Нелинейный резонанс

редактировать

Физическое явление

В физике, нелинейный резонанс - это возникновение резонанса в нелинейной системе. В нелинейном резонансе поведение системы - резонансные частоты и режимы - зависит от амплитуды колебаний , а для линейных системы это не зависит от амплитуды. Смешивание мод в нелинейных системах называется резонансным взаимодействием.

Содержание

1 Описание
2 Нелинейный резонансный сдвиг
- 2.1 Нелинейные функции частотной характеристики
3 См. Также
4 Примечания и ссылки
- 4.1 Примечания
- 4.2 Ссылки
5 Внешние ссылки

Описание

Обычно необходимо различать два типа резонансов - линейные и нелинейные. С физической точки зрения они определяются тем, совпадает ли внешняя сила с собственной частотой системы (линейный и нелинейный резонанс соответственно). Колебательные моды могут взаимодействовать посредством резонансного взаимодействия, когда сохраняются и энергия, и импульс взаимодействующих мод. Сохранение энергии подразумевает, что сумма частот мод должна быть равна нулю:

ω n = ω 1 + ω 2 + ⋯ + ω n - 1, {\ displaystyle \ omega _ {n} = \ omega _ {1} + \ omega _ {2} + \ cdots + \ omega _ {n-1},}

\ omega _ {n} = \ omega _ {{1}} + \ омега _ {{2}} + \ cdots + \ omega _ {{n-1}},

с возможно другим $ω i = ω (ki), {\ displaystyle \ omega _ {i } = \ omega (\ mathbf {k} _ {i}),}$ $\ omega _ {i} = \ omega ({\ mathbf {k}} _ {i}),$ - собственные частоты линейной части некоторого нелинейного уравнения в частных производных. $k i {\ displaystyle \ mathbf {k} _ {i}}$ ${\ mathbf {k}} _ {i}$ - это волновой вектор, связанный с модой; целые индексы $i {\ displaystyle i}$ $я$ являются индексами гармоник Фурье - или собственных мод - см. ряд Фурье. Соответственно, условие частотного резонанса эквивалентно диофантову уравнению со многими неизвестными. Проблема нахождения их решений эквивалентна десятой проблеме Гильберта, которая, как доказано, алгоритмически неразрешима.

Основными положениями и результатами теории нелинейных резонансов являются:

Использование дисперсионных соотношений $ω = ω (k) {\ displaystyle \ omega = \ omega ( \ mathbf {k})}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k})}$ , встречающийся в различных физических приложениях, позволяет находить решения условия частотного резонанса.
Набор резонансов для заданной дисперсионной функции и вид условий резонанса разбиты на непересекающиеся резонансные кластеры; динамику каждого кластера можно изучать независимо (в соответствующем масштабе времени). Их часто называют «связанными волнами», которые не могут взаимодействовать, в отличие от «свободных волн», которые могут. Известным примером является солитон из уравнения КдФ : солитоны могут перемещаться друг сквозь друга, не взаимодействуя. При разложении на собственные моды высокочастотные моды солитона не взаимодействуют (не удовлетворяют уравнениям резонансного взаимодействия ), они «привязаны» к основному.
Каждый набор связанных мод (резонансный кластер) можно представить в виде плоского графа специальной структуры. Это представление позволяет однозначно восстановить 3a) динамическую систему, описывающую зависящее от времени поведение кластера, и 3b) набор его полиномиальных законов сохранения; это обобщение констант движения Мэнли – Роу для простейших кластеров (триад и квартетов).
Динамические системы, описывающие некоторые типы кластеров, могут быть решены аналитически ; это точно решаемые модели.
Эти теоретические результаты могут быть использованы непосредственно для описания реальных физических явлений (например, внутрисезонных колебаний в атмосфере Земли) или различных волновых турбулентных режимов в теории волновой турбулентности. Многие другие примеры приведены в статье о резонансных взаимодействиях.

Нелинейный резонансный сдвиг

Эффект перегиба

Нелинейные эффекты могут значительно изменить форму резонансных кривых гармонические осцилляторы. Прежде всего, резонансная частота $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ смещается от своего «естественного» значения $ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ по формуле

ω = ω 0 + κ A 2, {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} + \ kappa A ^ {2},}

\ omega = \ omega _ {0} + \ kappa A ^ {2},

где $A {\ displaystyle A}$ $A$ - амплитуда колебаний, а $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ - константа, определяемая ангармоническими коэффициентами. Во-вторых, форма резонансной кривой искажается (эффект складывания ). Когда амплитуда (синусоидальной) внешней силы $F {\ displaystyle F}$ $F$ достигает критического значения $F crit {\ displaystyle F _ {\ mathrm {crit}}}$ $F _ {{\ mathrm {crit}}}$ появляются нестабильности. Критическое значение задается формулой

F крит = 4 м 2 ω 0 2 γ 3 3 3 κ, {\ displaystyle F _ {\ mathrm {crit}} = {\ frac {4m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma ^ {3}} {3 {\ sqrt {3}} \ kappa}},}

F _ {{\ mathrm {crit}}} = {\ frac {4m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma ^ {3}} {3 {\ sqrt {3} } \ kappa}},

где $m {\ displaystyle m}$ $m$ - это масса осциллятора, а $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - коэффициент демпфирования. Кроме того, появляются новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к $ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ , возбуждаются внешней силой с частотой, весьма отличной от $ω 0. {\ displaystyle \ omega _ {0}.}$ $\ omega _ {0}.$

Функции нелинейной частотной характеристики

Обобщенные функции частотной характеристики и функции нелинейной выходной частотной характеристики позволяют пользователю принципиально изучать сложное нелинейное поведение в частотной области. путь. Эти функции выявляют резонансные гребни, гармонику, интермодуляцию и эффекты передачи энергии таким образом, чтобы пользователь мог связать эти термины из сложных нелинейных моделей дискретного и непрерывного времени с частотной областью и наоборот.

См. Также

Примечания и ссылки

Примечания

Ссылки

Ландау, Л. Д. ; Лифшиц, EM (1976), Mechanics (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка)
Rajasekar, S.; Санджуан, MAF (2016), Нелинейные резонансы (1-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (электронная книга)

Внешние ссылки

Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Университет Базеля, получено 27 октября 2010 г.