Размеры и расстояния (Аристарх)

Расчеты Аристарха 3 века до н.э. относительно относительных размеров Солнца и Земли (слева направо) и Луна, с греческой копии X века н.э.

О размерах и расстояниях (Солнца и Луны) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai является широко принятым апостематоном) единственная дошедшая до нас работа, написанная Аристархом Самосским, древнегреческим астрономом, жившим примерно в 310–230 годах до нашей эры. В этой работе вычисляются размеры Солнца и Луны, а также их расстояния от Земли в единицах радиуса Земли.

Книга предположительно сохранилась студентами курса Паппа Александрийского по математике, хотя свидетельств этого нет. editio princeps был опубликован Джоном Уоллисом в 1688 году с использованием нескольких средневековых рукописей, составленных сэром Генри Сэвилом. Самый ранний латинский перевод был сделан Джорджо Валла в 1488 году. Существует также латинский перевод 1572 года и комментарий, сделанный Фредерико Коммандино.

• 1 Символы
• 2 Полумесяца
• 3 Лунное затмение
• 4 Результаты
• 5 Иллюстрации
• 6 Известные копии
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Библиография

Метод работы основан на нескольких наблюдениях:

• Видимый размер Солнца и Луны на небе.
• Размер тени Земли относительно Луны во время лунного затмения.
• Угол между Солнцем и Луной во время полумесяца очень близок к 90 °.

Остальная часть статьи подробно описывает реконструкцию метода Аристарха и результаты. В реконструкции используются следующие переменные:

Символ	Значение
φ	Угол между Луной и Солнцем в течение полумесяца (измеряется напрямую)
L	Расстояние от Земли до Луны
S	Расстояние от Земли до Солнца
ℓ	Радиус Луны
s	Радиус Солнца
t	Радиус Земли
D	Расстояние от центра От Земли до вершины конуса тени Земли
d	Радиус тени Земли в месте расположения Луны
n	Отношение, d / ℓ (непосредственно наблюдаемая величина во время лунного затмения )
x	Отношение, S / L = s / ℓ (вычисляется по φ)

Аристарх начал с предположения, что во время полумесяца Луна образует прямоугольный треугольник с Солнцем и Землей. Наблюдая за углом между Солнцем и Луной, φ, отношение расстояний до Солнца и Луны можно вывести с помощью формы тригонометрии.

Из диаграммы и тригонометрии, мы можем вычислить, что

$SL\; =\; 1\; cos\; \; \phi \; =\; sec\; \; \phi .\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; sec\; \backslash \; varphi.\}$

Диаграмма сильно преувеличена, потому что на самом деле S = 390 L, а φ очень близко к 90 °. Аристарх определил, что φ на тридцатую часть квадранта (в современных терминах - 3 °) меньше прямого угла: в современной терминологии 87 °. Тригонометрические функции еще не были изобретены, но, используя геометрический анализ в стиле Евклида, Аристарх определил, что

Другими словами, расстояние до Солнца было где-то между 18 и 20 раз. больше, чем расстояние до Луны. Это значение (или значения, близкие к нему) были приняты астрономами в течение следующих двух тысяч лет, пока изобретение телескопа не позволило более точную оценку солнечного параллакса.

Аристарх также рассуждал, что как угловой размер Солнца и Луны были одинаковыми, но расстояние до Солнца было в 18-20 раз дальше, чем Луна, поэтому Солнце должно быть в 18-20 раз больше.

Затем Аристарх использовал другую конструкцию, основанную на лунном затмении:

По сходству треугольников $DL\; =\; tt\; -\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\; \}\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{td\}\}\; \backslash \; quad\}$и $DS\; =\; ts\; -\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{st\}\}.\}$

Разделив эти два уравнения и используя наблюдение, что видимые размеры Солнца и Луны являются то же самое, $LS\; =\; \ell \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{s\}\}\}$, дает

$\ell \; s\; =\; t\; -\; ds\; -\; t\; \Rightarrow \; s\; -\; ts\; =\; t\; -\; d\; \ell \; \Rightarrow \; 1\; -\; ts\; =\; t\; \ell \; -\; d\; \ell \; \Rightarrow \; t\; \ell \; +\; ts\; =\; 1\; +\; d\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{td\}\; \{st\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{st\}\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{td\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{s\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}.\}$

Крайнее правое уравнение может быть решено для ℓ / t

$t\; \ell \; (1\; +\; \ell \; s)\; =\; 1\; +\; d\; \ell \; \Rightarrow \; \ell \; t\; =\; 1\; +\; \ell \; s\; 1\; +\; d\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{s\}\})\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{s\}\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}.\}$

или s / t

$ts\; (1\; +\; s\; \ell )\; =\; 1\; +\; d\; \ell \; \Rightarrow \; st\; =\; 1\; +\; s\; \ell \; 1\; +\; d\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{s\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{\backslash \; ell\}\})\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}.\}$

Внешний вид этих уравнений можно упростить, используя n = d / ℓ и x = s / ℓ.

$\ell \; T\; =\; 1\; +\; xx\; (1\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; x\}\; \{x\; (1\; +\; n)\}\}\}$

$st\; =\; 1\; +\; x\; 1\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; x\}\; \{1\; +\; n\}\}\}$

Приведенные выше уравнения определяют радиусы Луны и Солнце полностью в наблюдаемых величинах.

Следующие формулы дают расстояния до Солнца и Луны в земных единицах:

$L\; t\; =\; (\ell \; t)\; (180\; \pi \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{180\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\}$

$S\; t\; =\; (st)\; (180\; \pi \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{180\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

где θ - видимый радиус Луны и Солнца, измеренный в градусах.

Маловероятно, что Аристарх использовал эти точные формулы, однако эти формулы, вероятно, являются хорошим приближением к формулам Аристарха.

Приведенные выше формулы можно использовать для восстановления результатов Аристарха. В следующей таблице показаны результаты давней (но сомнительной) реконструкции с использованием n = 2, x = 19,1 (φ = 87 °) и θ = 1 °, наряду с современными принятыми значениями.

Количество	Отношение	Реконструкция	Современные
s/t	Радиус Солнца в радиусах Земли	6,7	109
t/ℓ	Радиус Земли в радиусах Луны	2,85	3,50
L/t	Земля - Расстояние до Луны в радиусах Земли	20	60,32
S/t	Расстояние Земля-Солнце в радиусах Земли	380	23,500

Ошибка в этом расчет происходит в основном из-за плохих значений для x и θ. Плохое значение θ особенно удивительно, поскольку Архимед пишет, что Аристарх был первым, кто определил, что Солнце и Луна имеют видимый диаметр в полградуса. Это даст значение θ = 0,25 и соответствующее расстояние до Луны в 80 радиусов Земли, что намного лучше. Несогласие в работе с Архимедом, по-видимому, связано с утверждением Аристарха о том, что лунно-солнечный диаметр составляет 1/15 «мероса» зодиака, что означает 1/15 зодиакального знака (30 °), не зная, что Греческое слово «мерос» означало либо «часть», либо 7 ° 1/2; и 1/15 последней суммы составляет 1 ° / 2, что соответствует показаниям Архимеда.

A аналогичная процедура была позже использована Гиппархом, который оценил среднее расстояние до Луны как 67 земных радиусов, и Птолемеем, который взял 59 земных радиусов для этого значения..

Некоторые интерактивные иллюстрации предложений в «О размерах» можно найти здесь:

• Гипотеза 4 утверждает, что когда Луна кажется нам уменьшенной вдвое, расстояние до нее от Солнца тогда меньше квадранта на одну тридцатую квадранта [то есть меньше 90 ° на 1/30 от 90 ° или 3 ° и, следовательно, равно 87 °] (Heath 1913: 353
• Предложение 1 утверждает, что две равные сферы охватываются одним и тем же цилиндром, а две неравные сферы - одним и тем же конусом, вершина которого находится в направлении меньшей сферы; и прямая линия, проведенная через центры сфер, проходит под прямым углом к ​​каждой из окружностей, в которых поверхность цилиндра или конуса касается сфер (Heath 1913: 354).
• Предложение 2 утверждает, что если сфера освещена сферой, большей, чем она сама, то освещенная часть прежней сферы будет больше, чем полусфера (Heath 1913: 358).
• Утверждение 3 утверждает что круг на Луне, разделяющий темную и яркую части, является наименьшим, когда конус, охватывающий и Солнце, и Луну, имеет вершину в нашем глазу (Heath 1913: 362).
• Предложение 4 утверждает, что круг, разделяющий темную и яркую части на Луне, заметно не отличается от большого круга на Луне (Heath 1913: 365).
• Предложение 6 утверждает, что Луна движется [ на орбите] ниже, чем [орбита] Солнца, и, когда она делится на половину, находится на расстоянии меньше квадранта от Солнца (Heath 1913: 372).
• Предложение 7 утверждает, что расстояние от Солнца до Земли больше, чем в 18 раз, но меньше, чем в 20 раз, расстояния Луны от Земли (Heath 1913: 377). Другими словами, Солнце находится в 18-20 раз дальше и шире Луны.
• Предложение 13 гласит, что прямая линия, проходящая через часть, пересеченную в тени земли, на окружности круга в что крайние точки диаметра круга, разделяющего темную и яркую части Луны, двигаются меньше, чем в два раза диаметра Луны, но имеют отношение к нему больше, чем отношение 88 к 45; и он составляет менее 1/9 части диаметра Солнца, но имеет отношение к нему больше, чем 21, к 225. Но у него есть прямая линия, проведенная из центра Солнца под прямым углом к ось и встречает стороны конуса в соотношении большее, чем отношение 979 к 10 125 (Heath 1913: 394).
• Предложение 14 утверждает, что прямая линия, соединяющая центр Земли с центр Луны имеет отношение к прямой, отрезанной от оси к центру Луны прямой линией, соединяющей [окружность] в тени Земли, больше, чем отношение 675 к 1 (Heath 1913: 400).
• Предложение 15 утверждает, что диаметр Солнца имеет отношение к диаметру Земли больше 19/3, но меньше 43/6 (Heath 1913: 403). Это означает, что Солнце (в среднем) в 6¾ раз шире Земли, или что Солнце имеет ширину 13½ земного радиуса. Тогда Луна и Солнце должны находиться на расстоянии 20¼ и 387 земных радиусов от нас, чтобы иметь угловой размер 2º.
• Предложение 17a в средневековой арабской версии книги «О размерах» ат-Туси утверждает что отношение расстояния вершины теневого конуса от центра Луны (когда Луна находится на оси [то есть в середине затмения] конуса, содержащего Землю и Солнце), к расстояние от центра Луны до центра Земли больше отношения 71 к 37 и меньше отношения 3 к одному (Berggren Sidoli 2007: 218). Другими словами, кончик теневого конуса Земли находится между 108/37 и в четыре раза дальше, чем Луна.

• Экспонат Библиотеки Конгресса Ватикана.

• Аристарх из Самос
• Эратосфен, греческий математик, который рассчитал расстояние от Земли до Солнца
• Гиппарх
• О размерах и расстояниях (Гиппарх)
• Посидоний, греческий философ, который вычислил окружность Земли

• Хит, Томас (1913). Аристарх Самосский, Древний Коперник. Оксфорд: Кларендон. Это было позже перепечатано, см. (ISBN 0-486-43886-4 ).
• ван Хелден, А. Измерение Вселенной: Космический Размеры от Аристарха до Галлея. Чикаго: Чикагский университет, 1985. ISBN 0-226-84882-5.