Обобщения чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность определено рекурсивно по:

$F\; n\; =\; \{0\; n\; =\; 0\; 1\; n\; =\; 1\; F\; n\; -\; 1\; +\; F\; n\; -\; 2\; n>1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; 0\; n\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; n\; =\; 1\; \backslash \backslash \; F\_\; \{n-1\}\; +\; F\_\; \{n-2\}\; n>1\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

То есть после двух запусков значений, каждое число является суммой двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи была тщательно изучена и обобщена многими способами, например, начав с других чисел, кроме 0 и 1, добавив более двух числа для генерации следующего числа или путем добавления объектов, отличных от чисел.

• 1 Расширение до отрицательных целых чисел
• 2 Расширение до всех действительных или комплексных чисел
• 3 Векторное пространство
• 4 Подобное целое число sequ ences
  • 4.1 Целочисленные последовательности Фибоначчи
  • 4.2 Последовательности Люка
  • 4.3 Числа Фибоначчи высшего порядка
    • 4.3.1 Числа Трибоначчи
    • 4.3.2 Числа Тетраначчи
    • 4.3.3 Высшие порядки
• 5 Слово Фибоначчи
• 6 Свернутые последовательности Фибоначчи
• 7 Другие обобщения
  • 7.1 N-сгенерированная последовательность Фибоначчи
  • 7.2 Полу-последовательность Фибоначчи
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Использование $F\; n\; -\; 2\; =\; F\; n\; -\; F\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n-2\}\; =\; F\_\; \{n\}\; -F\_\; \{n-1\}\}$, можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел. Итак, получаем:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...

и $F\; -\; n\; =\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{-\; n\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; F\_\; \{n\}\}$..

. См. Также Негафибоначчи.

Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают действительные числа (а иногда комплексные числа ) в их домене. Каждый из них включает золотое сечение φ и основан на формуле Бине

$F\; n\; =\; \phi \; n\; -\; (-\; \phi )\; -\; n\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{n\}\; -\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{-\; n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}.\}$

Аналитическая функция

$Fe\; \; (Икс)\; знак\; равно\; \phi \; Икс\; -\; \phi \; -\; Икс\; 5\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Fe\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{x\}\; -\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \}\}$

имеет свойство: $Fe\; \; (n)\; =\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fe\}\; (n)\; =\; F\_\; \{n\}\}$для даже целые числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Аналогичным образом аналитическая функция:

$Fo\; \; (x)\; =\; \phi \; x\; +\; \phi \; -\; x\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fo\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{x\}\; +\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}$

удовлетворяет $Fo\; \; (n)\; =\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fo\}\; (n)\; =\; F\_\; \{n\}\}$для нечетных целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Наконец, сложив их вместе, аналитическая функция

$Fib\; \; (x)\; =\; \phi \; x\; -\; cos\; \; (x\; \pi )\; \phi \; -\; х\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{x\}\; -\; \backslash \; cos\; (x\; \backslash \; pi)\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}$

удовлетворяет $Fib\; \; (n)\; =\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (n)\; =\; F\_\; \{n\}\}$для всех целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Поскольку $Fib\; \; (z\; +\; 2)\; =\; Fib\; \; (z\; +\; 1)\; +\; Fib\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (z\; +\; 2)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (z\; +\; 1)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (z)\}$для всех комплексных чисел $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексная плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например,

$Fib\; \; (3\; +\; 4\; i)\; \approx \; -\; 5248,5\; -\; 14195,9\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Fib\}\; (3\; +\; 4i)\; \backslash \; приблизительно\; -5248,5\; -14195.9i\}$

Термин последовательность Фибоначчи также применяется в более общем смысле к любой функции $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$из целые числа в поле, для которого $g\; (n\; +\; 2)\; =\; g\; (n)\; +\; g\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n\; +\; 2)\; =\; g\; (n)\; +\; g\; (n\; +\; 1)\}$. Эти функции в точности имеют вид $g\; (n)\; =\; F\; (n)\; g\; (1)\; +\; F\; (n\; -\; 1)\; g\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n)\; =\; F\; (n)\; g\; (1)\; +\; F\; (n-1)\; g\; (0)\}$, поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями $F\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n)\}$и $F\; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n-1)\}$в качестве основы.

В более общем смысле, диапазон $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$может быть принят как любая абелева группа (рассматриваемая как Z- модуль ). Тогда последовательности Фибоначчи таким же образом образуют двумерный $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$-модуль.

Целочисленные последовательности Фибоначчи

Двумерный $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$-модуль Фибоначчи Целочисленные последовательности состоят из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих $g\; (n\; +\; 2)\; =\; g\; (n)\; +\; g\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n\; +\; 2)\; =\; g\; (n)\; +\; g\; (n\; +1)\}$. Выражаясь через два начальных значения, мы имеем:

$g\; (n)\; =\; F\; (n)\; g\; (1)\; +\; F\; (n\; -\; 1)\; g\; (0)\; =\; g\; (1)\; \phi \; n\; -\; (-\; \phi )\; -\; N\; 5\; +\; г\; (0)\; \phi \; N\; -\; 1\; -\; (-\; \phi )\; 1\; -\; N\; 5,\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (п)\; =\; F\; (N)\; г\; (1)\; +\; F\; (N-1)\; г\; (0)\; =\; г\; (1)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{n\}\; -\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{-\; n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; +\; g\; (0)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{n-1\}\; -\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{1-n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\},\}$

где $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$- золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая постоянно равна нулю, и последовательностей, где отношение двух первых членов составляет $(-\; \phi )\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

Последовательность можно записать в форме

$a\; \phi \; n\; +\; b\; (-\; \phi )\; -\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; varphi\; ^\; \{n\}\; +\; b\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{-\; n\},\}$

, где $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$тогда и только тогда, когда $b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 0\}$. В этой форме простейший нетривиальный пример имеет $a\; =\; b\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; b\; =\; 1\}$, который представляет собой последовательность чисел Люка :

$L\; n\; =\; ф\; п\; +\; (-\; ф)\; -\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{n\}\; +\; (-\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{-\; n\}.\}$

У нас есть $L\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\; =\; 1\}$и $L\; 2\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; =\; 3\}$. Свойства включают:

$\phi \; n\; =\; (1\; +\; 5\; 2)\; n\; =\; L\; (n)\; +\; F\; (n)\; 5\; 2,\; L\; (n)\; =\; F\; (n\; -\; 1)\; +\; F\; (n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; L\; (n)\; +\; F\; (n)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\},\; \backslash \backslash \; L\; (n)\; =\; F\; (n-1)\; +\; F\; (n\; +\; 1).\; \backslash \; End\; \{выравнивается\}\}\; \}$

Каждая нетривиальная целочисленная последовательность Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк массива Wythoff. Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвиг последовательности Люка - второй строкой.

См. Также Целочисленные последовательности Фибоначчи по модулю n.

последовательности Люка

Другой Обобщение последовательности Фибоначчи - это последовательности Люка следующего вида:

$U\; (0)\; =\; 0\; U\; (1)\; =\; 1\; U\; (n\; +\; 2)\; =\; PU\; (n\; +\; 1)\; -\; QU\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; U\; (0)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; U\; (1)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; U\; (n\; +\; 2)\; =\; PU\; (n\; +\; 1)\; -QU\; (n)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$,

где нормальная последовательность Фибоначчи является частным случаем $P\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; 1\}$и $Q\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -1\}$. Другой вид последовательности Лукаса начинается с $V\; (0)\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (0)\; =\; 2\}$, $V\; (1)\; =\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (1)\; =\; P\}$. Такие последовательности находят применение в теории чисел и доказательстве простоты.

Когда $Q\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -1\}$, эта последовательность называется P-последовательностью Фибоначчи, например, Последовательность Пелля также называется последовательностью 2-Фибоначчи .

Последовательность 3-Фибоначчи равна

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080,... (последовательность A006190 в OEIS )

4-последовательность Фибоначчи равно

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488,... (последовательность A001076 в OEIS )

5-последовательность Фибоначчи - это

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826,... (последовательность A052918 в OEIS )

6-последовательность Фибоначчи равна

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202,... (с equence A005668 в OEIS )

n-константа Фибоначчи - это отношение, к которому соседний $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- Числа Фибоначчи имеют тенденцию; его также называют n-м металлическим средним, и это единственный положительный корень из $x\; 2\; -\; nx\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -nx-1\; =\; 0\}$. Например, случай $n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1\}$равен $1\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\}$, или золотое сечение, и случай $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$равен $1\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$, или коэффициент серебра. Обычно $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равен $n\; +\; n\; 2\; +\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; ^\; \{2\}\; +4\; \}\}\}\; \{2\}\}\}$.

Как правило, $U\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (n)\}$можно назвать (P, -Q) -последовательностью Фибоначчи, а V (n) можно назвать (P, -Q) -Последовательность Лукаса .

(1,2) -Последовательность Фибоначчи равна

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485,... (последовательность A001045 в OEIS )

(1,3) -Последовательность Фибоначчи равна

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067,... (последовательность A006130 в OEIS )

. (2,2) -Последовательность Фибоначчи равна

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752,... (последовательность e A002605 в OEIS )

Последовательность (3,3) -Fibonacci равна

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808,... (последовательность A030195 в OEIS )

числа Фибоначчи высшего порядка

A Последовательность Фибоначчи порядка n представляет собой целочисленную последовательность, в которой каждый элемент последовательности является суммой предыдущих элементов $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$(за исключением первого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$элементов в последовательности). Обычные числа Фибоначчи представляют собой последовательность Фибоначчи порядка 2. Случаи $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$и $n\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 4\}$были тщательно расследованы. Количество составов неотрицательных целых чисел на части, не превышающие $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, представляет собой последовательность Фибоначчи порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Последовательность строк из нулей и единиц длины $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, содержащих не более $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$последовательных нулей, является также последовательность Фибоначчи порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Эти последовательности, их предельные отношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марком Барром в 1913 году.

Числа Трибоначчи

Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо того, чтобы начинаться с двух заранее определенных членов, последовательность начинается с трех заранее определенных членов, и каждый член впоследствии представляет собой сумму предыдущие три условия. Первые несколько чисел трибоначчи:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (последовательность A000073 в OEIS )

Впервые серия была официально описана Агрономофом в 1914 году, но ее первое непреднамеренное использование находится в Происхождении видов, написанном Чарльзом Р. Дарвином. рост популяции слонов, он опирался на расчеты, сделанные его сыном Джорджем Х. Дарвином. Термин трибоначчи был предложен Файнбергом в 1963 году.

постоянная трибоначчи

$1\; +\; 19\; +\; 3\; 33\; 3\; +\; 19\; -\; 3\; 33\; 3\; 3\; =\; 1\; +\; 4\; ch\; \; (1\; 3\; ch\; -\; 1\; \; (2\; +\; 3\; 8))\; 3\; \approx \; 1,839286755214161,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{19\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{19-3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\}\; \{3\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; 4\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash \; cosh\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}\; \{3\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1,839286755214161,\}$(последовательность A058265 в OEIS )

- это отношение, к которому соседние трибоначчи насчитывают десять d. Это корень многочлена $x\; 3\; -\; x\; 2\; -\; x\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -x-1\; =\; 0\}$и также удовлетворяет уравнению $x\; +\; x\; -\; 3\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; x\; ^\; \{-\; 3\}\; =\; 2\}$. Это важно при изучении курносого куба .

. Обратная величина константы трибоначчи, выраженная соотношением $\xi \; 3\; +\; \xi \; 2\; +\; \xi \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; xi\; =\; 1\}$, можно записать как:

$\xi \; =\; 17\; +\; 3\; 33\; 3\; -\; -\; 17\; +\; 3\; 33\; 3\; -\; 1\; 3\; =\; 3\; 1\; +\; 19\; +\; 3\; 33\; 3\; +\; 19\; -\; 3\; 33\; 3\; \approx \; 0,543689012.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{17\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; 17\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\})\; \}\}\}\}\; -\; 1\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{19\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}\; ]\; \{19-3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,543689012.\}$(последовательность A192918 в OEIS )

Числа трибоначчи также задано

$T\; (n)\; =\; \lfloor \; 3\; b\; (1\; 3\; (a\; +\; +\; a\; -\; +\; 1))\; nb\; 2-2\; b\; +\; 4\; \rceil \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (n)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 3b\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (a\; \_\; \{+\}\; +\; a\; \_\; \{-\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\; -2b\; +\; 4\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\}$

где $\lfloor \; \cdot \; \rceil \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rceil\}$обозначает ближайшую целочисленную функцию и

$a\; \pm \; =\; 19\; \pm \; 3\; 33\; 3,\; b\; =\; 586\; +\; 102\; 33\; 3.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; a\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{19\; \backslash \; pm\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\; \}\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; b\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{586\; +\; 102\; \{\backslash \; sqrt\; \{33\}\}\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Числа Тетраначчи

числа тетраначчи начинаются с четырех заранее определенных членов, каждый член впоследствии является суммой предыдущих четырех членов. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (Последовательность A000078 в OEIS )

Константа тетраначчи - это отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень многочлена $x\; 4\; -\; x\; 3\; -\; x\; 2\; -\; x\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{3\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -x-1\; =\; 0\; \}$, приблизительно 1,927561975482925 OEIS : A086088, а также удовлетворяет уравнению $x\; +\; x\; -\; 4\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; x\; ^\; \{-\; 4\}\; =\; 2\}$.

Константа тетраначчи выражается в радикалах как

$(p\; 1\; +\; 1\; 4)\; +\; (p\; 1\; +\; 1\; 4)\; 2\; -\; 2\; \lambda \; 1\; p\; 1\; (p\; 1\; +\; 1\; 4)\; +\; 7\; 24\; п\; 1\; +\; 1\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1)\; \}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}\; \{p\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{24p\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\}\}\}\}$

где

$p\; 1\; =\; \lambda \; 1\; +\; 11\; 48,\; \lambda \; 1\; =\; 3\; 1689\; -\; 65\; 3\; -\; 3\; 1689\; +\; 65\; 3\; 12\; 2\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{11\}\; \{48\}\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{1689\}\}\; -\; 65\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{1689\}\}\; +\; 65\}\}\}\; \{\; 12\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Высшие порядки

Были вычислены числа Пентаначчи, Гексаначчи и Гептаначчи. Числа пентаначчи:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… ( последовательность A001591 в OEIS )

чисел гексаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (последовательность A001592 в OEIS )

чисел Гептаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (последовательность A122189 в OEIS )

Числа Октаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128,... (последовательность A079262 в OEIS )

числа Эннеаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272,... (последовательность A104144 в OEIS )

Предел отношения последовательных членов ряда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-nacci стремится к корню уравнения $x\; +\; x\; -\; n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; x\; +\; x\; ^\; \{-\; n\}\; =\; 2\}$(OEIS : A103814, OEIS : A118427, OEIS : A118428 ).

Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$двух последовательных $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-nacci числа могут быть выражены как

$r\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; r\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; r\; ^\; \{-\; k\}\}$.

особый случай $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$- традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение $\phi \; =\; 1\; +\; 1\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$.

Вышеприведенные формулы для отношения верны даже для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$серий -nacci, созданных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при увеличении $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Последовательность «бесконечности», если ее можно описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

которые являются просто степенью двойки.

Предел отношения для любого $n>0\; \{\backslash \; displaystyle\; n>0\}$- положительный корень $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$характеристического уравнения

$xn\; -\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; xi\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{i\; \}\; =\; 0.\}$

Корень $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$находится в интервале . Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (-1, 0), когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$четно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль .

Ряд для положительного корня $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$для любого $n>0\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; n>0\}$равно

$2\; -\; 2\; \sum \; i>0\; 1\; i\; ((n\; +\; 1)\; i\; -\; 2\; i\; -\; 1)\; 1\; 2\; (n\; +\; 1)\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2-2\; \backslash \; sum\; \_\; \{i>0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{(n\; +\; 1)\; i-2\}\; \{i-1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; i\}\}\}.\}$

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, когда 5 ≤ n ≤ 11.

k-й элемент последовательности n-nacci дается выражением

$F\; K\; (N)\; =\; \lfloor \; rk\; -\; 1\; (r\; -\; 1)\; (n\; +\; 1)\; r\; -\; 2\; n\; \rceil ,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{k\}\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{k-1\}\; (r-1)\}\; \{(n\; +\; 1)\; r-2n\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil,\}$

где $\lfloor \; \cdot \; \rceil \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rceil\}$обозначает ближайшую целочисленную функцию, а $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-nacci константа, которая является корнем $x\; +\; x\; -\; n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; x\; ^\; \{-\; n\}\; =\; 2\}$, ближайшего к 2.

A проблема подбрасывания монеты относится к $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-nacc я последовательность. Вероятность того, что $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$последовательных хвостов не произойдет в $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$подбрасывании идеализированной монеты, составляет $1\; 2\; m\; F\; m\; +\; 2\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{m\}\}\}\; F\_\; \{m\; +\; 2\}\; ^\; \{(n)\}\}$.

In По аналогии со своим числовым эквивалентом, слово Фибоначчи определяется следующим образом:

$F\; n:\; =\; F\; (n):\; =\; \{bn\; =\; 0;\; a\; n\; =\; 1;\; F\; (N\; -\; 1)\; +\; F\; (N\; -\; 2)\; N>1.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}:\; =\; F\; (n):\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; text\; \{b\}\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{a\}\}\; n\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; F\; (n\; -1)\; +\; F\; (n-2)\; n>1.\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где $+\; \{\backslash \; displaystyle\; +\}$обозначает объединение двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (последовательность A106750 в OEIS )

Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично существует соответствующая строка Фибоначчи для каждого числа Фибоначчи.

Строки Фибоначчи появляются как входные данные для наихудшего случая в некоторых компьютерные алгоритмы.

Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи, апериодической квазикристаллической структурой с необычным спектром ral свойства.

A Свернутые последовательности Фибоначчи получаются применением операции свертки к последовательности Фибоначчи один или несколько раз. В частности, определите

$F\; n\; (0)\; =\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(0)\}\; =\; F\_\; \{n\}\}$

и

$F\; n\; (r\; +\; 1)\; =\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 0\; N\; F\; я\; F\; N\; -\; я\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r\; +\; 1)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; F\_\; \{i\}\; F\_\; \{ni\}\; ^\; \{\; (r)\}\}$

Первые несколько последовательностей:

$r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (Последовательность A001629 в OEIS ).

$r\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 2\}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (последовательность A001628 в OEIS ).

$r\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 3\}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (последовательность A001872 в OEIS ).

Последовательности могут быть вычислены с использованием повторения

$F\; n\; +\; 1\; (r\; +\; 1)\; =\; F\; n\; (r\; +\; 1)\; +\; F\; n\; -\; 1\; (r\; +\; 1)\; +\; F\; n\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{(r\; +\; 1)\}\; =\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r\; +\; 1)\}\; +\; F\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(r\; +\; 1)\}\; +\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\}$

Производящая функция из $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$-я свертка равна

$s\; (r)\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; F\; n\; (r)\; xn\; =\; (x\; 1\; -\; x\; -\; x\; 2)\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{(г)\}\; (х)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; inf\; ty\}\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-xx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{r\}.\}$

последовательности связаны с последовательностью полиномов Фибоначчи соотношением

$F\; n\; (r)\; =\; r!\; F\; n\; (r)\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\; =\; r!\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\; (1)\}$

где $F\; n\; (r)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\; (x)\}$- $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$-я производная от $F\; п\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{п\}\; (х)\}$. Эквивалентно, $F\; n\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(r)\}\}$- коэффициент при $(x\; -\; 1)\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; ^\; \{r\}\}$когда $F\; x\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{x\}\; (x)\}$раскрывается в степени $(x\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\}$.

Первая свертка, $F\; n\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(1)\}\}$может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка как

$F\; n\; (1)\; =\; n\; L\; n\; -\; F\; n\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(1)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{nL\_\; \{n\}\; -F\_\; \{n\}\; \}\; \{5\}\}\}$

и следует повторению

$F\; n\; +\; 1\; (1)\; =\; 2\; F\; n\; (1)\; +\; F\; n\; -\; 1\; (1)\; -\; 2\; F\; n\; -\; 2\; (1)\; -\; F\; n\; -\; 3\; (1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{(1)\}\; =\; 2F\_\; \{n\}\; ^\; \{(1)\}\; +\; F\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(1)\}\; -\; 2F\_\; \{n-2\}\; ^\; \{(1)\}\; -\; F\_\; \{n-3\}\; ^\; \{(1)\}.\}$

Подобные выражения можно найти для $r>1\; \{\backslash \; displaystyle\; r>1\}$с возрастающей сложностью как $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r$увеличивается. Числа $F\; n\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(1)\}\}$представляют собой строчные суммы треугольника Хосои.

Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например, $F\; n\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; ^\; \{(1)\}\}$- количество способов $n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n-2\}$может быть записано как упорядоченная сумма, включающая только 0, 1 и 2, причем 0 используется ровно один раз. В частности, $F\; 4\; (1)\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{4\}\; ^\; \{(1)\}\; =\; 5\}$и 2 можно записать 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0.

Многочлены Фибоначчи - еще одно обобщение чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована генерируется повторением $P\; (n)\; =\; P\; (n\; -\; 2)\; +\; P\; (n\; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (n)\; =\; P\; (n-2)\; +\; P\; (n-3)\}$.

Последовательность коровы Нараяны генерируется повторением $N\; (k)\; =\; N\; (k\; -\; 1)\; +\; N\; (k\; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (k)\; =\; N\; (k-1)\; +\; N\; (k-3)\}$.

A случайная последовательность Фибоначчи может быть определена путем подбрасывания монеты для каждой позиции $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$последовательности и взяв $F\; (n)\; =\; F\; (n\; -\; 1)\; +\; F\; (n\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n)\; =\; F\; (n-1)\; +\; F\; (n-2)\}$, если он упал головой и $F\; (n)\; =\; F\; (n\; -\; 1)\; -\; F\; (n\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n)\; =\; F\; (n-\; 1)\; -F\; (n-2)\}$, если выпадет решка. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасывания монеты и была вычислена в 1999 г. Теперь он известен как константа Вишваната.

A repfigit, или число Кита, является целым числом, таким, что, когда его цифры начинают последовательность Фибоначчи с этим числом цифр, в конечном итоге достигается исходное число. Пример - 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47), достигает 47. Повторная фигура может быть последовательностью трибоначчи, если в числе 3 цифры, числом тетраначчи, если номер состоит из четырех цифр и т. д. Первые несколько изменений:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (Последовательность A007629 в OEIS )

Поскольку набор последовательностей, удовлетворяющих соотношению $S\; (n)\; =\; S\; (n\; -\; 1)\; +\; S\; (n\; -\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; S\; (n)\; =\; S\; (n-1)\; +\; S\; (n-2)\}$закрывается при почленном сложении, а при почленном умножении на константу его можно рассматривать как вектор пространство. Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным. Если мы сократим такую ​​последовательность как $(S\; (0),\; S\; (1))\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\; (0),\; S\; (1))\}$, последовательность Фибоначчи $F\; (n)\; =\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n)\; =\; (0,1)\}$и сдвинутый Фибоначчи последовательность $F\; (n\; -\; 1)\; =\; (1,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (n-1)\; =\; (1,0)\}$, как видно, формирует каноническую основу для этого пространства, что дает тождество:

$S\; (n)\; =\; S\; (0)\; F\; (n\; -\; 1)\; +\; S\; (1)\; F\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (n)\; =\; S\; (0)\; F\; (n-1)\; +\; S\; (1)\; F\; (n)\}$

для всех таких последовательностей S. Например, если S - последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11,..., то мы получаем

$L\; (\; n)\; =\; 2\; F\; (n\; -\; 1)\; +\; F\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (n)\; =\; 2F\; (n-1)\; +\; F\; (n)\}$.

N-сгенерированная последовательность Фибоначчи

Мы может определить N-сгенерированную последовательность Фибоначчи (где N - положительное рациональное число): если

$N\; =\; 2\; a\; 1\; \cdot \; 3\; a\; 2\; \cdot \; 5\; a\; 3\; \cdot \; 7\; a\; 4\; \cdot \; 11\; a\; 5\; \cdot \; 13\; а\; 6\; \cdot ...\; \cdot \; пррар,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; 2\; ^\; \{a\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdot\; 3\; ^\; \{a\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; 5\; ^\; \{a\_\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; 7\; ^\; \{a\_\; \{4\}\}\; \backslash \; cdot\; 11\; ^\; \{a\_\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; 13\; ^\; \{a\_\; \{6\}\}\; \backslash \; cdot...\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{r\}\; ^\; \{a\_\; \{r\}\},\}$

где p r - это r-е простое число, то мы определяем

$FN\; (n)\; =\; a\; 1\; FN\; (n\; -\; 1)\; +\; a\; 2\; FN\; (n\; -\; 2)\; +\; a\; 3\; FN\; (n\; -\; 3)\; +\; a\; 4\; FN\; (n\; -\; 4)\; +\; a\; 5\; FN\; (n\; -\; 5)\; +...\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{N\}\; (n)\; =\; a\_\; \{1\}\; F\_\; \{N\}\; (n-1)\; +\; a\_\; \{2\}\; F\_\; \{N\}\; (n-2)\; +\; a\_\; \{3\}\; F\_\; \{N\}\; (n-\; 3)\; +\; a\_\; \{4\}\; F\_\; \{N\}\; (n-4)\; +\; a\_\; \{5\}\; F\_\; \{N\}\; (n-5)\; +...\}$

Если $n\; =\; r\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; r-1\}$, тогда $FN\; (n)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{N\}\; (n)\; =\; 1\}$, и если , то $FN\; (n)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{N\}\; (n)\; =\; 0\}$.

Последовательность	N	OEIS последовательность
Последовательность Фибоначчи	6	A000045
Последовательность Пелла	12	A000129
Последовательность Якобсталя	18	A001045
Последовательность Трибоначчи	30	A000073
Последовательность Тетраначчи	210	A000288
последовательность Падована	15	A000931
последовательность коров Нараяны	10	A000930

последовательность полу-Фибоначчи

Полу-последовательность Фибоначчи (последовательность A030067 в OEIS ) определяется через ту же рекурсию для терминов с нечетным индексом $a\; (2\; n\; +\; 1)\; знак\; равно\; a\; (2\; n)\; +\; a\; (2\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (2n\; +\; 1)\; =\; a\; (2n)\; +\; a\; (2n-1)\}$и $a\; (1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (1)\; =\; 1\}$, но для четных индексов $a\; (2\; n)\; =\; a\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (2n)\; =\; a\; (n)\}$, $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$. Биссекция A030068 термов с нечетным индексом $s\; (n)\; =\; a\; (2\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n)\; =\; a\; (2n-1)\}$поэтому проверяет $s\; (n\; +\; 1)\; =\; s\; (n)\; +\; a\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n\; +\; 1)\; =\; s\; (n)\; +\; a\; (n)\}$и строго увеличивается. Он дает набор чисел Фибоначчи

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93., 116, 119, 145, 154,... (последовательность A030068 в OEIS )

, которая встречается как $s\; (n)\; =\; a\; (2\; k\; (2\; n\; -\; 1)),\; k\; =\; 0,\; 1,...\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (n)\; =\; a\; (2\; ^\; \{k\}\; (2n-1)),\; k\; =\; 0,1,...\}$.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]