Квадратное пирамидальное число

Число, представляющее количество сферических сфер в квадратной пирамиде Геометрическое представление квадратного пирамидального числа 1 + 4 + 9 + 16 = 30. Пирамида пушечные ядра в Страсбургском историческом музее. Количество шаров в пирамиде можно рассчитать как пятое квадратное пирамидальное число, 55.

В математике, пирамидальное число или квадратное пирамидальное число - это фигурное число , которое представляет количество сфер, уложенных стопкой в ​​пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также решают проблему подсчета количества квадратов в сетке n × n.

• 1 Формула
• 2 Связь с другими фигурами
• 3 Квадраты в квадрате
• 4 Вывод формулы суммирования
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние links

Первые несколько квадратных пирамидальных чисел:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819,... (последовательность A000330 в OEIS ).

Эти числа могут быть выражены в формуле как

$P\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nk\; 2\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; 1)\; 6\; знак\; равно\; 2\; n\; 3\; +\; 3\; n\; 2\; +\; n\; 6\; =\; n\; 3\; 3\; +\; n\; 2\; 2\; +\; n\; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; k\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\; (2n\; +\; 1)\}\; \{6\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; ^\; \{3\}\; +\; 3n\; ^\; \{2\}\; +\; n\; \}\; \{6\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{6\}\}.\}$

Это частный случай формулы Фаульхабера, и его можно доказать с помощью математической индукции. Эквивалентная формула приведена в Фибоначчи в Liber Abaci (1202, ch. II.12).

В современной математике фигурные числа формализованы полиномами Эрхарта. Полиномы Эрхарта Миал L (P, t) многогранника P является полиномом , который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, расширенной путем умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта для пирамиды, основание которой представляет собой единичный квадрат с целыми координатами, а вершина - целая точка на высоте, равной единице над базовой плоскостью, равен (t + 1) (t + 2) (2t + 3) / 6 = P t + 1.

Квадратные пирамидальные числа также могут быть выражены как суммы биномиальных коэффициентов :

$P\; n\; =\; (n\; +\; 2\; 3)\; +\; (п\; +\; 1\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{3\}\}.\}$

Биномиальные коэффициенты, встречающиеся в этом представлении, являются тетраэдрическими чисел, и эта формула выражает квадратно-пирамидальное число как сумму двух тетраэдрических чисел точно так же, как квадратные числа представляют собой суммы двух последовательных треугольных чисел.

Действительно, разделяя каждый слой (см. рисунок на верхний правый угол страницы) на два треугольных раздела дает результат с помощью идентификатора хоккейной клюшки.

Меньшее тетраэдрическое число представляет 1 + 3 + 6 + ⋯ + T n + 1, а больше 1 + 3 + 6 + ⋯ + T n + 2. Смещая большее и добавляя, мы получаем 1, (1 + 3), (3 + 6), (6 + 10_…, квадратные числа.

В этой сумме учитывается одно из двух тетраэдрических чисел количество шаров в сложенной пирамиде, которые находятся непосредственно над или по одну сторону от диагонали основного квадрата, а другое четырехгранное число в сумме учитывает количество шаров, которые находятся по другую сторону от диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими числами по-другому:

$P\; n\; =\; 1\; 4\; (2\; n\; +\; 2\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +2\}\; \{3\}\}.\}$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел - это октаэдрическое число.

. Увеличение пирамиды, у основания которой n шариков, путем добавления к одной из ее треугольных граней a тетраэдр, основание которого состоит из n - 1 шара, образует треугольную призму. Точно так же пирамиду можно выразить как результат вычитания тетраэдра из призмы. Это геометрическое рассечение приводит к другому соотношению:

$P\; n\; =\; n\; (\; п\; +\; 1\; 2)\; -\; (п\; +\; 1\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; n\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{3\}\}.\}$

Задача о пушечном ядре спрашивает, какое числа бывают квадратными и квадратно-пирамидальными. Помимо 1, есть только одно другое число, обладающее этим свойством: 4900, которое одновременно является 70-м квадратным числом и 24-м квадратным пирамидальным числом. Этот факт был доказан Г. Н. Уотсон в 1918 году.

Другая взаимосвязь связана с Треугольником Паскаля: в то время как классический Треугольник Паскаля со сторонами (1,1) имеет диагонали с натуральными числами, треугольными числами и тетраэдрическими числами, порождающими Числа Фибоначчи как суммы выборок по диагоналям, сестринский Паскаль со сторонами (2,1) имеет эквивалентные диагонали с нечетными числами, квадратными числами и квадратными пирамидальными числами, соответственно, и генерирует (с помощью той же процедуры) числа Люка, а не числа Фибоначчи..

Точно так же, как квадратные пирамидальные числа могут быть определены как сумма последовательных квадратов, возведенные в квадрат треугольные числа могут быть определены как сумма последовательных кубов.

Кроме того,

$P\; n\; =\; (n\; +\; 3\; 4)\; -\; (n\; +\; 1\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 3\}\; \{4\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{4\}\}\}$

который является разницей двух чисел пентатопа.

Это можно увидеть, расширив:

$n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (\; n\; +\; 3)\; -\; (n\; -\; 2)\; (n\; -\; 1)\; n\; (n\; +\; 1)\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; 2\; +\; 5\; n\; +\; 6\; -\; n\; 2\; +\; 3\; n\; -\; 2)\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (8\; N\; +\; 4)\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; (п\; +\; 1)\; (п\; +\; 2)\; (п\; +\; 3)\; -\; (п-2)\; (п-1)\; п\; (п\; +\; 1)\; =\; п\; (п\; +\; 1)\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{2\}\; +\; 5n\; +\; 6-n\; ^\; \{2\}\; +\; 3n-2\; \backslash \; right)\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (8n\; +\; 4)\}$

и разделив на 24.

Квадратная сетка 5 на 5, с выделенными тремя из 55 квадратов.

Обычная математическая головоломка включает в себя определение количества квадратов в большом n по n квадратная сетка. Это число может быть получено следующим образом:

• Количество блоков 1 × 1, найденных в сетке, равно n.
• Количество блоков 2 × 2, найденных в сетке, равно (n - 1). Их можно подсчитать, подсчитав все возможные верхние левые углы блоков 2 × 2.
• Количество блоков k × k (1 ≤ k ≤ n), найденных в сетке, равно (n - k + 1). Их можно подсчитать, подсчитав все возможные верхние левые углы блоков размером k × k.

Отсюда следует, что количество квадратов в квадратной сетке n × n равно:

$n\; 2\; +\; (n\; -\; 1)\; 2\; +\; (n\; -\; 2)\; 2\; +\; (n\; -\; 3)\; 2\; +\dots \; +\; 1\; 2\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; 1)\; 6.\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; ^\; \{2\}\; +\; (п-1)\; ^\; \{2\}\; +\; (п-2)\; ^\; \{2\}\; +\; (п-3)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; 1\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\; (2n\; +\; 1)\}\; \{6\}\}.\}$

То есть решение головоломки дается квадратными пирамидальными числами.

Количество прямоугольников в квадратной сетке задается квадратами треугольных чисел.

Воспроизведение мультимедиа Иллюстрация формулы суммы квадратов. 1 + ⋯ + n = n (n + 1) (2n + 1) / 6. Шесть копий квадратной пирамиды могут поместиться в кубоид размера n (n + 1) (2n + 1).

Разница двух последовательных квадратных чисел всегда является нечетным числом. Точнее, из-за тождества k - (k - 1) = 2k - 1, разница между k-м и (k - 1) -м квадратным числом составляет 2k - 1. Это дает следующую схему:

$0\; 1\; 4\; 9\; 16\; 25\dots \; (n\; -\; 1)\; 2\; n\; 2\; 1\; 3\; 5\; 7\; 9\dots \; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccccccccccccc\}\; 0\; 1\; 4\; 9\; 16\; 25\; \backslash \; ldots\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; 3\; 5\; 7\; 9\; \backslash \; ldots\; 2n-1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Следовательно, любое квадратное число можно записать как сумму нечетных чисел, то есть:

$n\; 2\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (\; 2\; и\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (2i-1).\}$

Это представление квадратных чисел можно использовать для выражения суммы первых n квадратных чисел как нечетные числа, расположенные в треугольнике, причем сумма всех чисел в треугольнике равна сумме первых n квадратных чисел:

$1\; 2\; =\; 1\; 2\; 2\; =\; 1\; 3\; 3\; 2\; =\; 1\; 3\; 5\; 4\; 2\; =\; 1\; 3\; 5\; 7\; 5\; 2\; знак\; равно\; 1\; 3\; 5\; 7\; 9\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; (n\; -\; 1)\; 2\; =\; 1\; \cdots \; \cdots \; 2\; n\; -\; 3\; n\; 2\; =\; 1\; \cdots \; \cdots \; 2\; n\; -\; 3\; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcccccccc\}\; \backslash \; scriptstyle\; 1\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; 3\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; 3\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 4\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; 3\; 5\; 7\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 5\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; 3\; 5\; 7\; 9\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; \backslash \; cdots\; \backslash \; scriptstyle\; 2n-3\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; \backslash \; scriptstyle\; 2n-3\; \backslash \; scriptstyle\; 2n-1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Теперь те же нечетные числа расположены двумя разными способами в виде равных треугольников.

$2\; n\; -\; 1\; 2\; n\; -\; 3\; 2\; n\; -\; 3\; ⋮\; \ddots \; 9\; \cdots \; \cdots \; 9\; 7\; \cdots \; \cdots \; 7\; 7\; 5\; \cdots \; \cdots \; 5\; 5\; 5\; 3\; \cdots \; \cdots \; 3\; 3\; 3\; 3\; 1\; \cdots \; \cdots \; 1\; 1\; 1\; 1\; 1\; =\; n\; 2\; знак\; равно\; (n\; -\; 1)\; 2\; \cdots \; =\; 5\; 2\; =\; 4\; 2\; =\; 3\; 2\; =\; 2\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cccccccc\}\; \backslash \; scriptstyle\; 2n-1\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 2n-3\; \backslash \; scriptstyle\; 2n\; -3\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \; 9\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; 9\; \backslash \backslash \; 7\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; 7\; 7\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; 5\; 5\; 5\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \; cdots\; \backslash \; 3\; 3\; 3\; 3\; \backslash \; cdots\; \backslash \; 3\; 3\; 3\; cdots\; \backslash \; cdots\; 1\; 1\; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; \backslash \; scriptstyle\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 5\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 4\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$$1\; 3\; 1\; 5\; 3\; 1\; 7\; 5\; 3\; 1\; 9\; 7\; 5\; 3\; 1\; ⋮\; \ddots \; 2\; n\; -\; 3\; \cdots \; \cdots \; 1\; 2\; n\; -\; 1\; 2\; n\; -\; 3\; \cdots \; 1\; =\; n\; 2\; =\; (n\; -\; 1)\; 2\; \cdots \; =\; 5\; 2\; =\; 4\; 2\; =\; 3\; 2\; =\; 2\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cccccccc\}\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 5\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 7\; 5\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 9\; 7\; 5\; 3\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; dots\; n\; \backslash \backslash \backslash -scriptstyle\; \backslash \backslash \; dots\; n\; \backslash \backslash \backslash -scriptstyle\; \backslash \; dots\; n\; \backslash \backslash \backslash \; scriptstyle\; 1\; \backslash \; scriptstyle\; 2n-3\; \backslash \; cdots\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; \backslash \; scriptstyle\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 5\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scri\; ptstyle\; =\; 4\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 3\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; scriptstyle\; =\; 1\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Укладка трех треугольников сверху друг друга дает вам столбцы, состоящие из трех чисел, которые обладают тем свойством, что их сумма всегда равна 2n + 1. В каждой вершине сумма столбца составляет 2n - 1 + 1 + 1 = 2n + 1. Теперь, если вы перейдете от один столбец в другой, тогда в одном треугольнике число увеличится на два, но во втором треугольнике оно уменьшится на два и останется прежним в третьем треугольнике, следовательно, сумма столбца останется постоянной. Таких столбцов 1 + 2 + ⋯ + n = n (n + 1) / 2, поэтому сумма чисел во всех трех треугольниках равна n (n + 1) (2n + 1) / 2. Это в 3 раза больше суммы первых n квадратных чисел, поэтому получаем:

$P\; n\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; 1)\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (\; n\; +\; 1)\; (2n\; +\; 1)\}\; \{6\}\}\}$

• Abramowitz, M. ; Стегун, И.А., ред. (1964). Справочник по математическим функциям. Прикладная математика. Серии. 55 . Национальное бюро стандартов. Стр. 813. ISBN 0-486-61272-4.
• Бейлер, А. Х. (1964). Развлечение в теории чисел. Дувр. С. 194. ISBN 0-486-21096-0.
• Гольдони, Г. (2002). «Наглядное доказательство суммы первых n квадратов и суммы первых n факториалов второго порядка». The Mathematical Intelligencer. 24(4): 67–69. doi : 10.1007 / bf03025326.
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи. Springer-Verlag. С. 260–261. ISBN 0-387-95419-8.
• Хопкрофт, Джон Э. ; Мотвани, Раджив ; Уллман, Джеффри Д. (2007). Введение в теорию автоматов, языки и вычисления (3-е изд.). Пирсон / Аддисон Уэсли. ISBN 9780321455369.

• Вайсштейн, Эрик У. «Квадратное пирамидальное число». MathWorld.