Металлическое среднее

Металлические средства (Металлические соотношения)			Класс
N	Соотношение	Ценить	(Тип)
0:	0 + √ 4/2	1
1:	1 + √ 5/2	1,618033989	Золотой
2:	2 + √ 8/2	2,414213562	Серебряный
3:	3 + √ 13/2	3,302775638	Бронза
4:	4 + √ 20/2	4,236067978	Медь
5:	5 + √ 29/2	5,192582404	Никель
6:	6 + √ 40/2	6,162277660	Банка
7:	7 + √ 53/2	7,140054945
8:	8 + √ 68/2	8,123105626
9:	9 + √ 85/2	9.109772229
⋮
n:	п + √ п 2 +4/2

Золотое сечение в пентаграмме и серебряное сечение в восьмиугольнике.

Эти металлические средства (также коэффициенты или постоянные) последовательных натуральных чисел являются цепными дробями :

${\ displaystyle n + {\ cfrac {1} {n + {\ cfrac {1} {n + {\ cfrac {1} {n + {\ cfrac {1} {n + \ ddots \,}}}}}}}} = [ n; n, n, n, n, \ точки] = {\ frac {n + {\ sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}.}$

Золотое сечение (1,618...) представляет собой металлическое среднее между 1 и 2, в то время как соотношение серебра (2,414...) представляет собой металлическое среднее между 2 и 3. «отношением бронзы» термина (3,303...), или термины, использующие другие названия металлов (например, медь или никель), иногда используются для обозначения последующих металлических средств. Значения первых десяти металлических средних показаны справа. Обратите внимание, что каждое металлическое среднее является корнем простого квадратного уравнения:, где - любое положительное натуральное число. ${\ displaystyle x ^ {2} -nx = 1}$${\ displaystyle n}$

Поскольку золотое сечение связано с пятиугольником (первая диагональ / сторона), серебряное сечение связано с восьмиугольником (вторая диагональ / сторона). Поскольку золотое сечение связано с числами Фибоначчи, серебряное сечение связано с числами Пелла, а бронзовое сечение связано с OEIS :  A006190. Каждое число Фибоначчи - это сумма предыдущего числа, умноженного на единицу, плюс число перед этим, каждое число Пелла - это сумма предыдущего числа, умноженного на два, и одного перед этим, а каждое «бронзовое число Фибоначчи» - это сумма предыдущего числа. умножить на три плюс число перед этим. Принимая последовательные числа Фибоначчи как отношения, эти отношения приближаются к золотому среднему, отношения чисел Пелла приближаются к серебряному среднему, а отношения «бронзовых чисел Фибоначчи» приближаются к бронзовому среднему.

• 1 Недвижимость
• 2 Тригонометрические выражения
• 3 Геометрическая конструкция
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение
• 8 Внешние ссылки

Если удалить самый большой из возможных квадратов с конца золотого прямоугольника, останется золотой прямоугольник. Если удалить два из серебра, у одного останется серебро. Если убрать три из бронзы, у одного останется бронза. Изучите пунктирные линии, представляющие границы идеальных квадратов в каждом прямоугольнике, и обратите внимание, что количество указанных пунктирных линий всегда равно N. Соотношение золота, серебра и бронзы в соответствующих прямоугольниках.

Эти свойства действительны только для целых чисел m. Для нецелых чисел свойства аналогичны, но немного отличаются.

Вышеупомянутое свойство степеней серебряного отношения является следствием свойства степеней серебряных средств. Для серебра средней S в м, свойство может быть обобщено

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {n} = K_ {n} S_ {m} + K _ {(n-1)}}$

куда

${\ Displaystyle K_ {n} = mK _ {(n-1)} + K _ {(n-2)}.}$

Используя начальные условия K 0 = 1 и K 1 = m, это рекуррентное соотношение принимает вид

${\ displaystyle K_ {n} = {\ frac {S_ {m} ^ {n + 1} - {\ left (m-S_ {m} \ right)} ^ {n + 1}} {\ sqrt {m ^ {2} +4}}}.}$

Силы серебряных средств обладают и другими интересными свойствами:

Если n - положительное четное целое число:

${\ displaystyle {S_ {m} ^ {n} - \ left \ lfloor S_ {m} ^ {n} \ right \ rfloor} = 1-S_ {m} ^ {- n}.}$

Кроме того,

${\ displaystyle {1 \ over {S_ {m} ^ {4} - \ left \ lfloor S_ {m} ^ {4} \ right \ rfloor}} + \ left \ lfloor S_ {m} ^ {4} -1 \ right \ rfloor = S _ {\ left (m ^ {4} + 4m ^ {2} +1 \ right)}}$

${\ displaystyle {1 \ over {S_ {m} ^ {6} - \ left \ lfloor S_ {m} ^ {6} \ right \ rfloor}} + \ left \ lfloor S_ {m} ^ {6} -1 \ right \ rfloor = S _ {\ left (m ^ {6} + 6m ^ {4} + 9m ^ {2} +1 \ right)}.}$

Золотой треугольник. Отношение a: b эквивалентно золотому сечению φ. В треугольнике серебра это было бы эквивалентно amp; delta ; S.

Также,

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {3} = S _ {\ left (m ^ {3} + 3m \ right)}}$

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {5} = S _ {\ left (m ^ {5} + 5m ^ {3} + 5m \ right)}}$

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {7} = S _ {\ left (m ^ {7} + 7m ^ {5} + 14m ^ {3} + 7m \ right)}}$

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {9} = S _ {\ left (m ^ {9} + 9m ^ {7} + 27m ^ {5} + 30m ^ {3} + 9m \ right)}}$

${\ displaystyle S_ {m} ^ {11} = S _ {\ left (m ^ {11} + 11m ^ {9} + 44m ^ {7} + 77m ^ {5} + 55m ^ {3} + 11m \ right)}.}$

В основном:

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {2n + 1} = S _ {\ sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ over {2k + 1}} {{n + k} \ выбрать {2k}} m ^ {2k + 1}}.}$

Серебро среднее S в м также обладает свойством

${\ displaystyle {\ frac {1} {S_ {m}}} = S_ {m} -m}$

Это означает, что инверсия серебряного среднего имеет ту же десятичную часть, что и соответствующее серебряное среднее.

${\ displaystyle S_ {m} = a + b}$

где a - целая часть S, а b - десятичная часть S, то верно следующее свойство:

${\ displaystyle S_ {m} ^ {2} = a ^ {2} + mb + 1.}$

Потому что (для всех m больше 0) целая часть S m = m, a = m. Для тgt; 1, тогда имеем

${\ Displaystyle S_ {m} ^ {2} = ma + mb + 1}$

${\ Displaystyle S_ {м} ^ {2} = м (а + б) +1}$

${\ displaystyle S_ {m} ^ {2} = m \ left (S_ {m} \ right) +1.}$

Следовательно, серебряное среднее m является решением уравнения

${\ displaystyle x ^ {2} -mx-1 = 0.}$

Он также может быть полезно отметить, что серебро среднего S из - м является инверсией серебра средней S в м

${\ displaystyle {\ frac {1} {S_ {m}}} = S _ {(- m)} = S_ {m} -m.}$

Еще один интересный результат можно получить, немного изменив формулу среднего серебряного. Если мы рассмотрим число

${\ displaystyle {\ frac {n + {\ sqrt {n ^ {2} + 4c}}} {2}} = R}$

тогда верны следующие свойства:

${\ Displaystyle R- \ lfloor R \ rfloor = {\ frac {c} {R}}}$если c реально,

${\ Displaystyle \ влево ({1 \ над R} \ вправо) с = R- \ lfloor \ OperatorName {Re} (R) \ rfloor}$если c кратно i.

Среднее значение m в серебре также определяется интегралом

${\ displaystyle S_ {m} = \ int _ {0} ^ {m} {\ left ({x \ over {2 {\ sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{m + 2}) \ over {2m}} \ right)} \, dx.}$

Еще одна интересная форма металлического среднего значения дается формулой

${\ displaystyle {\ frac {n + {\ sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}} = e ^ {\ operatorname {arsinh (n / 2)}}}$

N	Тригонометрическое выражение	Связанный правильный многоугольник
1	${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {5}}}$	Пентагон
2	${\ displaystyle \ tan {\ frac {3 \ pi} {8}}}$	Восьмиугольник
3	${\ displaystyle 8 \ cos {\ frac {\ pi} {13}} \ cos {\ frac {3 \ pi} {13}} \ cos {\ frac {4 \ pi} {13}}}$	Трехугольник
4	${\ displaystyle 8 \ cos ^ {3} {\ frac {\ pi} {5}}}$	Пентагон
5	${\ displaystyle 128 \ cos {\ frac {\ pi} {29}} \ cos {\ frac {4 \ pi} {29}} \ cos {\ frac {5 \ pi} {29}} \ cos {\ frac {6 \ pi} {29}} \ cos {\ frac {7 \ pi} {29}} \ cos {\ frac {9 \ pi} {29}} \ cos {\ frac {13 \ pi} {29} }}$	29-угольник
6	${\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {21 \ pi} {40}}} {\ sin {\ frac {7 \ pi} {8}} - \ sin {\ frac {5 \ pi} {8 }} \ sin {\ frac {\ pi} {40}} \ csc {\ frac {11 \ pi} {40}} - \ sin {\ frac {19 \ pi} {20}} \ sin {\ frac { 9 \ pi} {40}} \ csc {\ frac {7 \ pi} {10}}}}}$	40-угольник
7
8	${\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {6 \ pi} {17}} \ sin {\ frac {7 \ pi} {17}} \ sin {\ frac {3 \ pi} {17}} \ sin {\ frac {12 \ pi} {17}}} {\ sin {\ frac {\ pi} {17}} \ sin {\ frac {9 \ pi} {17}} \ sin {\ frac {4 \ пи} {17}} \ sin {\ frac {2 \ pi} {17}}}}}$	Гептадекагон
9

Металлическое среднее для любого данного целого числа можно построить геометрически следующим образом. Определить правильный треугольник со сторонами и имеющими длины и, соответственно. Й металлический средний просто сумма длины и гипотенузы,. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle N / 2}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle H}$

Для, ${\ Displaystyle N = 1}$

N = 1

${\ displaystyle H = {\ sqrt {(N / 2) ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {5/4}} = 1.1180339...}$

так что

${\ displaystyle M = B + H = 1/2 + 1.1180339... = 1.6180339... =}$ φ.

Настройка дает соотношение серебра. ${\ Displaystyle N = 2}$

N = 2

${\ displaystyle H = {\ sqrt {(2/2) ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {2}} = 1,4142135...}$

Таким образом

${\ Displaystyle M = B + H = 2/2 + 1,4142135... = 2,4142135...}$

Точно так же коэффициент бронзы будет рассчитываться так: ${\ Displaystyle N = 3}$

N = 3

${\ displaystyle H = {\ sqrt {(3/2) ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {13/4}} = 1,8027756...}$

дает

${\ displaystyle M = B + H = 3/2 + 1,8027756... = 3,3027756...}$

Нецелочисленные аргументы иногда образуют треугольники со средним значением, которое само является целым числом. Примеры включают N = 1,5, где

N = 1,5

${\ displaystyle H = {\ sqrt {(1,5 / 2) ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {1,5625}} = 1,25}$

а также

${\ Displaystyle M = B + H = 1,5 / 2 + 1,25 = 2}$

Это просто уменьшенная версия треугольника Пифагора 3-4-5.

• Постоянный
• Иметь в виду
• Соотношение
• Пластиковый номер

• Стахов, Алексей Петрович (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики, с. 228, 231. World Scientific. ISBN   9789812775832.

• Кристина-Елена Хрецкану и Мирча Красмаряну (2013). « Металлические структуры на римановых многообразиях », Revista de la Unión Matemática, Аргентина.
• Ракочевич, Милое М. « Дальнейшее обобщение золотого сечения в связи с« божественным »уравнением Эйлера », Arxiv.org.