Liber Abaci

редактировать

Страница Liber Abaci из Biblioteca Nazionale di Firenze. В списке справа показаны числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (последовательность Фибоначчи ). 2, 8 и 9 больше напоминают арабские цифры, чем восточные арабские цифры или индийские цифры

Liber Abaci (также пишется как Liber Abbaci ; «Книга расчетов») - это исторический латинский манускрипт 1202 года по арифметике Леонардо Пизанского, посмертно известный как Фибоначчи.

Liber Abaci была одной из первых западных книг, описывающих индуистско-арабская система счисления и использовать символы, напоминающие современные «арабские цифры ». Обращаясь к приложениям как коммерческих торговцев, так и математиков, он продвигал превосходство системы и использование этих символов.

Хотя название книги также было переведено как «Книга абака», Sigler (2002) пишет, что это ошибка: цель книги - описать методы выполнения вычислений без помощи счётов, а также Ore (1948) подтверждает, что на протяжении столетий после его публикации алгоритмисты (последователи стиля вычислений, продемонстрированного в Liber Abaci) продолжали конфликтовать с абакистами (традиционалистами, которые продолжали использовать счеты в сочетании с римскими цифрами). Историк математики Карл Бойер заявил в своей «Истории математики»: «Книга, в которой Фибоначчи описал новый алгоритм, является знаменитой классикой, завершенной в 1202 году, но носит вводящее в заблуждение название - Liber abaci (или книга на счетах). Это не о счетах; это очень подробный трактат по алгебраическим методам и проблемам, в котором настоятельно рекомендуется использование индо-арабских цифр. "

Содержание

1 Краткое содержание разделов
2 Нотация Фибоначчи для дробей
3 Modus Indorum
4 Текстовая история
5 Примечания
6 Ссылки

Краткое содержание разделов

Первый раздел вводит индусско-арабские цифры система, включая методы преобразования между различными системами представления. Этот раздел также включает первое известное описание пробного подразделения для проверки того, является ли число составным, и, если да, факторинг it.

Во втором разделе представлены примеры из торговли, такие как преобразование валюты и измерений, а также расчет прибыли и процентов.

. В третьем разделе обсуждается ряд математических проблем; например, он включает (гл. II.12) китайскую теорему об остатках, совершенные числа и простые числа Мерсенна, а также формулы для арифметических рядов и для квадратных пирамидальных чисел. Другим примером в этой главе, описывающим рост популяции кроликов, было происхождение последовательности Фибоначчи, автор которой наиболее известен сегодня.

В четвертом разделе приводятся приближения, как числовые, так и геометрические, иррациональных чисел, таких как квадратные корни.

Книга также включает доказательства по евклидовой геометрии. Метод решения алгебраических уравнений Фибоначчи показывает влияние египетского математика начала X века Абу Камиля Шуджаха ибн Аслама.

Нотация Фибоначчи для дробей

При чтении Liber Abaci полезно понимать нотацию Фибоначчи для рациональных чисел - обозначение, промежуточное по форме между египетскими дробями, обычно используемыми до того времени, и вульгарными дробями, используемыми до сих пор. Между нотацией Фибоначчи и современной нотацией дробей есть три ключевых различия.

Обычно мы пишем дробь справа от целого числа, к которому она добавляется, например $2 1 3 {\ displaystyle \ scriptstyle 2 \, {\ frac {1} {3}}}$ $\ scriptstyle 2 \, {\ frac 13}$ для 7/3. Вместо этого Фибоначчи записал ту же дробь слева, то есть, $1 3 2 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {3}} \, 2}$ $\ scriptstyle {\ frac 13} \, 2$ .
Фибоначчи использовал обозначение составной дроби, в котором последовательность числителей и знаменателей имеет одну дробную черту; каждый такой член представляет собой дополнительную дробь данного числителя, деленную на произведение всех знаменателей ниже и справа от него. То есть $badc = ac + bcd {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {b} {cd}}}$ $\ scriptstyle {\ frac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {b} {cd}}$ и $cbafed = ad + bde + cdef {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ frac {a} {d}} + {\ frac {b} {de}} + {\ frac {c} {def}}}$ $\ scriptstyle {\ гидроразрыв {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ frac {a} {d}} + {\ frac {b} {de}} + {\ frac {c} {def}}$ . Обозначения читались справа налево. Например, 29/30 можно записать как $1 2 4 2 3 5 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}}$ $\ scriptstyle {\ frac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}$ , представляющее значение $4 5 + 2 3 × 5 + 1 2 × 3 × 5 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {4} {5}} + {\ frac {2} {3 \ times 5}} + {\ frac {1} {2 \ times 3 \ times 5}}}$ $\ scriptstyle {\ frac 45} + {\ frac 2 {3 \ times 5}} + {\ frac 1 {2 \ times 3 \ times 5}}$ . Это можно рассматривать как форму смешанной системы счисления, и это было очень удобно для работы с традиционными системами весов, мер и валют. Например, для единиц длины фут равен 1/3 от ярда, а дюйм составляет 1/12 фута, поэтому величина 5 ярдов, 2 фута и $7 3 4 {\ displaystyle \ scriptstyle 7 {\ frac {3} {4}}}$ $\ scriptstyle 7 {\ frac 34}$ дюймов можно представить в виде составной дроби: $3 7 2 4 12 3 5 {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ frac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5}$ $\ scriptstyle {\ frac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5$ ярдов. Однако типичные обозначения для традиционных мер, хотя и основаны на смешанных основаниях, не записывают знаменатели явно; явные знаменатели в обозначениях Фибоначчи позволяют ему использовать разные системы счисления для разных задач, когда это удобно. Сиглер также указывает на случай, когда Фибоначчи использует составные дроби, в которых все знаменатели равны 10, предвосхищая современную десятичную систему счисления для дробей.
Иногда Фибоначчи записывал несколько дробей рядом друг с другом, представляя сумму данных дробей. Например, 1/3 + 1/4 = 7/12, поэтому запись вида $1 4 1 3 2 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {4}} \, {\ frac {1} {3}} \, 2}$ $\ scriptstyle {\ frac 14} \, {\ frac 13} \, 2$ будет представлять число, которое теперь чаще будет записываться как смешанное число $2 7 12 {\ displaystyle \ scriptstyle 2 \, {\ frac {7} { 12}}}$ $\ scriptstyle 2 \, {\ frac {7} {12}}$ , или просто неправильная дробь $31 12 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {31} {12}}}$ $\ scriptstyle {\ frac {31} {12}}$ . Обозначение этой формы можно отличить от последовательностей числителей и знаменателей, разделяющих черту дроби, по видимому разрыву на полосе. Если все числители равны 1 в дроби, записанной в этой форме, и все знаменатели отличаются друг от друга, результатом является представление числа в египетской дроби. Это обозначение также иногда сочеталось с обозначением составной дроби: две составные дроби, написанные рядом друг с другом, представляли бы сумму дробей.

Сложность этого обозначения позволяет записывать числа разными способами, и Фибоначчи описал несколько методы перехода от одного стиля представления к другому. В частности, глава II.7 содержит список методов преобразования неправильной дроби в египетскую дробь, включая жадный алгоритм для египетских дробей, также известный как расширение Фибоначчи – Сильвестра.

Modus Indorum

В Liber Abaci, Фибоначчи говорит следующее, представляя Modus Indorum (метод индейцев), сегодня известный как индуистско-арабская система счисления или позиционная запись по основанию 10. В нем также были введены цифры, которые очень напоминали современные арабские цифры.

Поскольку мой отец был государственным служащим вдали от нашей родины на таможне Бугия, созданной для часто собирающихся там пизанских купцов, он имел меня в юности привела к нему, ища для себя полезного и комфортного будущего; Там он хотел, чтобы я изучал математику и меня учили несколько дней. Благодаря чудесному обучению искусству девяти индийских фигур знакомство с этим искусством и знание этого искусства понравились мне больше всего, и я учился у них, кто бы ни был в этом разбирался, из соседнего Египта, Сирии, Греции, Сицилии. и Прованс, и их различные методы, в которые я впоследствии много ездил, чтобы тщательно изучить, и я узнал из собравшихся диспутов. Но этот в целом алгоритм и даже дуги Пифагора я все равно считал почти ошибкой по сравнению с индийским методом. Поэтому, строго придерживаясь индийского метода и внимательно изучая его, исходя из моего собственного чутья, добавляя кое-что, а еще кое-что из тонкого евклидова геометрического искусства, применяя сумму, которую я смог воспринять в этой книге, я работал над это вместе в xv отдельных главах, демонстрирующих определенные доказательства почти для всего, что я вложил, так что в дальнейшем этот метод совершенствовался над остальными, эта наука была наставлена для нетерпеливых, и для итальянского народа, прежде всего других, которые до сих пор встречаются без минимума. Если я случайно упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, я умоляю вас о снисхождении ко мне, поскольку нет никого, кто не был бы без вины и во всем был бы очень осторожен.

Девять индийских фигур:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Этими девятью цифрами и знаком 0, который арабы называют зефиром, написано любое число... (Sigler 2002 ; см. Grimm 1973 для другого перевода)

Другими словами, в своей книге он выступал за использование цифр 0–9 и разряда. До этого времени в Европе использовались римские цифры, что делало современную математику практически невозможной. Таким образом, книга внесла важный вклад в распространение десятичных чисел. Распространение индуистско-арабской системы, однако, как пишет Оре, было "длительным", потребовалось еще много веков, чтобы широко распространиться, и не стало полным до конца XVI века. века, резко ускорившись только в 1500-х годах с появлением книгопечатания.

Текстовая история

Первое появление рукописи было в 1202 году. Копии этой версии не известны. Исправленная версия Liber Abaci, посвященная Майклу Скоту, появилась в 1227 году нашей эры. Сохранилось по крайней мере девятнадцать рукописей, содержащих части этого текста. Есть три полных версии этой рукописи тринадцатого и четырнадцатого веков. Есть еще девять неполных копий, известных между тринадцатым и пятнадцатым веками, и, возможно, другие еще не идентифицированы.

Не было известной печатной версии Liber Abaci до итальянского перевода Бонкомпаньи 1857 года. Первый полный английский переводом был текст Сиглера 2002 года.

Примечания

Ссылки

Латинский Викиисточник содержит исходный текст, относящийся к этой статье: Liber abbaci

Grimm, RE (1973), «Автобиография Леонардо Пизано» (PDF), The Fibonacci Quarterly, 11(1): 99–104.
Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8.
Ore, Øystein (1948), Теория чисел и ее история, McGraw Hill. Также доступна версия Dover, 1988, ISBN 978-0-486-65620-5.