Проблема Раби

редактировать

проблема в квантовой оптике

Проблема Раби касается реакции атом к приложенному гармоническому электрическому полю, с приложенной частотой, очень близкой к собственной частоте атома. Он представляет собой простой и в целом решаемый пример взаимодействия легкого атома и назван в честь Исидора Исаака Раби.

Содержание

1 Классическая задача Раби
2 Двухуровневый атом
- 2.1 Полуклассический подход
3 Задача Раби в теории нестационарных возмущений
- 3.1 Подход квантовой теории поля
4 См. Также
5 Ссылки

Классическая задача Раби

В классическом подходе проблема Раби может быть представлен решением управляемого затухающего гармонического осциллятора с электрической частью силы Лоренца в качестве управляющего члена:

x ¨ a + 2 τ 0 x ˙ a + ω a 2 xa = em E (t, ra) {\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {a} + {\ frac {2} {\ tau _ {0}}} {\ dot {x} } _ {a} + \ omega _ {a} ^ {2} x_ {a} = {\ frac {e} {m}} E (t, \ mathbf {r} _ {a})}

{\ ddot {x}} _ {a} + {\ frac {2} {\ tau _ {0}}} {\ dot {x}} _ {a} + \ omega _ {a} ^ {2} x_ {a} = {\ frac {e} {m}} E (t, {\ mathbf {r}} _ {a})

где Предполагалось, что атом можно рассматривать как заряженную частицу (с зарядом е), колеблющуюся около своего положения равновесия вокруг нейтрального атома. Здесь x a - его мгновенная величина колебаний, $ω a {\ displaystyle \ omega _ {a}}$ $\ omega _ {a}$ его собственная частота колебаний, а $τ 0 { \ displaystyle \ tau _ {0}}$ $\ tau _ {0}$ its:

2 τ 0 = 2 e 2 ω a 2 3 mc 3 {\ displaystyle {\ frac {2} {\ tau _ {0}} } = {\ frac {2e ^ {2} \ omega _ {a} ^ {2}} {3mc ^ {3}}}}

{\ frac {2} {\ tau _ {0}}} = {\ frac {2e ^ {2} \ omega _ {a} ^ {2}} {3mc ^ {3}}}

, который был рассчитан на основе энергии дипольного осциллятора потери от электромагнитного излучения.

Чтобы применить это к задаче Раби, предполагается, что электрическое поле E является колебательным во времени и постоянным в пространстве:

E = E 0 [ei ω t + e - i ω t] {\ displaystyle E = E_ {0} [e ^ {i \ omega t} + e ^ {- i \ omega t}]}

E = E_ {0} [e ^ {{i \ omega t}} + e ^ {{- i \ omega t}}]

и x a разлагается на часть u a, которое находится в синфазе с управляющим полем E (соответствует дисперсии), и часть v a, которая находится в противофазе (соответствует поглощению):

xa = x 0 (ua соз ⁡ ω T + ва грех ⁡ ω t) {\ displaystyle x_ {a} = x_ {0} (u_ {a} \ cos \ omega t + v_ {a} \ sin \ omega t)}

x_ {a} = x_ {0} (u_ {a} \ cos \ omega t + v_ {a} \ sin \ omega t)

Здесь x 0 предполагается постоянным, но u a и v a могут изменяться во времени. Однако, если мы предположим, что мы очень близки к резонансу ( $ω ≈ ω a {\ displaystyle \ omega \ приблизительно \ omega _ {a}}$ $\ omega \ приблизительно \ omega _ {a}$ ), то эти значения будут медленно меняться во времени., и мы можем сделать предположение, что $u ˙ a ≪ ω ua {\ displaystyle {\ dot {u}} _ {a} \ ll \ omega u_ {a}}$ ${ \ dot {u}} _ {a} \ ll \ omega u_ {a}$ , $v ˙ a ≪ ω va { \ displaystyle {\ dot {v}} _ {a} \ ll \ omega v_ {a}}$ ${\ точка {v}} _ {a} \ ll \ omega v_ {a}$ и $u ¨ a ≪ ω 2 ua {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {a} \ ll \ omega ^ {2} u_ {a}}$ ${\ ddot {u}} _ {a} \ ll \ omega ^ {2} u_ {a}$ , $v ¨ a ≪ ω 2 va {\ displaystyle {\ ddot {v}} _ {a} \ ll \ omega ^ {2} v_ { a}}$ ${\ ddot {v}} _ {а } \ ll \ omega ^ {2} v_ {a}$ .

С этими допущениями уравнения силы Лоренца для синфазной и не синфазной частей могут быть переписаны как,

u ˙ = - δ v - u T {\ displaystyle {\ dot { u}} = - \ delta v - {\ frac {u} {T}}}

{\ dot {u}} = - \ delta v - {\ frac {u} {T}}

v ˙ = δ u - v T + κ E 0 {\ displaystyle {\ dot {v}} = \ delta u- {\ frac {v} {T}} + \ kappa E_ {0}}

{\ dot {v}} = \ delta u - {\ frac {v} {T}} + \ каппа E_ {0}

, где мы заменили естественное время жизни $τ 0 {\ displaystyle \ tau _ {0}}$ $\ tau _ {0}$ на более общее эффективное время жизни T (которое может включать другие взаимодействия, такие как столкновения), и упало e подстрочный индекс a в пользу вновь определенного detuning $δ = ω - ω a {\ displaystyle \ delta = \ omega - \ omega _ {a}}$ $\ delta = \ omega - \ omega _ {a}$ , который служит одинаково хорошо различать атомы разных резонансных частот. Наконец, была определена константа $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ :

κ = defm ω x 0 {\ displaystyle \ kappa \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} { =}} \ {\ frac {e} {m \ omega x_ {0}}}}

\ kappa \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {= }} \ {\ frac {e} {м \ omega x_ {0}}}

Эти уравнения можно решить следующим образом:

u (t; δ) = [u 0 cos ⁡ δ t - v 0 грех ⁡ δ t] е - t / T + κ E 0 ∫ 0 tdt ′ грех ⁡ δ (t - t ′) e - (t - t ′) / T {\ displaystyle u (t; \ delta) = [u_ {0} \ cos \ delta t-v_ {0} \ sin \ delta t] e ^ {- t / T} + \ kappa E_ {0} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ sin \ delta (t-t ') e ^ {- (t-t') / T}}

u(t;\delta)=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{{-t/T}}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (t-t')e^{{-(t-t')/T}}

v (t; δ) = [u 0 cos ⁡ δ t + v 0 sin ⁡ δ t] e - t / T - κ E 0 ∫ 0 tdt ′ соз ⁡ δ (t - t ′) e - (t - t ′) / T {\ displaystyle v (t; \ delta) = [u_ {0} \ cos \ delta t + v_ {0} \ sin \ delta t] e ^ {- t / T} - \ kappa E_ {0} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ cos \ delta (t-t') e ^ {- (t-t ') / T}}

v(t;\delta)=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{{-t/T}}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (t-t')e^{{-(t-t')/T}}

После того, как все переходные процессы исчезли, решение для установившегося состояния принимает простую форму,

xa (t) = em E 0 (ei ω T ω a 2 - ω 2 + 2 я ω / T + c. c.) {\ displaystyle x_ {a} (t) = {\ frac {e} {m}} E_ {0} \ left ({\ гидроразрыв {e ^ {i \ omega t}} {\ omega _ {a} ^ {2} - \ omega ^ {2} + 2i \ omega / T}} + \ mathrm {c.c.} \ right)}

x_ {a} (t) = {\ frac {e} {m}} E_ {0} \ left ({\ frac {e ^ {{i \ omega t}}} {\ omega _ {a} ^ {2} - \ omega ^ {2} + 2i \ omega / T}} + {\ mathrm {cc}} \ right)

где "c.c." обозначает комплексное сопряжение противоположного члена.

Двухуровневый атом

Полуклассический подход

Классическая задача Раби дает некоторые основные результаты и простую для понимания картину проблемы, но для понимания таких явлений, как инверсия, спонтанное излучение и сдвиг Блоха-Зигерта, необходима полностью квантово-механическая обработка.

Самый простой подход - это приближение двухуровневого атома, в котором рассматриваются только два энергетических уровня рассматриваемого атома. На самом деле не существует атома только с двумя уровнями энергии, но переход между, например, двумя сверхтонкими состояниями в атоме можно рассматривать в первом приближении, как если бы существовали только эти два уровня, если допустить, что движущая сила не так уж и далек от резонанса.

Удобство двухуровневого атома состоит в том, что любая двухуровневая система эволюционирует по существу так же, как система спин-1/2, в соответствии с Блохом. уравнения, которые определяют динамику в электрическом поле:

u ˙ = - δ v {\ displaystyle {\ dot {u}} = - \ delta v}

{\ dot {u}} = - \ delta v

v ˙ = δ u + κ E вес {\ Displaystyle {\ точка {v}} = \ дельта и + \ каппа Ew}

{\ dot {v}} = \ delta u + \ kappa Ew

ш ˙ = - κ E v {\ displaystyle {\ dot {w}} = - \ kappa Ev}

{\ dot {w}} = - \ kappa Ev

где мы применили приближение вращающейся волны, исключив члены с высокой угловой скоростью (и, таким образом, небольшое влияние на общую динамику спина за длительные периоды времени), а преобразовали в набор координаты, вращающиеся с частотой $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ .

Здесь есть явная аналогия между этими уравнениями и теми, которые определяли эволюцию синфазных и противофазных компонентов колебаний в классическом кейс. Теперь, однако, есть третий член w, который можно интерпретировать как разность населенностей между возбужденным и основным состоянием (изменяется от -1, чтобы представить полностью в основном состоянии, до +1, полностью в возбужденном состоянии). Имейте в виду, что для классического случая существовал непрерывный энергетический спектр, который мог бы занимать атомный осциллятор, в то время как для квантового случая (как мы предположили) существует только два возможных (собственных) состояния проблемы.

Эти уравнения также могут быть представлены в матричной форме:

ddt [uvw] = [0 - δ 0 δ 0 κ E 0 - κ E 0] [uvw] {\ displaystyle {\ frac {d } {dt}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 - \ delta 0 \\\ delta 0 \ kappa E \\ 0 - \ kappa E 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}}}

{\ frac { d} {dt}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 - \ delta 0 \\\ delta 0 \ kappa E \\ 0 - \ kappa E 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}}

Примечательно, что эти уравнения могут быть записаны как уравнение векторной прецессии:

d ρ dt = Ω × ρ {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {\ rho}} {dt}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {\ rho}}

{\ frac {d {\ mathbf {\ rho}}} {dt}} = {\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {\ rho}}

где $ρ = (u, v, w) {\ displaystyle \ mathbf {\ rho} = (u, v, w)}$ ${\ mathbf {\ rho}} = (u, v, w)$ - вектор псевдоспина, а $Ω = (- κ E, 0, δ) {\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = (- \ kappa E, 0, \ delta)}$ ${\ mathbf {\ Omega}} = (- \ kappa E, 0, \ delta)$ действует как эффективный крутящий момент.

Как и раньше, проблема Раби решается в предположении, что электрическое поле E является колебательным с постоянной величиной E 0: $E = E 0 (ei ω t + c. C.) {\ Displaystyle E = E_ { 0} (e ^ {i \ omega t} + \ mathrm {cc})}$ $E = E_ {0} (e ^ {{i \ omega t}} + {\ mathrm {cc}})$ . В этом случае решение можно найти, применив два последовательных поворота к матричному уравнению, приведенному выше, вида

[uvw] = [cos ⁡ χ 0 sin ⁡ χ 0 1 0 - sin ⁡ χ 0 cos ⁡ χ] [u ′ v ′ w ′] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ chi 0 \ sin \ chi \\ 0 1 0 \ \ - \ sin \ chi 0 \ cos \ chi \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u '\\ v' \\ w '\ end {bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \chi 0\sin \chi \\010\\-\sin \chi 0\cos \chi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}

[u ′ v ′ w ′] = [1 0 0 0 cos ⁡ Ω t sin ⁡ Ω t 0 - sin ⁡ Ω t cos ⁡ Ω t] [u ″ v ″ w ″] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u '\ \ v '\\ w' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 \ cos \ Omega t \ sin \ Omega t \\ 0 - \ sin \ Omega t \ cos \ Omega t \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u '' \\ v '' \\ w '' \ end {bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}100\\0\cos \Omega t\sin \Omega t\\0-\sin \Omega t\cos \Omega t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u''\\v''\\w''\end{bmatrix}}

где

tan ⁡ χ = δ κ E 0 {\ displaystyle \ tan \ чи = {\ гидроразрыва {\ дельта} {\ каппа E_ {0}}}}

\ tan \ chi = {\ frac {\ delta} {\ kappa E_ {0}}}

Ω (δ) = δ 2 + (κ E 0) 2 {\ displaystyle \ Omega (\ delta) = {\ sqrt {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2}}}}

\ Omega (\ delta) = {\ sqrt {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2}} }

Здесь частота $Ω (δ) {\ displaystyle \ Omega (\ delta)}$ $\ Omega (\ delta)$ известен как обобщенный Rab i частота, которая дает скорость прецессии вектора псевдоспина относительно преобразованной оси u '(заданной первым преобразованием координат выше). Например, если электрическое поле (или лазер ) находится точно в резонансе (например, $δ = 0 {\ displaystyle \ delta = 0}$ $\ delta = 0$ ), тогда псевдо -вектор вращения будет прецессировать вокруг оси u со скоростью $κ E 0 {\ displaystyle \ kappa E_ {0}}$ $\ kappa E_ {0}$ . Если этот (резонансный) импульс светится на совокупность атомов, изначально все в их основном состоянии (w = -1), в течение времени $Δ t = π / κ E 0 {\ displaystyle \ Delta t = \ pi / \ kappa E_ {0}}$ $\ Delta t = \ pi / \ kappa E_ {0}$ , то после импульса все атомы будут теперь в возбужденном состоянии (w = 1) из-за $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ (или 180 градусов) вращение вокруг оси u. Это известно как $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ -импульс и имеет результат полной инверсии.

Общий результат дается выражением

[uvw] = [(κ E 0) 2 + δ 2 cos ⁡ Ω t Ω 2 - δ Ω sin ⁡ Ω t - δ κ E 0 Ω 2 (1 - cos ⁡ Ω t) δ Ω sin ⁡ Ω t cos ⁡ Ω t κ E 0 Ω sin ⁡ Ω t δ κ E 0 Ω 2 (1 - cos ⁡ Ω t) - κ E 0 Ω sin ⁡ Ω t δ 2 + (κ E 0) 2 соз ⁡ Ω t Ω 2] [u 0 v 0 w 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} {\ frac {(\ kappa E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Omega ^ {2}}} - {\ frac {\ delta} { \ Omega}} \ sin {\ Omega t} - {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} {\ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) \\ {\ frac { \ delta} {\ Omega}} \ sin \ Omega t \ cos \ Omega t {\ frac {\ kappa E_ {0}} {\ Omega}} \ sin \ Omega t \\ {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} {\ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) - {\ frac {\ kappa E_ {0}} {\ Omega}} \ sin {\ Omega t} {\ frac {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Omega ^ {2}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ { 0} \\ v_ {0} \\ w_ {0} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \ конец {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {(\ kappa E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Omega ^ {2}}} - {\ frac {\ delta} {\ Omega}} \ sin {\ Omega t} - {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} {\ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) \\ {\ frac {\ delta} {\ Omega}} \ sin \ Omega t \ cos \ Omega t {\ frac {\ kappa E_ {0}} {\ Omega}} \ sin \ Omega t \\ {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} {\ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) - {\ frac {\ каппа E_ {0}} {\ Omega}} \ sin {\ Omega t} {\ frac {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Омега ^ {2}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {0} \\ v_ {0} \\ w_ {0} \ end {bmatrix}}

Выражение для инверсии w можно значительно упростить, если предположить, что атом изначально находится в основном состоянии (w 0 = -1) с u 0 = v 0 = 0, и в этом случае

w (t; δ) знак равно - 1 + 2 (κ E 0) 2 (κ E 0) 2 + δ 2 грех 2 ⁡ (Ω t 2) {\ displaystyle w (t; \ delta) = - 1 + {\ frac {2 ( \ kappa E_ {0}) ^ {2}} {(\ kappa E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Omega t } {2}} \ right)}

w (t; \ delta) = - 1 + {\ frac {2 (\ kappa E_ {0}) ^ {2}} {(\ каппа E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Omega t} {2}} \ right)

Задача Раби в теории нестационарных возмущений

В квантовом подходе периодическая движущая сила может рассматриваться как периодическое возмущение и, следовательно, может быть решена с использованием времени -зависимая теория возмущений

H (t) = H 0 + H 1 (t) {\ displaystyle H (t) = H ^ {0} + H ^ {1} (t)}

{\ displaystyle H (t) = H ^ {0} + H ^ {1} (t)}

где $H 0 {\ displaystyle H ^ {0}}$ ${\ displaystyle H ^ {0}}$ - гамильтониан, не зависящий от времени, который дает исходные собственные состояния, а $H 1 (t) {\ displaystyle H ^ {1} (t)}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (t)}$ - возмущение, зависящее от времени. Предположим, что в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ мы можем развернуть состояние в следующей форме

ϕ (t) = ∑ n d n (t) e - i E n t / ℏ | n⟩ {\ displaystyle \ phi (t) = \ sum _ {n} d_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle}

{\ displaystyle \ phi (t) = \ sum _ { n} d_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle}

где $| n⟩ {\ displaystyle | n \ rangle}$ $| n \ rangle$ представляет собственные состояния невозмущенных состояний. Для невозмущенной системы $d n (t) = d n (0) {\ displaystyle d_ {n} (t) = d_ {n} (0)}$ ${\ displaystyle d_ {n} (t) = d_ {n} (0)}$ является константой. Теперь давайте вычислим $dn (t) {\ displaystyle d_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle d_ {n} (t)}$ при периодическом возмущении $H 1 (t) = H 1 e - i ω t {\ стиль отображения Н ^ {1} (т) = Н ^ {1} е ^ {- я \ omega t}}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (т) = ЧАС ^ {1} е ^ {- я \ омега т}}$ . Применение оператора $я ℏ ∂ / ∂ t - H 0 - H 1 {\ displaystyle i \ hbar \ partial / \ partial tH ^ {0} -H ^ {1}}$ ${\ displaystyle i \ hbar \ partial / \ partial tH ^ {0} -H ^ {1}}$ с обеих сторон из предыдущего уравнения мы можем получить

0 = ∑ n [i ℏ d ˙ n - H 1 e - i ω tdn] e - i E n 0 t / ℏ | п⟩ {\ Displaystyle 0 = \ сумма _ {п} [я \ hbar {\ точка {d}} _ {n} -H ^ {1} e ^ {- я \ omega t} d_ {n}] e ^ {-iE_ {n} ^ {0} t / \ hbar} | n \ rangle}

{\ displaystyle 0 = \ сумма _ {n} [i \ hbar {\ dot {d}} _ {n} -H ^ {1} e ^ {- i \ omega t} d_ {n}] e ^ {- iE_ {n} ^ { 0} t / \ hbar} | n \ rangle}

, а затем умножить $⟨m | ei E m 0 t / ℏ {\ displaystyle \ langle m | e ^ {iE_ {m} ^ {0} t / \ hbar}}$ ${\ displaystyle \ langle m | e ^ {iE_ {m} ^ {0} t / \ hbar}}$ с обеих сторон уравнения,

i ℏ d ˙ m = ∑ n ⟨m | H 1 | n⟩ ei (ω mn - ω) tdn {\ displaystyle i \ hbar {\ dot {d}} _ {m} = \ sum _ {n} \ langle m | H ^ {1} | n \ rangle e ^ { i (\ omega _ {mn} - \ omega) t} d_ {n}}

{\ displaystyle i \ hbar {\ dot {d}} _ {m} = \ sum _ {n} \ langle m | H ^ {1 } | n \ rangle e ^ {i (\ omega _ {mn} - \ omega) t} d_ {n}}

Когда частота возбуждения находится в резонансе между двумя состояниями $| м⟩ {\ displaystyle | m \ rangle}$ $| m \ rangle$ и $| n⟩ {\ displaystyle | n \ rangle}$ $| n \ rangle$ , т.е. $ω = ω mn {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {mn}}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {mn}}$ , становится нормальным режимом задача двухуровневой системы, и легко найти, что

dm, n (t) = dm, n, + (0) ei Ω t + dm, n, - (0) e - i Ω t { \ Displaystyle d_ {m, n} (t) = d_ {m, n, +} (0) e ^ {i \ Omega t} + d_ {m, n, -} (0) e ^ {- i \ Omega t}}

{\ displaystyle d_ {m, n} (t) = d_ {m, n, +} ( 0) e ^ {i \ Omega t} + d_ {m, n, -} (0) e ^ {- i \ Omega t}}

где $Ω = ⟨m | H 1 | n⟩ ℏ {\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ langle m | H ^ {1} | n \ rangle} {\ hbar}}}$ ${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ langle m | H ^ {1} | n \ rangle} {\ hbar}}}$

Вероятность того, что состояние будет в m в момент t, равна

P m = dm (t) ∗ dm (t) = dm, - 2 (0) + dm, + 2 (0) + 2 dm, - (0) dm, + (0) cos ⁡ (2 Ω t) {\ displaystyle P_ {m} = d_ {m} (t) ^ {*} d_ {m} (t) = d_ {m, -} ^ {2} (0) + d_ {m, +} ^ { 2} (0) + 2d_ {m, -} (0) d_ {m, +} (0) \ cos (2 \ Omega t)}

{\ displaystyle P_ {m} = d_ {m} (t) ^ {*} d_ {m} (t) = d_ {m, -} ^ {2} (0) + d_ {m, +} ^ {2} (0) + 2d_ {m, -} (0) d_ {m, +} (0) \ cos (2 \ Omega t)}

Значение $dm, ± (0) {\ displaystyle d_ {m, \ pm} (0)}$ ${\ displaystyle d_ {m, \ pm} (0)}$ зависит от начального состояния системы.

Точное решение системы со спином 1/2 в осциллирующем магнитном поле было решено Раби (1937). Из их работы ясно, что частота колебаний Раби пропорциональна величине колебательного магнитного поля.

Подход квантовой теории поля

В подходе Блоха поле не квантуется, и ни результирующая когерентность, ни резонанс не объясняются хорошо.

Необходима работа для подхода QFT, в основном модель Джейнса-Каммингса.

См. Также

Ссылки

Аллен, L; Эберли, Дж. Х. (1987). Оптический резонанс и двухуровневые атомы. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-65533-8. OCLC 17233252.

Раби И. И. (15 апреля 1937 г.). «Квантование пространства в вращающемся магнитном поле». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 51 (8): 652–654. doi : 10.1103 / Physrev.51.652. ISSN 0031-899X.