Шум Джонсона – Найквиста

редактировать

Эти три схемы эквивалентны: (A) Резистор при ненулевой температуре, который имеет сопротивление Джонсона шум; (B) Бесшумный резистор , соединенный последовательно с источником напряжения, создающим шум (т.е. эквивалентная схема Тевенина); (C) Бесшумное сопротивление , подключенное параллельно к источнику тока, создающему шум (т.е. эквивалентной схеме Нортона).

Шум Джонсона – Найквиста (тепловой шум, шум Джонсона или шум Найквиста ) - это электронный шум, создаваемый тепловым перемешиванием носителей заряда ( обычно электроны ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от любого приложенного напряжения. Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях, а в чувствительном электронном оборудовании, таком как радиоприемники, может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электрического измерительного прибора. Тепловой шум увеличивается с повышением температуры. Некоторое чувствительное электронное оборудование, такое как приемники радиотелескопов , охлаждается до криогенных температур для уменьшения теплового шума в их цепях. Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой о флуктуации-диссипации, где для характеристики среды используется обобщенное импеданс или обобщенная восприимчивость.

Тепловой шум в идеальном резисторе составляет приблизительно белый, что означает, что мощность спектральная плотность почти постоянна во всем частотном спектре (однако см. раздел ниже, посвященный чрезвычайно высоким частотам). При ограничении конечной шириной полосы тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуд.

Содержание

1 История
2 Расчет
3 Шумовое напряжение и мощность
4 Шумовой ток
5 Мощность шума в децибелах
6 Тепловой шум на конденсаторах
7 Обобщенные формы
- 7.1 Реактивные импедансы
- 7.2 Квантовые эффекты при высоких частотах или низких температурах
  - 7.2.1 Связь с законом Планка
- 7.3 Многопортовые электрические сети
- 7.4 Непрерывная электродинамическая среда
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

История

Этот тип шума был обнаружен и впервые измерен Джон Б. Джонсон в Bell Labs в 1926 году. Он рассказал о своих открытиях Гарри Найквисту, также в Bell Labs, который смог объяснить результаты.

Вывод

Как заявил Найквист в своей статье 1928 года, сумма энергии в нормальных режимах электрических колебаний будет определять амплитуду шума. Найквист использовал закон равнораспределения Больцмана и Максвелла. Используя концепцию потенциальной энергии и гармонических осцилляторов закона равнораспределения,

$⟨H⟩ = k BT {\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle = k_ {B} T}$ ${\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle = k_ {B} T}$

где $⟨H⟩ {\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle}$ - плотность мощности шума в (Вт / Гц), $k B {\ displaystyle k_ {B} }$ $k_ {B}$ - постоянная Больцмана, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ - температура. Умножение уравнения на ширину полосы дает результат как мощность шума.

$N = k BTB {\ displaystyle N = k_ {B} TB}$ ${\ displaystyle N = k_ {B} TB}$

, где N - мощность шума, а B - полоса пропускания.

Шумовое напряжение и мощность

Тепловой шум отличается от дробового шума, который состоит из дополнительных флуктуаций тока, которые возникают, когда прикладывается напряжение и начинает течь макроскопический ток. В общем случае приведенное выше определение применяется к носителям заряда в проводящей среде любого типа (например, ионы в электролите ), а не только к резисторам.. Его можно смоделировать с помощью источника напряжения, представляющего шум неидеального резистора, соединенного последовательно с идеальным бесшумным резистором.

Односторонняя спектральная плотность мощности или отклонение напряжения (среднеквадратичное) на герц из ширины полосы, определяется как

vn 2 ¯ = 4 k BTR {\ displaystyle {\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = 4k _ {\ text {B}} TR}

{\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = 4k _ {\ text {B}} TR

, где k B равно Постоянная Больцмана в джоулях на кельвин, T - абсолютная температура резистора в кельвинах, а R - номинал резистора в омах (Ω). Используйте это уравнение для быстрого расчета при комнатной температуре:

v n 2 ¯ = 0,13 R n V / H z. {\ displaystyle {\ sqrt {\ overline {v_ {n} ^ {2}}}} = 0,13 {\ sqrt {R}} ~ \ mathrm {nV} / {\ sqrt {\ mathrm {Hz}}}.}

{\ sqrt {\ overline {v_ {n} ^ {2}}}} = 0,13 {\ sqrt {R}} ~ \ mathrm {nV} / {\ sqrt {\ mathrm {Hz}}}.

Например, резистор 1 кОм при температуре 300 К имеет

vn 2 ¯ = 4 ⋅ 1,38 ⋅ 10–23 Дж / К ⋅ 300 К ⋅ 1000 Ом = 4,07 ⋅ 10–9 В / Гц z. {\ displaystyle {\ sqrt {\ overline {v_ {n} ^ {2}}}} = {\ sqrt {4 \ cdot 1.38 \ cdot 10 ^ {- 23} ~ \ mathrm {J} / \ mathrm {K} \ cdot 300 ~ \ mathrm {K} \ cdot 1000 ~ \ Omega}} = 4.07 \ cdot 10 ^ {- 9} ~ \ mathrm {V} / {\ sqrt {\ mathrm {Hz}}}.}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ overline {v_ {n} ^ {2}}}} = {\ sqrt {4 \ cdot 1.38 \ cdot 10 ^ {- 23} ~ \ mathrm {J} / \ mathrm {K} \ cdot 300 ~ \ mathrm {K} \ cdot 1000 ~ \ Omega}} = 4.07 \ cdot 10 ^ {- 9} ~ \ mathrm {V} / {\ sqrt {\ математика rm {Hz}}}.}

Для данной полосы пропускания среднеквадратичное значение (RMS) напряжения, $vn {\ displaystyle v_ {n}}$ $v_ {n}$ , определяется как

vn = vn 2 ¯ Δ е = 4 К BTR Δ е {\ displaystyle v_ {n} = {\ sqrt {\ overline {v_ {n} ^ {2}}}} {\ sqrt {\ Delta f}} = {\ sqrt { 4k _ {\ text {B}} TR \ Delta f}}}

v_ {n} = {\ sqrt {\ надчеркнуть {v_ {n} ^ {2}}}} {\ sqrt {\ Delta f}} = {\ sqrt {4k _ {\ text {B}} TR \ Delta f}}

где Δf - полоса пропускания в герцах, в которой измеряется шум. Для резистора 1 кОм при комнатной температуре и полосе пропускания 10 кГц среднеквадратичное значение напряжения шума составляет 400 нВ. Полезное практическое правило: 50 Ом при полосе пропускания 1 Гц соответствуют шуму 1 нВ при комнатной температуре.

Резистор при коротком замыкании рассеивает мощность шума

P = v n 2 / R = 4 k B T Δ f. {\ displaystyle P = {v_ {n} ^ {2}} / R = 4k _ {\ text {B}} \, T \ Delta f.}

P = {v_ {n} ^ {2}} / R = 4k _ {\ text {B}} \, T \ Delta f.

Шум, создаваемый на резисторе, может передаваться на оставшуюся цепь; максимальная передача мощности шума происходит при согласовании импеданса, когда эквивалентное сопротивление Тевенина оставшейся цепи равно сопротивлению, генерирующему шум. В этом случае каждый из двух участвующих резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку на любом из этих резисторов падает только половина напряжения источника, результирующая мощность шума определяется как

P = k BT Δ f {\ displaystyle P = k _ {\ text {B}} \, T \ Delta f }

P = k _ {\ text {B}} \, T \ Delta f

где P - мощность теплового шума в ваттах. Обратите внимание, что это не зависит от сопротивления, генерирующего шум.

Шумовой ток

Источник шума также можно смоделировать с помощью источника тока, подключенного параллельно резистору, взяв эквивалент Norton, который соответствует простому делению на R. дает среднеквадратичное значение источника тока как:

in = 4 k BT Δ f R. {\ displaystyle i_ {n} = {\ sqrt {{4k _ {\ text {B}} T \ Delta f} \ over R}}.}

i_ {n} = {\ sqrt {{4k _ {\ text {B}} T \ Delta f} \ over R}}.

Мощность шума в децибелах

Мощность сигнала часто бывает измеряется в дБм (децибел относительно 1 милливатт ). Из приведенного выше уравнения мощность шума в резисторе при комнатной температуре, в дБм, тогда равна:

P d B m = 10 log 10 (k B T Δ f / 1 мВт) дБм. {\ displaystyle P _ {\ mathrm {dBm}} = 10 \ \ log _ {10} (k _ {\ text {B}} T \ Delta f / 1 \, {\ textrm {mW}}) \ {\ textrm { дБм}}.}

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {dBm}} = 10 \ \ log _ {10} (k _ {\ text { B}} T \ Delta f / 1 \, {\ textrm {mW}}) \ {\ textrm {dBm}}.}

Это обычно выглядит приблизительно для комнатной температуры (T = 300 K), где $Δ f {\ displaystyle \ Delta f}$ $\ Delta f$ выражается в Гц, как:

P d B m = - 174 дБм + 10 log 10 ⁡ (Δ f в Гц) дБм. {\ Displaystyle P _ {\ mathrm {дБм}} = - 174 \ {\ textrm {дБм}} + 10 \ \ log _ {10} (\ Delta f {\ text {в Гц}}) \ {\ textrm {дБм }}.}

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {dBm}} = - 174 \ {\ textrm {dBm}} + 10 \ \ log _ {10} (\ Delta f {\ text {в Гц}}) \ {\ textrm {дБм}}.}

Используя это уравнение, просто вычислить мощность шума для различных полос пропускания:

Ширина полосы $(Δ f) {\ displaystyle (\ Delta f)}$ $(\ Delta f)$	Мощность теплового шума. при 300 K (дБм )	Примечания
1 Гц	−174
10 Гц	−164
100 Гц	- 154
1 кГц	−144
10 кГц	−134	FM канал двусторонней радиосвязи
100 кГц	−124
180 кГц	−121,45	Один блок ресурсов LTE
200 кГц	−121	GSM канал
1 МГц	−114	канал Bluetooth
2 МГц	−111	Коммерческий GPS канал
3,84 МГц	−108	UMTS канал
6 МГц	−106	Аналоговое телевидение канал
20 МГц	−101	канал WLAN 802.11
40 МГц	−98	WLAN 802.11n канал 40 МГц
80 МГц	−95	WLAN 802.11ac канал 80 МГц
160 МГц z	−92	WLAN 802.11ac канал 160 МГц
1 ГГц	−84	канал СШП

Тепловой шум на конденсаторах

Идеальные конденсаторы, как устройства без потерь, не имеют теплового шума, но, как обычно используется с резисторами в RC-цепи , комбинация имеет так называемый шум kTC. Ширина полосы шума RC-цепи составляет Δf = 1 / (4RC). Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычно простую форму, поскольку значение сопротивления (R) выпадает из уравнения. Это связано с тем, что более высокое R уменьшает полосу пропускания так же, как увеличивает шум.

Среднеквадратичное и среднеквадратичное шумовое напряжение, генерируемое в таком фильтре, составляют:

vn 2 ¯ = 4 k BTR 4 RC = k BT / C {\ displaystyle {\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = {4k _ {\ text {B}} TR \ over 4RC} = k _ {\ text {B}} T / C}

{\ displaystyle {\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = {4k _ {\ text {B}} TR \ over 4RC} = k _ {\ text {B}} T / C}

vn = 4 k BTR 4 RC = k BT / C. {\ displaystyle v_ {n} = {\ sqrt {4k _ {\ text {B}} TR \ over 4RC}} = {\ sqrt {k _ {\ text {B}} T / C}}.}

{\ displaystyle v_ {n} = {\ sqrt {4k _ {\ text {B}} TR \ over 4RC}} = {\ sqrt {k _ {\ text {B}} T / C}}.}

заряд шума - это емкость, умноженная на напряжение:

Q n = C vn = C k BT / C = k BTC {\ displaystyle Q_ {n} = Cv_ {n} = C {\ sqrt {k _ {\ text {B }} T / C}} = {\ sqrt {k _ {\ text {B}} TC}}}

{\ displaystyle Q_ {n} = Cv_ {n} = C {\ sqrt {k _ {\ text {B}} T / C}} = {\ sqrt {к _ {\ текст {B}} TC}}}

Q n 2 ¯ = C 2 vn 2 ¯ = C 2 k BT / C = k BTC {\ displaystyle {\ overline {Q_ {n} ^ {2}}} = C ^ {2} {\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = C ^ {2} k _ {\ text {B}} T / C = k _ {\ text {B}} TC}

{\ displaystyle {\ overline {Q_ {n} ^ {2}}} = C ^ {2} {\ overline {v_ {n } ^ {2}}} = C ^ {2} k _ {\ text {B}} T / C = k _ {\ text {B}} TC}

Этот зарядовый шум является источником термина "шум kTC".

Несмотря на независимость от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Следовательно, если резистор и конденсатор имеют разные температуры, в приведенном выше расчете следует использовать только температуру резистора.

Крайний случай - это предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса, который остается на конденсаторе при размыкании идеального переключателя. Сопротивление бесконечно, но формула все еще применима; однако теперь среднеквадратичное значение должно интерпретироваться не как среднее по времени, а как среднее значение по множеству таких событий сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи может рассматриваться как неотъемлемый эффект термодинамического распределения количества электронов на конденсаторе, даже без использования резистора.

Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими колебаниями количества заряда на конденсаторе. После отключения конденсатора от проводящей цепи термодинамические колебания фиксируются до случайного значения со стандартным отклонением , как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения.

Любая система в тепловом равновесии имеет переменные состояния со средним значением энергия kT / 2 на степень свободы. Используя формулу для энергии на конденсаторе (E = ½CV), можно увидеть, что средняя энергия шума на конденсаторе также составляет ½C (kT / C) = kT / 2. Тепловой шум на конденсаторе может быть выведен из этого соотношения без учета сопротивления.

Шум конденсаторов при 300 К
Емкость	$k BT / C {\ displaystyle {\ sqrt {k _ {\ text {B}} T / C}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k _ {\ text {B}} T / C}}}$	$k BTC {\ displaystyle { \ sqrt {k _ {\ text {B}} TC}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k _ {\ text {B}} TC}}}$	Электроны
1 fF	2 мВ	2 aC	12,5 e
10 фФ	640 мкВ	6,4 aC	40 e
100 fF	200 мкВ	20 aC	125 e
1 пФ	64 мкВ	64 aC	400 e
10 пФ	20 мкВ	200 переменного тока	1250 e
100 пФ	6,4 мкВ	640 переменного тока	4000 e
1 нФ	2 мкВ	2 fC	12500 e

Обобщенные формы

$4 k BTR {\ displaystyle 4k _ {\ text {B} } TR}$ $4k _ {\ текст {B}} TR$ Шум напряжения, описанный выше, является частным случаем чисто резистивной составляющей для низких частот. В общем, тепловой электрический шум по-прежнему связан с резистивным откликом во многих более общих электрических случаях, как следствие теоремы о флуктуации-диссипации. Ниже отмечаются различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение: они применяются только в тех случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным.

Реактивные импедансы

В оригинальной статье Найквиста также предоставлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивный отклик, например, источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. Такой компонент может быть описан частотно-зависимым комплексным электрическим импедансом $Z (f) {\ displaystyle Z (f)}$ $Z (f)$ . Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения:

S v n v n (f) = 4 k B T η (f) Re ⁡ [Z (f)]. {\ displaystyle S_ {v_ {n} v_ {n}} (f) = 4k _ {\ text {B}} T \ eta (f) \ operatorname {Re} [Z (f)].}

S_ {v_ {n} v_ {n}} (f) = 4k _ {\ text {B}} T \ eta (f) \ operatorname {Re} [Z (f)].

Функция $η (f) {\ displaystyle \ eta (f)}$ $\ eta (f)$ просто равно 1, за исключением очень высоких частот или почти абсолютного нуля (см. Ниже).

Реальная часть импеданса, $Re ⁡ [Z (f)] {\ displaystyle \ operatorname {Re} [Z (f)]}$ $\ operatorname {Re} [Z (f) ]$ , обычно зависит от частоты и поэтому шум Джонсона – Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное значение напряжения шума в диапазоне частот от $f 1 {\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ до $f 2 {\ displaystyle f_ {2}}$ $f_ {2}$ может быть найдено интегрированием спектральной плотности мощности:

⟨vn 2⟩ = ∫ f 1 f 2 S vnvn (f) df {\ displaystyle {\ sqrt {\ langle v_ {n} ^ {2} \ rangle}} = {\ sqrt {\ int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {v_ {n} v_ {n}} (f) df}}}

{ \ sqrt {\ langle v_ {n} ^ {2} \ rangle}} = {\ sqrt {\ int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {v_ {n} v_ {n}} ( е) df}}

В качестве альтернативы можно использовать параллельный шумовой ток для описания шума Джонсона, его спектральная плотность мощности равна

S inin (f) = 4 k BT η (f) Re ⁡ [Y (f)]. {\ displaystyle S_ {i_ {n} i_ {n}} (f) = 4k _ {\ text {B}} T \ eta (f) \ operatorname {Re} [Y (f)].}

S_ {i_ {n} i_ {n}} (f) = 4k _ {\ text {B }} T \ eta (f) \ operatorname {Re} [Y (f)].

где $Y (f) = 1 / Z (f) {\ displaystyle Y (f) = 1 / Z (f)}$ $Y (f) = 1 / Z (f)$ - электрическая проводимость ; обратите внимание, что $Re ⁡ [Y (f)] = Re ⁡ [Z (f)] / | Z (f) | 2 {\ displaystyle \ operatorname {Re} [Y (f)] = \ operatorname {Re} [Z (f)] / | Z (f) | ^ {2}}$ $\ operatorname {Re} [Y (f)] = \ operatorname {Re} [Z (f)] / | Z (f) | ^ {2}$

Квантовые эффекты при высоких частотах или низких температурах

Найквист также указал, что квантовые эффекты возникают для очень высоких частот или очень низких температур, близких к абсолютному нулю. Функция $η (f) {\ displaystyle \ eta (f)}$ $\ eta (f)$ обычно задается формулой

η (f) = hf / k BT ehf / k BT - 1, {\ displaystyle \ eta (f) = {\ frac {hf / k _ {\ text {B}} T} {e ^ {hf / k _ {\ text {B}} T} -1}},}

{\ displaystyle \ eta (f) = {\ frac {hf / k _ {\ text {B}} T} {e ^ {hf / k _ {\ text {B }} T} -1}},}

где $h {\ displaystyle h}$ $h$ равно постоянная Планка.

на очень высоких частотах $f ≳ k BT / h {\ displaystyle f \ gtrsim k _ {\ text {B}} T / h}$ $f \ gtrsim k _ {\ text {B}} T / h$ , функция $η (f) {\ displaystyle \ eta (f)}$ $\ eta (f)$ начинает экспоненциально уменьшаться до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцах, что намного превышает возможности обычной электроники, поэтому можно установить $η (f) = 1 {\ displaystyle \ eta (f) = 1}$ $\ eta (f) = 1$ для обычной работы электроники.

Связь с законом Планка

Формула Найквиста по сути такая же, как и полученная Планком в 1901 году для электромагнитного излучения черного тела в одном измерении, то есть это одномерная версия Закон Планка о излучении абсолютно черного тела. Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны на линии передачи точно так же, как горячий объект будет создавать электромагнитные волны в свободном пространстве.

В 1946 году Дике подробно описал взаимосвязь и далее связал ее со свойствами антенн, в частности с тем фактом, что средняя апертура антенны по всем различным направлениям не может быть больше, чем $λ 2 / (4 π) {\ displaystyle \ lambda ^ {2} / (4 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} / (4 \ pi)}$ , где λ - длина волны. Это происходит из-за разной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка.

Многопортовые электрические сети

Ричард К. Твисс распространил формулы Найквиста на многопортовые пассивные электрические сети, включая невзаимные устройства, такие как циркуляторы и изоляторы. Тепловой шум появляется на каждом порте и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения, последовательно включенные с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности, связывающих различные напряжения шума,

S vmvn (f) = 2 k BT η (е) (Z mn (f) + Z нм (f) ∗) {\ displaystyle S_ {v_ {m} v_ {n}} (f) = 2k _ {\ text {B}} T \ eta (f) (Z_ {mn} (f) + Z_ {nm} (f) ^ {*})}

S_ {v_ {m} v_ {n}} (f) = 2k _ {\ text {B}} T \ eta (f) (Z_ {mn} (f) + Z_ {nm} (f) ^ {*})

где $Z mn {\ displaystyle Z_ {mn}}$ $Z_{{mn}}$ - элементы матрицы импеданса $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ . Опять же, альтернативное описание шума вместо этого в терминах параллельных источников тока, приложенных к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется как

S imin (f) = 2 k BT η (f) (Y mn (f) + Y nm (f) ∗) {\ displaystyle S_ {i_ {m} i_ {n }} (f) = 2k _ {\ text {B}} T \ eta (f) (Y_ {mn} (f) + Y_ {nm} (f) ^ {*})}

S_ {i_ {m} i_ {n}} (f) = 2k _ {\ text {B}} T \ eta (f) (Y_ {mn} (f) + Y_ {nm} (f) ^ {*})

где $Y = Z - 1 {\ displaystyle \ mathbf {Y} = \ mathbf {Z} ^ {- 1}}$ $\ mathbf {Y} = \ mathbf {Z} ^ {- 1}$ - это матрица проводимости.

Сплошная электродинамическая среда

полное обобщение шума Найквиста найдено в, который описывает шум плотность тока внутри сплошной среды с диссипативным откликом в функции непрерывного отклика, такой как диэлектрическая проницаемость или магнитная проницаемость. Уравнения флуктуационной электродинамики обеспечивают общую основу для описания шума Джонсона – Найквиста и свободного пространства излучения черного тела.

См. Также

Ссылки

^Джон Р. Барри; Эдвард А. Ли; Дэвид Г. Мессершмитт (2004). Цифровая связь. Спринтер. п. 69. ISBN 9780792375487.
^Аноним (1927 г.). «Протокол Филадельфийской встречи 28, 29, 30 декабря 1926 года». Физический обзор. 29 (2): 350–373. Bibcode : 1927PhRv... 29..350.. doi : 10.1103 / PhysRev.29.350.
^Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое возбуждение электричества в проводниках». Физический обзор. 32 (97): 97–109. Bibcode : 1928PhRv... 32... 97J. doi : 10.1103 / Physrev.32.97.
^ Найквист, Х. (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Физический обзор. 32 (110): 110–113. Bibcode : 1928PhRv... 32..110N. doi : 10.1103 / Physrev.32.110.
^Томази, Уэйн (1994). Электронная связь. Prentice Hall PTR. ISBN 9780132200622.
^Результат Google Calculator для 1 кОм комнатной температуры, ширина полосы 10 кГц
^Лундберг, Кент Х. «Источники шума в массовых CMOS» ( PDF). п. 10.
^Sarpeshkar, R.; Delbruck, T.; Мид, К. А. (ноябрь 1993 г.). «Белый шум в МОП-транзисторах и резисторах» (PDF). Журнал IEEE Circuits and Devices Magazine. 9 (6): 23–29. doi : 10.1109 / 101.261888. S2CID 11974773.
^Урик, В. Дж.; Уильямс, Кейт Дж.; Маккинни, Джейсон Д. (30 января 2015 г.). Основы микроволновой фотоники. п. 63. ISBN 9781119029786.
^Дик, Р. Х. (1946-07-01). «Измерение теплового излучения на сверхвысоких частотах». Обзор научных инструментов. 17 (7): 268–275. Bibcode : 1946RScI... 17..268D. doi : 10.1063 / 1.1770483. PMID 20991753.
^Твисс, Р.К. (1955). "Теоремы Найквиста и Тевенина, обобщенные для невзаимных линейных сетей". Журнал прикладной физики. 26 (5): 599–602. Bibcode : 1955JAP.... 26..599T. doi : 10.1063 / 1.1722048.
^Питаевский, Л. П. ; Лифшиц, Э.М. (1980). «Глава VIII. Электромагнитные колебания». Статистическая физика. Часть 2: Теория конденсированного состояния. Vol. 9 (1-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2636-1.

В эту статью включены материалы общественного достояния из документа Администрации общих служб : «Федеральный стандарт 1037C».(в поддержку MIL-STD-188 )