Фотонная сфера

редактировать

Радиоизлучение от аккреционного диска, окружающего сверхмассивную черную дыру M87 * (захвачено 2017 г., вычислено 2019 ), как показано телескопом Event Horizon Telescope. Фотонная сфера находится внутри темной тени (радиус которой в 2,6 раза больше радиуса Шварцшильда).

A фотонная сфера или фотонный круг - это область или область пространства, где гравитация настолько силен, что фотоны вынуждены перемещаться по орбитам. (Иногда его называют орбитой последнего фотона .) Радиус фотонной сферы, который также является нижней границей для любой стабильной орбиты, для черной дыры Шварцшильда равен:

r = 3 GM c 2 = 3 rs 2 {\ displaystyle r = {\ frac {3GM} {c ^ {2}}} = {\ frac {3r _ {\ rm {s}}} {2}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {3GM} {c ^ {2}}} = {\ frac {3r _ {\ rm {s}}} {2}}}

где G - гравитационная постоянная, M - масса черной дыры, c - скорость света в вакууме, а r s - радиус Шварцшильда (радиус горизонта событий) - см. ниже для вывода этого результата.

Из этого уравнения следует, что фотонные сферы могут существовать только в пространстве, окружающем чрезвычайно компактный объект (черная дыра или, возможно, «сверхкомпактная» нейтронная звезда ).

Фотонная сфера расположена дальше от центра черной дыры, чем горизонт событий. Внутри фотонной сферы можно представить себе фотон, который испускается из затылка, вращается вокруг черной дыры, только после этого его перехватывают глаза человека, позволяя видеть заднюю часть тела. голова. Для невращающихся черных дыр фотонная сфера представляет собой сферу радиусом 3/2 r s. Не существует стабильных орбит свободного падения, которые существуют внутри или пересекают фотонную сферу. Любая орбита свободного падения, пересекающая ее извне, по спирали попадает в черную дыру. Любая орбита, пересекающая его изнутри, ускользает в бесконечность или падает обратно и уходит по спирали в черную дыру. Никакая неускоренная орбита с большой полуосью меньше, чем это расстояние, невозможна, но внутри фотонной сферы постоянное ускорение позволит космическому аппарату или зонду парить над горизонтом событий.

Еще одним свойством фотонной сферы является изменение направления центробежной силы (примечание: не центростремительной ). За пределами фотонной сферы, чем быстрее человек движется по орбите, тем большую внешнюю силу он ощущает. Центробежная сила падает до нуля на фотонной сфере, включая орбиты без свободного падения при любой скорости, то есть вы весите одинаково независимо от того, насколько быстро вы вращаетесь, и становится отрицательной внутри нее. Внутри фотонной сферы, чем быстрее вы вращаетесь, тем больше ощущаемый вами вес или внутренняя сила. Это имеет серьезные последствия для гидродинамики входящего потока жидкости.

A вращающаяся черная дыра имеет две фотонные сферы. Когда черная дыра вращается, она увлекает за собой пространство. Фотонная сфера, которая находится ближе к черной дыре, движется в том же направлении, что и вращение, тогда как дальняя фотонная сфера движется против нее. Чем больше угловая скорость вращения черной дыры, тем больше расстояние между двумя фотонными сферами. Поскольку у черной дыры есть ось вращения, это справедливо только при приближении к черной дыре в направлении экватора. Если приблизиться под другим углом, например, от полюсов черной дыры к экватору, будет только одна фотонная сфера. Это потому, что приближение к этому углу не существует возможности движения с вращением или против него.

Содержание

1 Вывод для черной дыры Шварцшильда
2 Орбиты фотона вокруг черной дыры Керра
3 Источники
4 Внешние ссылки

Вывод для черной дыры Шварцшильда

Поскольку черная дыра Шварцшильда обладает сферической симметрией, все возможные оси для круговой орбиты фотона эквивалентны, и все круговые орбиты имеют одинаковый радиус.

Этот вывод включает использование метрики Шварцшильда, задаваемой следующим образом:

$ds 2 = (1 - rsr) c 2 dt 2 - (1 - rsr) - 1 dr 2 - r 2 (грех 2 θ d ϕ 2 + d θ 2) {\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ { 2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} ( {\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} + d \ theta ^ {2})}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} ({\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} + d \ theta ^ {2})}$

Для фотона, движущегося с постоянным радиусом r (т.е. в направлении координаты Φ), $dr = 0 {\ displaystyle dr = 0}$ ${\ displaystyle dr = 0}$ . Поскольку это фотон, $d s = 0 {\ displaystyle ds = 0}$ ${\ displaystyle ds = 0}$ («светоподобный интервал»). Мы всегда можем повернуть систему координат так, чтобы $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ было постоянным, $d θ = 0 {\ displaystyle d \ theta = 0}$ ${\ displaystyle d \ theta = 0}$ (т. е. $θ = π 2 {\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\ theta = \ frac {\ pi} {2}$ ).

Обнуляя ds, dr и dθ, мы получаем:

$(1 - rsr) c 2 dt 2 = r 2 sin 2 θ d ϕ 2 {\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c ^ {2 } dt ^ {2} = r ^ {2} {\ textrm {sin}} ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$

Изменение порядка дает:

$d ϕ dt = cr sin θ 1 - rsr {\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r { \ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = { \ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}}}$

Для продолжения нам понадобится соотношение $d ϕ dt {\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$ $\ frac {d \ phi} {dt}$ . Чтобы найти его, мы используем радиальное уравнение геодезических

$d 2 rd τ 2 + Γ μ ν ru μ u ν = 0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {r} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 0.}$ $\ frac {d ^ 2r} {d \ tau ^ 2} + \ Gamma ^ {r} _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ { \ nu} = 0.$

Не исчезает $Γ {\ displaystyle \ Gamma }$ $\ Gamma$ -коэффициенты связи: $Γ ttr = c 2 BB ′ 2, Γ rrr = - B - 1 B ′ 2, Γ θ θ r = - r B, Γ ϕ ϕ r = - B р грех 2 ⁡ θ {\ Displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {c ^ {2} BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ { r} = - {\ frac {B ^ {- 1} B ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - rB, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {tt} ^ {r} = {\ frac {c ^ {2} BB ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr} ^ {r} = - { \ frac {B ^ {- 1} B ^ {\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - rB, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {r} = - Br \ sin ^ {2} \ theta}$ , где $B ′ = d B dr, B = 1 - rsr {\ displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}$ .

Мы обрабатываем радиальные геодезические фотонов с постоянным r и $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , поэтому

$drd τ, d 2 rd τ 2, d θ d τ = 0 {\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau} }, \; {\ frac {d ^ {2} r} {d \ tau ^ {2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$ $\ frac {dr} {d \ tau}, \ ; \ frac {d ^ 2r} {d \ tau ^ 2}, \; \ frac {d \ theta} {d \ tau} = 0$ .

Подставляя его все в радиальное геодезическое уравнение (геода sic уравнение с радиальной координатой в качестве зависимой переменной), получаем

$(d ϕ dt) 2 = c 2 rs 2 r 3 sin 2 ⁡ θ {\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt }} \ right) ^ {2} = {\ frac {c ^ {2} r _ {\ rm {s}}} {2r ^ {3} \ sin ^ {2} \ theta}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {c ^ {2} r _ {\ rm {s}}} {2r ^ {3} \ sin ^ {2} \ theta}}}$

Сравнение с тем, что было получено ранее, мы имеем:

$crs 2 r = c 1 - rsr {\ displaystyle c {\ sqrt {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}}}$ ${\ displaystyle c {\ sqrt {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2r}}} = c {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}}}$

, куда мы вставили $θ = π 2 {\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\ theta = \ frac {\ pi} {2}$ радианы (представьте, что центральная масса, вокруг которой вращается фотон, расположена в центре осей координат. Тогда, когда фотон движется по координатной линии $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , для того, чтобы масса находилась непосредственно в центре орбиты фотона, мы должны иметь $θ = π 2 {\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ $\ theta = \ frac {\ pi} {2}$ радиан).

Следовательно, перестановка этого последнего выражения дает:

$r = 3 2 rs {\ displaystyle r = {\ frac {3} {2}} r _ {\ rm {s}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {3} {2}} r _ {\ rm {s}}}$

который - это результат, который мы намеревались доказать.

Фотон вращается вокруг черной дыры Керра.

Вид сбоку (l) и сверху полюса (r). Вращающаяся черная дыра имеет 9 радиусов, между которыми свет может вращаться с постоянной r-координатой. На этой анимации показаны все орбиты фотонов для a = M. Щелкните для анимации.

В отличие от черной дыры Шварцшильда, черная дыра Керра (вращающаяся) не имеет сферической симметрии, а имеет только ось симметрии, которая имеет глубокие последствия для орбит фотонов, см. например Крамеру за детали и моделирование фотонных орбит и фотонных кругов. Круговая орбита может существовать только в экваториальной плоскости, и их две (прямая и ретроградная), с разными -радиусами Бойера – Линдквиста,

r ± ∘ = rs [1 + cos ⁡ (2 3 соз - 1 ⁡ (± | a | M))], {\ displaystyle r _ {\ pm} ^ {\ circ} = r _ {\ rm {s}} \ \ left [1+ \ cos \ left ( {\ frac {2} {3}} \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ pm | a |} {M}} \ right) \ right) \ right],}

{\ displaystyle r _ {\ pm} ^ {\ circ} = r _ {\ rm {s}} \ \ left [1+ \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ pm | a |} {M}} \ right) \ right) \ right],}

где $a = J / M {\ displaystyle a = J / M}$ ${\ displaystyle a = J / M}$ - угловой момент на единицу массы черной дыры. Существуют и другие орбиты с постоянным координатным радиусом, но у них есть более сложные траектории, которые колеблются по широте вокруг экватора.

Ссылки

Общая теория относительности: Введение для физиков

Внешние ссылки