Периодическая цепная дробь

В математике бесконечная периодическая цепная дробь является продолжением дробь, которая может быть представлена ​​в виде

$x\; =\; a\; 0\; +\; 1\; a\; 1\; +\; 1\; a\; 2\; +\; \ddots \; \ddots \; ak\; +\; 1\; ak\; +\; 1\; +\; \ddots \; \ddots \; ak\; +\; m\; -\; 1\; +\; 1\; ak\; +\; m\; +\; 1\; ак\; +\; 1\; +\; 1\; ак\; +\; 2\; +\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; ddots)\; \}\; \{\backslash \; quad\; \backslash \; ddots\; \backslash \; quad\; a\_\; \{k\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{k\; +\; 1\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; ddots\}\; \{\backslash \; quad\; \backslash \; ddots\; \backslash \; quad\; a\_\; \{k\; +\; m-1\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{k\; +\; m\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{k\; +\; 1\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{k\; +\; 2\}\; +\; \{\backslash \; ddots\}\}\}\}\}\; \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

где за начальным блоком из k + 1 частичных знаменателей следует блок [a k + 1, a k + 2,… a k + m ] частичных знаменателей, которые повторяются снова и снова, до бесконечности. Например, $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$можно разложить до периодической непрерывной дроби, а именно как [1,2,2,2,...].

Частные знаменатели {a i }, как правило, могут быть любыми действительными или комплексными числами. Этот общий случай рассматривается в статье проблема сходимости. Остальная часть этой статьи посвящена теме простых цепных дробей, которые также являются периодическими. Другими словами, в оставшейся части статьи предполагается, что все частные знаменатели a i (i ≥ 1) являются натуральными числами.

• 1 Чисто периодические и периодические дроби
• 2 Как унимодулярные матрицы
• 3 Отношение к квадратичным иррациональным числам
• 4 Уменьшенные сегменты
• 5 Длина повторяющегося блока
  • 5.1 Каноническая форма и Repetend
    • 5.1.1 Пример
    • 5.1.2 Обобщенная цепная дробь
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Поскольку все частичные числители в правильной цепной дроби равны единице, мы можем принять сокращенную запись, в которой показанная выше цепная дробь записывается как

$x\; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; a\; k,\; a\; k\; +\; 1,\; a\; k\; +\; 2,\dots ,\; a\; k\; +\; m,\; a\; k\; +\; 1,\; a\; k\; +\; 2,\dots ,\; a\; k\; +\; m,\dots ]\; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; ak,\; ak\; +\; 1,\; ak\; +\; 2,\dots ,\; ak\; +\; m\; ¯]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; [a\_\; \{0\};\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\; \},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\},\; a\_\; \{k\; +\; 1\},\; a\_\; \{k\; +\; 2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\; +\; m\},\; a\_\; \{k\; +\; 1\},\; a\_\; \{k\; +\; 2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\; +\; m\},\; \backslash \; dots]\; \backslash \backslash \; =\; [a\_\; \{0\};\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\},\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{k\; +\; 1\},\; a\_\; \{k\; +\; 2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\; +\; m\}\}\}]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где во второй строке винкулум обозначает повторяющийся блок. В некоторых учебниках используется обозначение

$x\; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; ak,\; a\; \dot{}\; k\; +\; 1,\; ak\; +\; 2,\dots ,\; a\; \dot{}\; k\; +\; m]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; [a\_\; \{0\};\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\},\; \{\backslash \; dot\; \{a\}\}\; \_\; \{k\; +\; 1\},\; a\_\; \{k\; +\; 2\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; dot\; \{a\}\}\; \_\; \{k\; +\; m\}\; ]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где повторяющийся блок обозначен точками над его первым и последним членами.

Если начальный неповторяющийся блок отсутствует - то есть, если k = - 1, a₀ = aₘ и

$x\; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; am\; -\; 1\; ¯],\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [\{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{0\};\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{m-1\}\}\}\}\; ],\}$

правильная цепная дробь x называется чисто периодической. Например, правильная цепная дробь для золотого сечения φ - определяется как [1; 1, 1, 1,…] - чисто периодическое, а правильная цепная дробь для квадратного корня из двух - [1; 2, 2, 2,…] - периодический, но не чисто периодический.

Такие периодические дроби находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными квадратичными иррациональными числами. Соответствие явно обеспечивается функцией знака вопроса Минковского. В этой статье также рассматриваются инструменты, упрощающие работу с такими непрерывными дробями. Рассмотрим сначала чисто периодическую часть

$x\; =\; [0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; am\; ¯],\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [\{\backslash \; overline\; \{0;\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{m\}\}\}],\}$

Это фактически может быть записано как

$x\; =\; \alpha \; x\; +\; \beta \; \gamma \; x\; +\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; x\; +\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; gamma\; x\; +\; \backslash \; delta\}\}\}$

с $\alpha ,\; \beta ,\; \gamma ,\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta,\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; delta\}$являются целыми числами и удовлетворяют $\alpha \; \delta \; -\; \beta \; \gamma \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; =\; 1.\}$Явные значения можно получить, написав

$S\; =\; (1\; 0\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \; \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

, который называется "сдвиг", так что

$S\; n\; =\; (1\; 0\; n\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; n\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и аналогично отражение, задаваемое

$T\; \mapsto \; (-\; 1\; 1\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

так, чтобы $T\; 2\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{2\}\; =\; I\}$. Обе эти матрицы унимодулярны, произвольные произведения остаются унимодулярными. Тогда, учитывая $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, как указано выше, соответствующая матрица имеет вид

$S\; a\; 1\; TS\; a\; 2\; T\; \cdots \; TS\; am\; =\; (\alpha \; \beta \; \gamma \; \delta )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{a\_\; \{1\}\}\; TS\; ^\; \{a\_\; \{2\}\}\; T\; \backslash \; cdots\; TS\; ^\; \{a\_\; \{m\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\}$

и один имеет

$x\; =\; [0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; am\; ¯]\; =\; \alpha \; x\; +\; \beta \; \gamma \; x\; +\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [\{\backslash \; overline\; \{0;\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{m\}\}]\; \}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; x\; +\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; gamma\; x\; +\; \backslash \; delta\}\}\}$

как явная форма. Поскольку все элементы матрицы являются целыми числами, эта матрица принадлежит модульной группе $S\; L\; (2,\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; SL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}).\}$

A квадратным иррациональным числом является иррациональным действительным корнем квадратного уравнения

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\}$

где коэффициенты a, b и c являются целыми числами, а дискриминант , b - 4ac, больше нуля. По квадратной формуле любое квадратичное иррациональное можно записать в виде

$\zeta \; =\; P\; +\; DQ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\}\; \{Q\}\}\; \}$

где P, D и Q - целые числа, D>0 не является полным квадратом (но не обязательно без квадратов), а Q делит количество P - D (например, (6 + √8) / 4). Такой квадратичный иррациональный можно также записать в другой форме с квадратным корнем из числа, свободного от квадратов (например, (3 + √2) / 2), как объяснено для квадратичных иррациональных чисел.

, учитывая полное частное периодических цепных дробей, Эйлер смог доказать, что если x - регулярная периодическая цепная дробь, то x - квадратичное иррациональное число. Доказательство простое. Из самой дроби можно построить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, которым должен удовлетворять x.

Лагранж доказал обратное к теореме Эйлера: если x является квадратичным иррациональным, то разложение x регулярной непрерывной дробью является периодическим. Для квадратного иррационального x можно построить m различных квадратных уравнений, каждое с одним и тем же дискриминантом, которые связывают последовательные полные частные разложения x в регулярную непрерывную дробь друг с другом. Поскольку существует только конечное число этих уравнений (коэффициенты ограничены), полные частные (а также частные знаменатели) в правильной непрерывной дроби, представляющей x, должны в конечном итоге повториться.

Квадратичный коэффициент $\zeta \; =\; P\; +\; DQ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\}\; \{Q\}\}\}$считается уменьшенным, если $\zeta >1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta>1\}$и его конъюгат $\eta \; =\; P\; -\; DQ\; \{\; eta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\}\; \{Q\}\}\}$удовлетворяет неравенствам . Например, золотое сечение $\varphi \; =\; (1\; +\; 5)\; /\; 2\; =\; 1.618033...\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\; =\; 1.618033...\}$- это уменьшенный сурд, потому что он больше единицы и его сопряженное $(1-5)\; /\; 2\; =\; -\; 0,618033...\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; /\; 2\; =\; -0,618033...\}$больше -1 и меньше нуля. С другой стороны, квадратный корень из двух $2\; =\; (0\; +\; 8)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; (0\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\}\})\; /\; 2\}$больше единицы, но не является уменьшенным сурдом, поскольку его c onjugate $-\; 2\; =\; (0-8)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; (0\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\}\})\; /\; 2\}$меньше, чем - 1.

Галуа доказал, что правильная цепная дробь, представляющая квадратичный сурд ζ, является чисто периодическим тогда и только тогда, когда ζ является приведенным сурдом. Фактически, Галуа показал больше, чем это. Он также доказал, что если ζ - приведенная квадратичная дробь, а η - сопряженная с ней, то цепные дроби для ζ и (−1 / η) являются чисто периодическими, а повторяющийся блок в одной из этих цепных дробей является зеркальным отражением повторяющегося блока в другом. В символах

$\zeta \; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; a\; m\; -\; 1\; ¯]\; -\; 1\; \eta \; =\; [a\; m\; -\; 1;\; am\; -\; 2,\; am\; -\; 3,\dots ,\; a\; 0\; ¯]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; zeta\; =\; [\{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{0\};\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{m-1\}\}\}]\; \backslash \backslash \; [3pt]\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; eta\}\}\; =\; [\{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{m-1\};\; a\_\; \{m-2\},\; a\_\; \{m\; -3\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{0\}\}\}]\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где ζ - любое приведенное квадратичное сурд, а η - сопряженное с ним.

Из этих двух теорем Галуа можно вывести результат, уже известный Лагранжу. Если r>1 - рациональное число, не являющееся полным квадратом, то

$r\; =\; [a\; 0;\; a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; a\; 2,\; a\; 1,\; 2\; a\; 0\; ¯].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\}\}\; =\; [a\_\; \{0\};\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{1\},\; 2a\_\; \{0\}\}\}\; ].\}$

В частности, если n - любое неквадратное положительное целое число, расширение регулярной непрерывной дроби √n содержит повторяющийся блок длины m, в котором первые m - 1 частные знаменатели образуют палиндромный строка.

Путем анализа последовательности комбинаций

$P\; n\; +\; DQ\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\; \}\; \{Q\_\; \{n\}\}\}\}$

, которое может возникнуть, когда ζ = (P + √D) / Q раскладывается в виде правильной цепной дроби, Лагранж показал, что наибольший частный знаменатель a i в раскрытии меньше 2√D, а длина повторяющегося блока меньше 2D.

Совсем недавно более точные аргументы, основанные на функции делителя , показали, что L (D), длина повторяющегося блока для квадратичного сурда дискриминанта D, задается как

$L\; (D)\; =\; O\; (D\; пер\; \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (D)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{D\}\}\; \backslash \; ln\; \{D\})\}$

где большой O означает «в порядке» или «асимптотически пропорционально» (см. нотация большой буквы O ).

Каноническая форма и повторение

Следующий итерационный алгоритм может использоваться для получения разложения непрерывной дроби в канонической форме (S - любое натуральное число, которое не является полный квадрат ):

$m\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{0\}\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$d\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; =\; 1\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$a\; 0\; =\; \lfloor \; S\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; sqrt\; \{S\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$mn\; +\; 1\; =\; dnan\; -\; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; d\_\; \{n\}\; a\_\; \{n\}\; -m\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$dn\; +\; 1\; =\; S\; -\; mn\; +\; 1\; 2\; dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{S-m\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{2\}\}\; \{d\_\; \{n\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$an\; +\; 1\; =\; \lfloor \; S\; +\; mn\; +\; 1\; dn\; +\; 1\; \rfloor \; =\; \lfloor \; a\; 0\; +\; mn\; +\; 1\; dn\; +\; 1\; \rfloor .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{S\}\}\; +\; m\_\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{d\_\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{0\}\; +\; m\_\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{d\_\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; !.\}$

Обратите внимание, что m n, d n и a n всегда целые числа. Алгоритм завершается, когда этот триплет совпадает с ранее встреченным. Алгоритм также может завершаться на i, когда i = 2 a 0, что проще реализовать.

С этого момента расширение будет повторяться. Последовательность [a 0 ; a 1, a 2, a 3,...] - расширение непрерывной дроби:

$S\; =\; a\; 0\; +\; 1\; a\; 1\; +\; 1\; a\; 2\; +\; 1\; a\; 3\; +\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{S\}\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{a\_\; \{3\}\; +\; \backslash ,\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}$

Пример

Чтобы получить √114 в виде непрерывной дроби, начните с m 0 = 0; d 0 = 1; и 0 = 10 (10 = 100 и 11 = 121>114, поэтому выбрано 10).

$114\; =\; 114\; +\; 0\; 1\; =\; 10\; +\; 114\; -\; 10\; 1\; =\; 10\; +\; (114\; -\; 10)\; (114\; +\; 10)\; 114\; +\; 10\; =\; 10\; +\; 114\; -\; 100\; 114\; +\; 10\; =\; 10\; +\; 1\; 114\; +\; 10\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 0\}\; \{1\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -10\}\; \{1\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 10)\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10)\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\}\; \backslash \; \backslash \; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{114-100\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{14\; \}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$m\; 1\; =\; d\; 0\; a\; 0\; -\; m\; 0\; =\; 1\; \cdot \; 10\; -\; 0\; =\; 10.\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; =\; d\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; a\_\; \{0\}\; -m\_\; \{0\}\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 10-0\; =\; 10\; \backslash ,.\}$

$d\; 1\; =\; S\; -\; m\; 1\; 2\; d\; 0\; =\; 114\; -\; 10\; 2\; 1\; =\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S-m\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\; \{d\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{114-10\; ^\; \{2\}\}\; \{1\}\}\; =\; 14\; \backslash ,.\}$

$a\; 1\; =\; \lfloor \; a\; 0\; +\; m\; 1\; d\; 1\; \rfloor \; =\; \lfloor \; 10\; +\; 10\; 14\; \rfloor \; =\; \lfloor \; 20\; 14\; \rfloor \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{0\}\; +\; m\_\; \{1\}\}\; \{d\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{10\; +\; 10\}\; \{14\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{20\}\; \{14\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Итак, m 1 = 10; d 1 = 14; и a 1 = 1.

$114\; +\; 10\; 14\; =\; 1\; +\; 114\; -\; 4\; 14\; =\; 1\; +\; 114\; -\; 16\; 14\; (114\; +\; 4)\; =\; 1\; +\; 1\; 114\; +\; 4\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{14\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 4\}\; \{14\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{114\; -16\}\; \{14\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4)\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4\}\; \{7\}\}\}.\}$

Далее, m 2 = 4; d 2 = 7; и a 2 = 2.

$114\; +\; 4\; 7\; =\; 2\; +\; 114\; -\; 10\; 7\; =\; 2\; +\; 14\; 7\; (114\; +\; 10)\; =\; 2\; +\; 1\; 114\; +\; 10\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4\}\; \{7\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 10\}\; \{7\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14\; \}\; \{7\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10)\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{2\}\}\}.\}$

$114\; +\; 10\; 2\; =\; 10\; +\; 114\; -\; 10\; 2\; =\; 10\; +\; 14\; 2\; (114\; +\; 10)\; =\; 10\; +\; 1\; 114\; +\; 10\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{2\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 10\}\; \{2\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14\; \}\; \{2\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10)\}\}\; =\; 10\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{7\}\}\}.\}$

$114\; +\; 10\; 7\; =\; 2\; +\; 114\; -\; 4\; 7\; =\; 2\; +\; 98\; 7\; (114\; +\; 4)\; =\; 2\; +\; 1\; 114\; +\; 4\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{7\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 4\}\; \{7\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{98\; \}\; \{7\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4)\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4\}\; \{14\}\}\}.\}$

$114\; +\; 4\; 14\; =\; 1\; +\; 114\; -\; 10\; 14\; =\; 1\; +\; 14\; 14\; (114\; +\; 10)\; =\; 1\; +\; 1\; 114\; +\; 10\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 4\}\; \{14\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 10\}\; \{14\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14\; \}\; \{14\; (\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10)\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{1\}\}\}.\}$

$114\; +\; 10\; 1\; =\; 20\; +\; 114\; -\; 10\; 1\; =\; 20\; +\; 14\; 114\; +\; 10\; =\; 20\; +\; 1\; 114\; +\; 10\; 14.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{1\}\}\; =\; 20\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; -\; 10\}\; \{1\}\}\; =\; 20\; +\; \{\backslash \; frac\; \{14\; \}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\}\; =\; 20\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; +\; 10\}\; \{14\}\}\}.\}$

Теперь вернемся назад ко второму уравнению выше.

Следовательно, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 114 равна

$114\; =\; [10;\; 1,\; 2,\; 10,\; 2,\; 1,\; 20\; ¯].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; =\; [10;\; \{\backslash \; overline\; \{1,2,10,2,1,20\}\}].\; \backslash ,\}$(последовательность A010179 в OEIS )

√114 составляет приблизительно 10,67707 82520. После одного расширения повторяющейся дроби непрерывная дробь дает рациональную дробь $21194\; 1985\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{21194\}\; \{1985\}\}\}$, десятичное значение которого составляет примерно 10,67707 80856, относительная погрешность 0,0000016% или 1,6 частей на 100000000.

Обобщенная непрерывная дробь

Более быстрый метод - оценить ее обобщенная цепная дробь. Из полученной формулы получаем :

$z\; =\; x\; 2\; +\; y\; =\; x\; +\; y\; 2\; x\; +\; y\; 2\; x\; +\; y\; 2\; x\; +\; \ddots \; =\; x\; +\; 2\; x\; \cdot \; y\; 2\; (2\; Z\; -\; Y)\; -\; Y\; -\; Y\; 2\; 2\; (2\; Z\; -\; Y)\; -\; Y\; 2\; 2\; (2\; Z\; -\; Y)\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\; \}\; +\; y\}\}\; =\; x\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{y\}\; \{2x\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{y\}\; \{2x\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{y\}\; \{2x\; +\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\; =\; x\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2x\; \backslash \; cdot\; y\}\; \{2\; (2z-y)\; -y\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; (2z-y)\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; (2z-y)\; -\; \backslash \; ddots\}\}\; \}\}\}\}\}$

и тот факт, что 114 составляет 2/3 пути между 10 = 100 и 11 = 121, дает

$114\; Знак\; равно\; 1026\; 3\; =\; 32\; 2\; +\; 2\; 3\; =\; 32\; 3\; +\; 2/3\; 64\; +\; 2\; 64\; +\; 2\; 64\; +\; 2\; 64\; +\; \ddots \; =\; 32\; 3\; +\; 2\; 192\; +\; 18\; 192\; +\; 18\; 192\; +\; \ddots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 114\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1026\}\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{32\; ^\; \{2\}\; +2\}\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{32\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2/3\}\; \{64\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{64\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{64\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{64+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{32\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{192\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{18\}\; \{192\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{18\}\; \{192+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\},\}$

который является просто вышеупомянутым [10; 1,2, 10,2,1, 20,1,2], оцениваемым в каждом третьем члене. Объединение пар дробей дает

$114\; =\; 32\; 2\; +\; 2\; 3\; =\; 32\; 3\; +\; 64/3\; 2050\; -\; 1\; -\; 1\; 2050\; -\; 1\; 2050\; -\; \ddots \; =\; 32\; 3\; +\; 64\; 6150\; -\; 3\; -\; 9\; 6150\; -\; 9\; 6150\; -\; \ddots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{114\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{32\; ^\; \{2\}\; +2\}\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{32\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{64/3\; \}\; \{2050-1\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2050\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2050-\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{32\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{64\}\; \{6150-3\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{9\}\; \{6150\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{9\}\; \{6150-\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\},\}$

, который теперь равен $[10;\; 1,\; 2,\; 10,\; 2,\; 1,\; 20,\; 1,\; 2\; ¯]\; \{\backslash \; displaystyle\; [10;\; 1,2,\; \{\backslash \; overline\; \{10,2,1,20,1,2\}\}]\}$оценивается на третьем семестре и каждые шесть последующих семестров.

• Проблема Эрмита
• Метод непрерывной дроби для вычисления квадратных корней
• Ограниченные частные частные
• Факторизация непрерывной дроби

• Длинные, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
• Петтофреццо, Энтони Дж.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
• Rockett, Andrew M.; Szüsz, Питер (1992). Целые дроби. World Scientific. ISBN 981-02-1052-3.