В математике, Neumann (или секунда -type ) граничное условие - это тип граничного условия, названный в честь Карла Неймана. При наложении на обыкновенное или уравнение в частных производных, условие определяет значения, в которых производная решения применяется в пределах границы области .
Задачу можно описать с помощью других граничных условий: граничное условие Дирихле задает значения самого решения (в отличие от его производной) на границе, тогда как граничное условие Коши, смешанное граничное условие и граничное условие Робина - все это различные типы комбинаций граничных условий Неймана и Дирихле.
Содержание
- 1 Примеры
- 1.1 ODE
- 1.2 PDE
- 1.3 Приложения
- 2 См. Также
- 3 Ссылки
Примеры
ODE
Для обыкновенного дифференциального уравнения, например,
граничные условия Неймана на интервале [a, b] принимают форма
где α и β даны числами.
PDE
Для уравнения в частных производных, например,
где ∇ обозначает оператор Лапласа, граничные условия Неймана в области Ω ⊂ ℝ принимают вид
, где n обозначает (обычно внешнюю) нормаль к границе ∂Ω, а f - заданная скалярная функция.
нормальная производная, которая отображается слева, определяется как
где ∇y (x ) представляет вектор градиента y (x ), n̂ - нормальная единица измерения, а ⋅ представляет оператор внутреннего произведения.
Становится ясно, что граница должна быть достаточно гладкой, чтобы могла существовать производная по нормали, поскольку, например, в угловых точках границы вектор нормали не определен должным образом.
Приложения
Следующие приложения включают использование граничных условий Неймана:
- В термодинамике заданный тепловой поток от поверхности будет служить граничным условием. Например, идеальный изолятор не будет иметь магнитного потока, в то время как электрический компонент может рассеиваться при известной мощности.
- В магнитостатике можно задать напряженность магнитного поля. в качестве граничного условия для нахождения распределения плотности магнитного потока в массиве магнитов в пространстве, например, в двигателе с постоянными магнитами. Поскольку задачи магнитостатики включают решение уравнения Лапласа или уравнения Пуассона для магнитного скалярного потенциала, граничное условие является условием Неймана.
См. Также
Ссылки
- ^Cheng, AH-D.; Ченг, Д. Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами. 29 (3): 268. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.