждом последующем квадрате), сколько зерен пшеницы будет на шахматной доске в конце?

Проблема может быть решена простым добавлением . При 64 клетках на шахматной доске, если количество зерен удваивается на последовательных клетках, то сумма зерен на всех 64 клетках составляет: 1 + 2 + 4 + 8 +... и так далее для 64 клеток. Общее количество зерен составляет 18 446 744 073 709 551 615 (восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов, семьсот сорок четыре триллиона, семьдесят три миллиарда, семьсот девять миллионов, пятьсот пятьдесят одну тысячу шестьсот и триллионов пятнадцать) - примерно в 2000 раз больше мирового производства - намного больше, чем ожидает большинство.

Это упражнение можно использовать для демонстрации того, как быстро растут экспоненциальные последовательности, а также для введения экспонент, нулевой степени, обозначения заглавной сигмы и геометрических рядов. Обновленная в соответствии с современными условиями с использованием пенсов и гипотетического вопроса, такого как «Вы бы предпочли иметь миллион долларов или пенни в первый день, удваиваемый каждый день до 30 дня?», Формула использовалась для объяснения сложных процентов. (Удвоение принесет более пяти миллионов долларов, а на следующий день - вдвое больше.)

• 1 Истоки
• 2 Решения
• 3 Вторая половина шахматной доски
• 4 Используйте
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Проблема появляется в различных историях об изобретении шахмат. Один из них включает задачу геометрической прогрессии. Впервые эта история была записана в 1256 году Ибн Халликаном. Согласно другой версии, изобретатель шахмат (в некоторых рассказах Сесса, древний индийский министр ) просил своего правителя дать ему пшеницу в соответствии с проблемой пшеницы и шахматной доски. Правитель посмеивается над этим, считая его скудным призом за блестящее изобретение, только для того, чтобы придворные казначеи сообщили, что неожиданно огромное количество пшеничных зерен превзойдет ресурсы правителя. Существуют разные версии относительно того, станет ли изобретатель высокопоставленным советником или будет казнен.

Макдоннелл также исследует более раннее развитие темы.

[Согласно ранней истории Индии аль-Масуди], шатрандж, или шахматы были изобретены при индийском короле, который предпочел эту игру нардам. [...] Индейцы, добавляет он, также вычисляли арифметическую прогрессию с квадратами шахматной доски. [...] Раннее пристрастие индейцев к огромным вычислениям хорошо известно изучающим математику, и нашло отражение в трудах великого астронома Арьябатха (родился в 476 г. н.э.). [...] Дополнительным аргументом в пользу индийского происхождения этого вычисления является арабское название квадрата шахматной доски (بيت, «beit»), «дом». [...] Поскольку это, несомненно, имеет историческую связь с его индийским обозначением koṣṭhāgāra, «склад», «зернохранилище» [...].

Простое решение методом грубой силы просто вручную удвоить и добавить каждый шаг ряда:

$T\; 64\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{64\}\}$= 1 + 2 + 4 +..... + 9,223,372,036,854,775,808 = 18,446,744,073,709,551,615

где $T\; 64\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{64\}\}$- общее количество зерен.

Ряд можно выразить с помощью показателей степени:

$T\; 64\; =\; 2\; 0\; +\; 2\; 1\; +\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; 2\; 63\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{64\}\; =\; 2\; ^\; \{0\}\; +\; 2\; ^\; \{1\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 2\; ^\; \{63\}\}$

и, представленный прописная сигма:

$\sum \; i\; =\; 0\; 63\; 2\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{63\}\; 2\; ^\; \{i\}.\; \backslash ,\}$

Ее также можно решить гораздо проще, используя:

$T\; 64\; =\; 2\; 64\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{64\}\; =\; 2\; ^\; \{64\}\; -1.\; \backslash ,\}$

Доказательство:

$s\; =\; 2\; 0\; +\; 2\; 1\; +\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; 2\; 63.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; 2\; ^\; \{0\}\; +\; 2\; ^\; \{1\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 2\; ^\; \{63\}.\}$

Умножьте каждую сторону на 2:

$2\; s\; =\; 2\; 1\; +\; 2\; 2\; +\; 2\; 3\; +\; \cdots \; +\; 2\; 63\; +\; 2\; 64.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2s\; =\; 2\; ^\; \{1\}\; +\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 2\; ^\; \{63\}\; +\; 2\; ^\; \{64\}.\}$

Вычтите исходную серию с каждой стороны:

$2\; s\; -\; s\; =\; 2\; 64\; -\; 2\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 2s-s\; =\; 2\; ^\; \{64\}\; -2\; ^\; \{0\}\}$

$\therefore \; s\; =\; 2\; 64\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; следовательно,\; s\; =\; 2\; ^\; \{64\}\; -1.\; \backslash ,\}$

Вышеупомянутое решение является частным случаем суммы геометрического ряда, заданного формулой

$a\; +\; ar\; +\; ar\; 2\; +\; ar\; 3\; +\; \cdots \; +\; arn\; -\; 1\; =\; \sum \; к\; знак\; равно\; 0\; n\; -\; 1\; ark\; =\; a\; 1\; -\; rn\; 1\; -\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; ar\; +\; ar\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; ar\; ^\; \{n-1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; ar\; ^\; \{k\}\; =\; a\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{n\}\}\; \{1-r\}\},\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- первый член ряда, $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- обычное отношение и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество терминов.

В этой задаче $a\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 1\}$, $r\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2\}$и $n\; =\; 64\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 64\}$.

Упражнение по решению этой проблемы может быть использовано для объяснения и демонстрации экспонент и быстрого роста экспоненциальной и геометрической последовательностей.. Его также можно использовать для иллюстрации сигма-нотации. При выражении в показателях геометрический ряд равен: 2 + 2 + 2 + 2 +... и так далее, вплоть до 2. Основание каждого возведения в степень, «2», выражает удвоение в каждом квадрат, а экспоненты представляют положение каждого квадрата (0 для первого квадрата, 1 для второго и т. д.).

Число зерен - 64-е. число Мерсенна.

Иллюстрация второй половины принципа шахматной доски Рэя Курцвейла. Буквы являются сокращениями для метрических префиксов SI .

В технологической стратегии «вторая половина шахматной доски» - это фраза, придуманная Рэем Курцвейлом для ссылки до точки, когда экспоненциально растущий фактор начинает оказывать значительное экономическое влияние на общую бизнес-стратегию организации. Хотя количество зерен в первой половине шахматной доски велико, количество зерен во второй половине значительно (в 2>4 миллиарда раз) больше.

Количество зерен пшеницы на первой половине шахматной доски: 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 147 483 648, всего 4 294 967 295 (2 - 1) зерен, или около 279 тонн. пшеницы (принимая массу одного зерна пшеницы 65 мг).

Количество зерен пшеницы на второй половине шахматной доски равно 2 + 2 + 2 +... + 2, для всего 2 - 2 зерна. Это равно квадрату количества зерен на первой половине доски плюс само количество. Только первый квадрат второй половины содержит на одно зерно больше, чем вся первая половина. Только на 64-м поле шахматной доски будет 2 = 9 223 372 036 854 775 808 зерен, что более чем в два миллиарда раз больше, чем на первой половине шахматной доски.

На всей шахматной доске будет 2 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зерен пшеницы, весом около 1,199 000 000 000 метрических тонн. Это примерно в 1645 раз больше мирового производства пшеницы (729000000 метрических тонн в 2014 году и 780,8 миллиона тонн в 2019 году).

Карла Сагана, озаглавленного второй главой книги. в своей последней книге Персидская шахматная доска и писал, что, говоря о бактериях, «экспоненты не могут продолжаться вечно, потому что они сожрут все». Точно так же в Пределах роста рассказывается о предполагаемых последствиях экспоненциального роста : «Экспоненциальный рост никогда не может продолжаться очень долго в ограниченном пространстве с ограниченными ресурсами»

.

• Легенда об Амбалаппужа Паал Пайасам
• Мальтузианская модель роста
• Закон Мура
• Порядки величин (данные)
• Технологическая стратегия

Найдите проблему пшеницы и шахматной доски в бесплатном словаре Wiktionary.

• Weisstein, Eric W. "Wheat and Chessboard Problem". MathWorld.
• Одно повествование о басне
• Задача о соли и шахматной доске - вариант задачи о пшенице и шахматной доске с измерениями каждого квадрата.
• Учебные материалы, относящиеся к Math Adventures / Пшеница и шахматная доска в Викиверситете