Радонизирующая функция

редактировать

В теории меры, радонизирующая функция (в конечном итоге названа в честь Иоганна Radon ) между измеряемыми пространствами - это тот, который принимает размер набора цилиндров (CSM) в первом пространстве до истинного измерения во втором пространстве. Он получил свое название, потому что мера продвижения во втором пространстве исторически считалась мерой Радона.

Определение

Учитывая два разделимых Банаховы пространства $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ , CSM ${μ T | T ∈ A (E)} {\ displaystyle \ {\ mu _ {T} | T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}}$ $\ {\ mu _ {{T}} | T \ in {\ mathcal { A}} (E) \}$ на $E {\ displaystyle E }$ $E$ и непрерывное линейное отображение $θ ∈ L в (E; G) {\ displaystyle \ theta \ in \ mathrm {Lin} (E ; G)}$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ mathrm {Lin} (E; G)}$ , мы говорим, что $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ радонифицирует, если CSM толкает вперед (см. Ниже) ${(θ ∗ (μ ⋅)) S | S ∈ A (G)} {\ Displaystyle \ left \ {\ left. \ Left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} \ right | S \ in {\ mathcal {A}} (G) \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {\ left. \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} \ right | S \ in {\ mathcal {A}} (G) \ right \}}$ на $G {\ displaystyle G}$ $G$ "является" мерой, т.е. есть мера $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ Nu$ на $G {\ displaystyle G}$ $G$ так, что

(θ ∗ (μ ⋅)) S = S ∗ (ν) {\ displaystyle \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = S _ {*} (\ nu)}

{ \ displaystyle \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = S _ {*} (\ nu)}

для каждого $S ∈ A (G) {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}} (G)}$ ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}} (G)}$ , где $S ∗ (ν) {\ displaystyle S _ {*} (\ nu)}$ ${\ displaystyle S _ {*} (\ nu)}$ - это обычное продвижение меры $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ Nu$ с помощью линейной карты $S: G → FS {\ displaystyle S: G \ до F_ {S}}$ ${\ displaystyle S: G \ to F_ {S}}$ .

Продвинуть CSM вперед

Поскольку определение CSM на $G {\ displaystyle G}$ $G$ требует, чтобы карты в $A (G) {\ displaystyle {\ mathcal {A}} (G)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A} } (G)}$ быть сюръективным, определение толчка вперед для CSM требует внимательного внимания. CSM

{(θ ∗ (μ ⋅)) S | S ∈ A (G)} {\ Displaystyle \ left \ {\ left. \ Left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} \ right | S \ in {\ mathcal {A}} (G) \ right \}}

{\ Displaystyle \ left \ {\ left. \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} \ right | S \ in {\ mathcal {A}} (G) \ right \}}

определяется как

(θ ∗ (μ ⋅)) S = μ S ∘ θ {\ displaystyle \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = \ mu _ {S \ circ \ theta}}

{\ displaystyle \ left (\ theta _ { *} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = \ mu _ {S \ circ \ theta}}

, если композиция $S ∘ θ: E → FS {\ displaystyle S \ circ \ theta: E \ to F_ {S}}$ ${\ displaystyle S \ circ \ theta: E \ to F_ {S}}$ является сюръективным. Если $S ∘ θ {\ displaystyle S \ circ \ theta}$ ${\ displaystyle S \ circ \ theta}$ не сюръективен, пусть $F ~ {\ displaystyle {\ tilde {F}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {F}}}$ будет изображение $S ∘ θ {\ displaystyle S \ circ \ theta}$ ${\ displaystyle S \ circ \ theta}$ , пусть $i: F ~ → FS {\ displaystyle i: {\ tilde {F}} \ to F_ {S}}$ ${\ displaystyle i: {\ t ilde {F}} \ to F_ {S}}$ быть картой включения и определить

(θ ∗ (μ ⋅)) S = i ∗ (μ Σ) {\ displaystyle \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = i _ {*} \ left (\ mu _ {\ Sigma} \ right)}

{\ displaystyle \ left (\ theta _ {*} (\ mu _ {\ cdot}) \ right) _ {S} = i _ {*} \ left (\ mu _ {\ Sigma} \ right)}

где $Σ: E → F ~ {\ displaystyle \ Sigma: E \ to {\ tilde {F}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma: E \ to {\ tilde {F}}}$ (так что $Σ ∈ A (E) {\ displaystyle \ Sigma \ in {\ mathcal {A}} (E)}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ in {\ mathcal {A}} (E)}$ ) таково, что $я ∘ Σ = S ∘ θ {\ displaystyle i \ circ \ Sigma = S \ circ \ theta}$ ${\ displaystyle i \ circ \ Sigma = S \ circ \ theta }$ .

См. Также