Корневой тест

редактировать

В математике корневой тест является критерием сходимости (тест сходимости ) бесконечного ряда. Это зависит от величины

lim sup n → ∞ | а п | n, {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

\ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |},

где $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ являются членами ряда и заявляют, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно в связи с степенной серией.

Содержание

1 Объяснение корневого теста
2 Применение к силовой серии
3 Доказательство
4 См. Также
5 Ссылки

Объяснение корневого теста

Диаграмма принятия решения для корневого теста

Корневой тест был впервые разработан Огюстен-Луи Коши, который опубликовал его в своем учебнике Cours d'analyse (1821 г.). Таким образом, его иногда называют тестом корня Коши или радикальным тестом Коши . Для ряда

∑ n = 1 ∞ a n. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.

корневой тест использует число

C = lim sup n → ∞ | а п | n, {\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

C = \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |},

где "lim sup" обозначает предел старший, возможно ∞ +. Обратите внимание, что если

lim n → ∞ | а п | n, {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sqrt [n] {| a_n |},

сходится, тогда он равен C и может использоваться в корневом тесте вместо.

Корневой тест утверждает, что:

если C < 1 then the series сходится абсолютно,,
если C>1, то ряд расходится,
, если C = 1 и предел приближается строго сверху тогда ряд расходится,
в противном случае тест неубедителен (ряд может расходиться, сходиться абсолютно или сходиться условно ).

Существуют некоторые серии, для которых C = 1, и ряд сходится, например $∑ 1 / n 2 {\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}$ $\ textstyle \ sum 1 / {n ^ 2}$ , и есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например, $∑ 1 / n {\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}$ $\ textstyle \ sum 1 / n$ .

Применение к степенному ряду

Этот тест можно использовать с степенным рядом

f (z) = ∑ n = 0 ∞ cn (z - p) n {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}

f (z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty c_n (zp) ^ n

где коэффициенты c n, а в центре p - комплексные числа, а аргумент z - комплексная переменная.

Тогда члены этого ряда будут заданы как n = c n (z - p). Затем применяется корень tes t на a n, как указано выше. Обратите внимание, что иногда такой ряд называют степенным рядом «вокруг p», потому что радиус сходимости - это радиус R наибольшего интервала или диска с центром в p, так что ряд будет сходиться для всех точек. z строго внутри (сходимость на границе отрезка или диска обычно проверяется отдельно). Следствием проверки корня, примененного к такому степенному ряду, является теорема Коши – Адамара : радиус сходимости точно $1 / lim sup n → ∞ | c n | n, {\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$ $1 / \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [n] {| c_n |}},$ заботясь о том, чтобы мы действительно имели в виду ∞, если знаменатель равен 0.

Доказательство

Доказательство сходимости ряда Σa n представляет собой применение сравнительного теста. Если для всех n ≥ N (N некоторое фиксированное натуральное число ) имеем $| а п | n ≤ k < 1, {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$ $\ sqrt [n] {| a_n |} \ le k <1,$ , тогда $| а п | ≤ k n < 1 {\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ $| a_n | \ le k ^ n <1$ . Поскольку геометрический ряд $∑ n = N ∞ kn {\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}}$ $\ sum_ {n = N} ^ \ infty k ^ n$ сходится так же $∑ n = N ∞ | а п | {\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$ $\ sum_ {n = N} ^ \ infty | a_n |$ с помощью сравнительного теста. Следовательно, Σa n абсолютно сходится.

Если $| а п | п>1 {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}>1}$ $\sqrt[n]{|a_n|}>1$ для бесконечно большого числа n, тогда n не сходится к 0, следовательно, ряд расходится.

Доказательство следствия : для степенного ряда Σa n = Σc n (z - p), мы видим из вышеизложенного, что ряд сходится, если существует N такое, что для всех n ≥ N выполняется

| an | n = | cn (z - p) n | n < 1, {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}

\ sqrt [n] {| a_n |} = \ sqrt [n] {| c_n (z - p) ^ n |} <1,

, эквивалентное

| cn | n ⋅ | z - p | < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}

\ sqrt [n] {| c_n |} \ cdot | z - p | <1

для все n ≥ N, что означает, что для того, чтобы ряд сходился, мы должны иметь $| z - p | < 1 / | c n | n {\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ $| z - p | <1 / \ sqrt [n] {| c_n |}$ для всех достаточно больших n. Это эквивалентно тому, что

| z - p | < 1 / lim sup n → ∞ | c n | n, {\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}

| z - p | <1 / \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [n] {| c_n |}},

так $R ≤ 1 / lim sup n → ∞ | cn | n. {\ displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n } |}}.}$ $R \ le 1 / \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [n] {| c_n |}}.$ Теперь единственное другое место, где возможна сходимость, - это когда

| an | n = | cn (z - p) n | n = 1, {\ displaystyle {\ sqr t [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}

\ sqrt [n] {| a_n |} = \ sqrt [n] {| c_n (z - p) ^ n |} = 1,

(поскольку точки>1 будет расходиться), и это не изменит радиуса сходимости, поскольку это просто точки, лежащие на границе интервала или круга, поэтому

R = 1 / lim sup n → ∞ | c n | п. {\ displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}

R = 1 / \ limsup_ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [n] {| c_n |}}.

См. также

Ссылки

^Боттаццини, Умберто (1986), Высшее исчисление: история реального и комплексного анализа от Эйлера до Вейерштрасса, Springer-Verlag, стр. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Перевод с итальянского Уоррена Ван Эгмонда.
^Терренс Тихаона Добби (2017)

Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и серии. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60153-6.
Уиттакер, Э. Т. и Уотсон, Г. Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58807-3.

Эта статья включает материал из теста Proof of Cauchy root на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Совместная лицензия.