Алгебраический элемент

В математике, если L является расширением поля поля K, то элемент a из L называется алгебраическим элементом над K или просто алгебраическим над K, если существует некоторый ненулевой многочлен g (x) с коэффициентами в K такой, что g (a) = 0. Элементы L, не являющиеся алгебраическими над K, называются трансцендентными над K.

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширение поля - C/Q, C, являющееся полем комплексных чисел, а Q - полем рациональных чисел ).

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

• квадратный корень из 2 является алгебраическим над Q, поскольку это корень многочлена g (x) = x - 2, коэффициенты которого рациональны.
• Pi трансцендентен над Q, но алгебраичен над полем действительных чисел R: это корень функции g (x) = x - π, коэффициенты которой (1 и −π) являются действительными, но не являются полиномами с рациональными коэффициентами. (В определении термина трансцендентное число используется C/Q, а не C/R.)

Следующие условия эквивалентны для элемента a из L:

• a алгебраичен над K,
• расширение поля K (a) / K имеет конечную степень, т. Е. размерность K (a) как векторного пространства K- конечна (здесь K (a) обозначает наименьшее подполе L, содержащее K и a),
• K [a] = K (a), где K [a] - это множество всех элементов L, которые могут быть записаны в форма g (a) с полиномом g, коэффициенты которого лежат в K.

Эта характеризация может использоваться, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов над K снова являются алгебраическими над K. Множество всех элементы L, которые являются алгебраическими над K, - это поле, которое находится между L и K.

Если a является алгебраическим над K, то существует много ненулевых многочленов g (x) с коэффициентами из K, таких что g ( a) = 0. Однако есть один с наименьшей степенью и со старшим коэффициентом 1. Это минимальный pol ynomial of a, и он кодирует многие важные свойства a.

Поля, которые не допускают никаких алгебраических элементов над ними (кроме их собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми. Поле комплексных чисел является примером.

• Алгебраическая независимость

• Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001