Войти
В математике, особенно в абстрактной алгебре, простой элемент из коммутативного кольца - это объект, удовлетворяющий определенным свойствам, подобным простым числам в целых числах и неприводимым многочлены. Следует проявлять осторожность, чтобы отличать простые элементы от неприводимых элементов, концепция, которая одинакова в UFD, но не одинакова в целом.
Элемент p коммутативного кольца R называется простым, если это не нулевой элемент или единица и всякий раз, когда p делит ab на некоторые a и b в R, то p делит a или p делит b. Эквивалентно элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал (p), порожденный p, является ненулевым простым идеалом. (Обратите внимание, что в области целостности идеал (0) является простым идеалом, но 0 является исключением в определении «простого элемента».)
Интерес к простым элементам исходит из Фундаментальной теоремы арифметики, которая утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано только одним способом как 1 или −1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальных доменов факторизации, которые обобщают то, что только что было проиллюстрировано в целых числах.
Простота зависит от того, в каком кольце считается элемент; например, 2 является простым элементом в Z, но его нет в Z [i], кольце целых гауссовских чисел, поскольку 2 = (1 + i) (1 - i) и 2 не делят ни одного множителя справа.
Идеал I в кольце R (с единицей) является простым, если фактор-кольцо R / I является областью целостности.
Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он генерируется простым элементом.
Основные элементы не следует путать с неприводимыми элементами. В области целостности каждое простое число неприводимо, но обратное в общем случае неверно. Однако в уникальных доменах факторизации или, в более общем смысле, в доменах GCD простые и несократимые числа одинаковы.
Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:
