Пифагорейское дополнение

В математике, Пифагор дополнение следующая бинарная операция на действительных числах :

${\ displaystyle a \ oplus b = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Название напоминает теорему Пифагора, которая гласит, что длина гипотенузы в виде прямоугольного треугольника является ⊕ Ь, где и б -длины других сторон. В своих приложениях для обработки сигналов и распространения из неопределенности измерения, та же самая операция также называется добавление в квадратуре.

Эта операция обеспечивает простые обозначения и терминологию, когда слагаемые сложные; например, соотношение энергии-импульса в физике становится

$${\ displaystyle E = mc ^ {2} \ oplus pc.}$$

Он реализован во многих библиотеках программирования как функция гипотез, чтобы избежать ошибок, возникающих из-за вычислений с ограниченной точностью, выполняемых на компьютерах.

• 1 Приложения
• 2 свойства
• 3 Реализация
  • 3.1 Реализация
  • 3.2 Поддержка языков программирования
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Дальнейшее чтение

Если измерения X, Y, Z,... имеют независимые ошибки ΔX, ΔY, ΔZ,... соответственно, квадратурный метод дает общую ошибку,

$${\ displaystyle \ varDelta _ {o} = {\ sqrt {{\ varDelta _ {X}} ^ {2} + {\ varDelta _ {Y}} ^ {2} + {\ varDelta _ {Z}} ^ { 2} + \ cdots}}}$$ тогда как верхний предел общей ошибки $${\ displaystyle \ varDelta _ {u} = \ varDelta _ {X} + \ varDelta _ {Y} + \ varDelta _ {Z} + \ cdots}$$ если бы ошибки не были независимыми.

Это эквивалентно нахождению величины результирующей при сложении ортогональных векторов, каждый из которых имеет величину, равную неопределенности, с использованием теоремы Пифагора.

При обработке сигналов сложение в квадратуре используется для определения общего шума от независимых источников шума. Например, если датчик изображения дает 6 цифровых числа от дробового шума, 3 из темнового тока шума и 2 теплового шума при определенном условии, общий уровень шума,

$${\ displaystyle \ sigma = 6 \ oplus 3 \ oplus 2 = {\ sqrt {6 ^ {2} + 3 ^ {2} + 2 ^ {2}}} = 7}$$ цифровые числа, показывающие преобладание более крупных источников шума.

Операция ⊕ ассоциативна и коммутативна, и

$${\ displaystyle {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}} = x_ {1} \ oplus x_ {2} \ oplus \ cdots \ oplus x_ {n}.}$$ Этого достаточно, чтобы действительные числа образовали коммутативную полугруппу. Однако ⊕ не является групповой операцией по следующим причинам.

Единственный элемент, который потенциально может действовать как элемент идентичности, - это 0, поскольку идентичность e должна удовлетворять e ⊕ e  =  e. Это дает уравнение, но если e не равно нулю, это означает, что e может быть только нулем. К сожалению, 0 в конце концов не работает как элемент идентичности, поскольку 0⊕ (−1) = 1. Однако это указывает на то, что если операция ⊕ ограничена неотрицательными действительными числами, то 0 действительно действует как идентичность. Следовательно, операция ⊕, действующая на неотрицательные действительные числа, образует коммутативный моноид. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} е = е}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1}$

Гипотензия - это математическая функция, предназначенная для вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Он был разработан, чтобы избежать ошибок, возникающих из-за вычислений с ограниченной точностью, выполняемых на компьютерах. Вычислить длину гипотенузы треугольника можно с помощью функции извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов, но гипотеза ( x,  y) позволяет избежать проблем, возникающих при возведении в квадрат очень больших или очень малых чисел. Если рассчитано по естественной формуле,

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$$ квадраты очень больших или малых значений х и у могут превышать диапазон машинной точности при расчете на компьютере, что приводит к неверному результату, вызванной арифметической сгущенного и / или арифметического переполнения. Функция гипотезы была разработана, чтобы вычислить результат, не вызывая этой проблемы.

Функция гипотезы часто используется вместе с функцией atan2 для преобразования декартовых координат в полярные координаты :

г = гипотеза ( х,  у), θ = atan2 ( y,  x).

Если любой вход бесконечен, результат будет бесконечным, т. Е.

гипотеза ( x, ± ∞) = гипотеза (± ∞, x) = + ∞

Поскольку это верно для всех возможных значений х, в том числе бесконечности, IEEE 754 стандарт с плавающей точкой требует, чтобы это определение также применимо, если х это не является числом (NaN).

Реализация

Сложность наивной реализации состоит в том, что x ² или y ² могут быть переполнены или опустошены, если промежуточный результат не вычисляется с повышенной точностью. Распространенным методом реализации является при необходимости обмен значениями, чтобы | х | ≥ | y |, а затем использовать эквивалентную форму

$${\ displaystyle {\ begin {align} r amp; = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {x ^ {2} \ left (1+ \ left ({ \ tfrac {y} {x}} \ right) ^ {2} \ right)}} \\ amp; = | x | {\ sqrt {1+ \ left ({\ tfrac {y} {x}} \ right) ^ {2}}} \ left (= | x | + {\ frac {y} {| x |}} {\ frac {y} {1 + {\ sqrt {1+ \ left ({\ tfrac {y}) {x}} \ right) ^ {2}}}}} \ right). \ end {align}}}$$

Вычисление y / x не может быть переполнено, если и x, и y не равны 0. Если y / x не переполняется, окончательный результат будет равен | x |, что верно в пределах точности вычисления. Квадратный корень вычисляется из значения от 1 до 2. Наконец, умножение на | х | не может быть недостаточным и переполняется только тогда, когда результат слишком велик для представления.

У этой реализации есть обратная сторона: требуется дополнительное деление с плавающей запятой, что может удвоить стоимость наивной реализации, поскольку умножение и сложение обычно намного быстрее, чем деление и извлечение квадратного корня.

Более сложные реализации избегают этого, разделяя входные данные на большее количество случаев:

• x ≫ y: гипотеза ( x, y) = | x |, с точностью до машинной точности.
• x ² переполнения: умножьте и x, и y на небольшой коэффициент масштабирования (например, 2 ⁻⁶⁴ для одинарной точности IEEE), используйте наивный алгоритм, который теперь не будет переполняться, и умножьте результат на (большой) обратный (например, 2 ⁶⁴).
• y ² потери значимости: То же, что и выше, но обратные коэффициенты масштабирования для увеличения промежуточных значений.
• В противном случае: наивный алгоритм безопасен.

Дополнительные методы позволяют вычислить результат более точно, например, до менее одного ulp.

Поддержка языков программирования

Функция присутствует на нескольких языках программирования:

• C99
• CSS
• C ++ 11
• D (язык программирования)
• Фортран 2008
• Юля (язык программирования)
• Swift (язык программирования)
• Python (язык программирования)
• Числовые значения PowerPC от Apple
• MATLAB
• Паскаль
• PHP
• Java (язык программирования) (начиная с версии 1.5)
• Котлин
• Рубин
• Идти
• Ржавчина
• JavaScript (с ES2015)
• Некоторые библиотеки C90 и C ++ предоставляют функцию гипотез.
• Scala

• Евклидово расстояние
• Алгоритм альфа-макс плюс бета-мин
• В Metafont есть встроенные операции сложения и вычитания Пифагора под именами ++и +-+соответственно.

• Дубрулль, Августин А. (1983). «Класс численных методов вычисления пифагоровых сумм» (PDF). Журнал исследований и разработок IBM. 27 (6): 582–589. CiteSeerX   10.1.1.94.3443. DOI : 10.1147 / rd.276.0582. .