Spiric section

Spiric section как плоские сечения тора

В геометрии, духовное сечение, иногда называемое духом Персея, представляет собой плоскую кривую четверти , определяемую уравнениями вида

$(x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; ey\; 2\; +\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; ey\; ^\; \{2\}\; +\; f.\; \backslash ,\}$

Эквивалентно спиртовые секции можно определить как двукруглые кривые четвертой степени, симметричные относительно осей x и y. Спирические секции входят в семейство торических секций и включают семейство гиппопед и семейство овалов Кассини. Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом означает «тор».

Спирическое сечение иногда определяется как кривая пересечения тора и плоскости, параллельной его оси симметрии вращения. Однако это определение не включает все кривые, указанные в предыдущем определении, если не разрешены мнимые плоскости.

Спирические сечения были впервые описаны древнегреческим геометром Персеем примерно в 150 г. до н.э. и считаются первыми описанными торическими сечениями. Название spiric произошло от древнего обозначения спирали тора.,

• 1 Уравнения
• 2 Спирические сечения на торе шпинделя
• 3 Спиритические сечения как изоптики
• 4 Примеры спиральных сечений
• 5 Ссылки

a = 1, b = 2, c = 0, 0.8, 1

Начнем с обычного уравнения для тора:

$(x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; b\; 2\; -\; a\; 2)\; 2\; =\; 4\; b\; 2\; (\; х\; 2\; +\; у\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; 4b\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\}$

Меняя местами y и z так, чтобы ось вращения теперь находилась на плоскости xy, и установка z = c для нахождения кривой пересечения дает

$(x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2)\; 2\; =\; 4\; b\; 2\; (x\; 2\; +\; c\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; 4b\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\}$

В этой формуле тор образован вращением окружности радиуса a с центром, следующей за другой окружностью радиуса b (не обязательно больше, чем a, самопересечение разрешено). Параметр c - это расстояние от плоскости пересечения до оси вращения. Спирических сечений с c>b + a не существует, поскольку нет пересечения; плоскость слишком далеко от тора, чтобы пересекать его.

Расширение уравнения дает форму из определения

$(x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; =\; dx\; 2\; +\; ey\; 2\; +\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; ey\; ^\; \{2\}\; +\; f\; \backslash ,\}$

где

$d\; =\; 2\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2),\; e\; =\; 2\; (a\; 2\; -\; b\; 2\; -\; c\; 2),\; f\; =\; -\; (a\; +\; b\; +\; c)\; (a\; +\; b\; -\; c)\; (a\; -\; b\; +\; c)\; (a\; -\; b\; -\; c).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; 2\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}),\; \backslash \; e\; =\; 2\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}),\; \backslash \; f\; =\; -\; (a\; +\; b\; +\; c)\; (a\; +\; bc)\; (a-b\; +\; c)\; (abc).\; \backslash ,\}$

В полярных координатах это становится

$(r\; 2\; -\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2)\; 2\; знак\; равно\; 4\; b\; 2\; (r\; 2\; cos\; 2\; \; \theta \; +\; c\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; 4b\; ^\; \{2\}\; (r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; +\; c\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\}$

или

$r\; 4\; =\; dr\; 2\; соз\; 2\; \; \theta \; +\; er\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; +\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{4\}\; =\; dr\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; +\; er\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; +\; f.\; \backslash ,\}$

Спирические секции на шпинделе тор

Спирические сечения на торе шпинделя, плоскости которого пересекают шпиндель (внутренняя часть), состоят из внешней и внутренней кривых (см. рисунок).

Изоптики эллипсов и гипербол - это спирические секции. (S. также веб-ссылка The Mathematics Enthusiast.)

Примеры включают гиппопед и овал Кассини и их родственников, такие как лемниската Бернулли. Овал Кассини обладает замечательным свойством: произведение расстояний до двух фокусов является постоянным. Для сравнения: сумма постоянна в эллипсах, разность постоянна в гиперболах и отношение постоянное в кругах.

• Weisstein, Eric W. «Спирический отдел». MathWorld.
• История MacTutor
• 2Dcurves.com description
• Биография Персея MacTutor
• Энтузиаст математики номер 9, статья 4

Конкретный

1. ^Джон Стилвелл: математика и ее история, Springer -Верлаг, 2010, ISBN 978-1-4419-6053-5, с. 33.
2. ^Уилбур Р. Норр : Древняя традиция геометрических проблем, Dover-Publ., New York, 1993, ISBN 0 -486-67532-7, с. 268.