Натуральный логарифм 2

Десятичное значение натурального логарифма из 2 (последовательность A002162 в OEIS ) составляет примерно

$ln\; \; 2\; \approx \; 0,693\; 147\; 180\; 55945\; 309\; 417\; 232\; 121\; 458.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; \backslash \; приблизительно\; 0,693\; \backslash ,\; 147\; \backslash ,\; 180\; \backslash ,\; 559\; \backslash ,\; 945\; \backslash ,\; 309\; \backslash ,\; 417\; \backslash ,\; 232\; \backslash ,\; 121\; \backslash ,\; 458.\}$

Логарифм 2 в других основаниях получается с помощью формулы

$log\; b\; \; 2\; =\; ln\; \; 2\; лн\; \; б.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{\backslash \; ln\; b\}\}.\}$

В частности, десятичный логарифм равен (OEIS : A007524 )

$log\; 10\; \; 2\; \approx \; 0,301\; 029\; 995\; 663\; 981\; 195.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 2\; \backslash \; приблизительно\; 0,301\; \backslash ,\; 029\; \backslash ,\; 995\; \backslash ,\; 663\; \backslash ,\; 981\; \backslash ,\; 195.\}$

Обратное к этому числу - двоичный логарифм от 10:

$log\; 2\; \; 10\; =\; 1\; log\; 10\; \; 2\; \approx \; 3,321\; 928\; 095\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 10\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 3.321\; \backslash ,\; 928\; \backslash ,\; 095\}$(OEIS : A020862 ).

По теореме Линдеманна – Вейерштрасса, натуральный логарифм любого натурального числа, кроме 0 и 1 (в более общем смысле, любого положительного алгебраического числа, кроме 1) является трансцендентным числом.

• 1 Последовательные представления
  • 1.1 Возрастающий альтернативный факториал
  • 1.2 Двоичный возрастающий постоянный факториал
  • 1.3 Другие представления серий
  • 1.4 Использование дзета-функции Римана
  • 1.5 Представления типа BBP
• 2 Представление в виде интегралов
• 3 Другие представления
• 4 Boo привязка других логарифмов
  • 4.1 Пример
• 5 Известные цифры
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Возрастающий альтернативный факториал

$ln\; \; 2\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; N\; +\; 1\; N\; знак\; равно\; 1\; -\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; -\; 1\; 4\; +\; 1\; 5\; -\; 1\; 6\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\; \}$Это хорошо известный «чередующийся гармонический ряд ".

$ln\; \; 2\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; n\; (n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 5\; 8\; +\; 1\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{8\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\; -1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 2\; 3\; +\; 3\; 4\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; n\; (N\; +\; 1)\; (N\; +\; 2)\; (N\; +\; 3).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; Знак\; равно\; 131\; 192\; +\; 3\; 2\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{131\}\; \{192\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; (n\; +1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 661\; 960\; +\; 15\; 4\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; N\; +\; 1\; N\; (N\; +\; 1)\; (N\; +\; 2)\; (N\; +\; 3)\; (N\; +\; 4)\; (N\; +\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{661\}\; \{960\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{15\}\; \{4\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4)\; (n\; +\; 5)\}\}.\}$

Двоичный возрастающий постоянный факториал

$ln\; \; 2\; =\; \sum \; n\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 1\; -\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn\; (n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\; (n\; +\; 1)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; Знак\; равно\; 1\; 2\; +\; 2\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 2\; NN\; (N\; +\; 1)\; (N\; +\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 5\; 6\; -\; 6\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{6\}\}\; -\; 6\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 7\; 12\; +\; 24\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{12\}\}\; +\; 24\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4)\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 47\; 60\; -\; 120\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (п\; +\; 4)\; (п\; +\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{47\}\; \{60\}\}\; -\; 120\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\; (n\; +\; 1)\; (n\; +\; 2)\; (n\; +\; 3)\; (n\; +\; 4)\; (n\; +\; 5)\}\}.\}$

Другие представления серий

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; (2\; n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; 2)\; =\; пер\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2n\; +\; 1)\; (2n\; +\; 2)\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2.\}$

$\sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; N\; (4\; N\; 2\; -\; 1)\; знак\; равно\; 2\; пер\; \; 2\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; (4n\; ^\; \{\; 2\}\; -1)\}\}\; =\; 2\; \backslash \; ln\; 2-1.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; nn\; (4\; n\; 2\; -\; 1)\; =\; ln\; \; 2\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n\; (4n\; ^\; \{2\}\; -1)\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2-1.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; nn\; (9\; n\; 2\; -\; 1)\; знак\; равно\; 2\; ln\; \; 2\; -\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n\; (9n\; ^\; \{2\}\; -1)\}\}\; =\; 2\; \backslash \; ln\; 2\; -\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{3\}\; \{2\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 4\; n\; 2\; -\; 2\; n\; =\; ln\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{4n\; ^\; \{2\}\; -2n\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 2\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; (2\; n\; -\; 1)\; +\; 1\; 8\; n\; 2\; -\; 4\; n\; =\; ln\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (2n-1)\; +1\}\; \{8n\; ^\; \{2\}\; -4n\; \}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2.\}$

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; n\; 3\; n\; +\; 1\; =\; ln\; \; 2\; 3\; +\; \pi \; 3\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{3n\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{3\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; n\; 3\; n\; +\; 2\; =\; -\; ln\; \; 2\; 3\; +\; \pi \; 3\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{3n\; +\; 2\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; n\; (3\; n\; +\; 1)\; (3\; n\; +\; 2)\; =\; 2\; ln\; \; 2\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{(3n\; +\; 1)\; (3n\; +\; 2)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; ln\; 2\}\; \{3\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; \sum \; k\; =\; 1\; nk\; 2\; =\; 18–24\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; k\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 18-24\; \backslash \; ln\; 2\}$с использованием $lim\; N\; \to \; \infty \; \sum \; n\; =\; N\; 2\; N\; 1\; N\; =\; пер\; \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{2N\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2\}$

$\sum \; п\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 4\; К\; 2\; -\; 3\; К\; знак\; равно\; пер\; \; 2\; +\; \pi \; 6\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4k\; ^\; \{2\}\; -3k\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\}$(суммы обратных десятиугольных чисел )

, включающих дзета-функцию Римана

$\sum \; n\; =\; 2\; \infty \; 1\; 2\; N\; [\zeta \; (n)\; -\; 1]\; =\; пер\; \; 2\; -\; 1\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\}\}\; [\; \backslash \; zeta\; (n)\; -1]\; =\; \backslash \; ln\; 2\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 2\; \infty \; 1\; 2\; n\; +\; 1\; [\zeta \; (n)\; -\; 1]\; =\; 1\; -\; \gamma \; -\; пер\; \; 2\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; [\backslash \; zeta\; (n)\; -1]\; =\; 1-\; \backslash \; gamma\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{2\}\}.\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; 2\; n\; -\; 1\; (2\; n\; +\; 1)\; \zeta \; (2\; n)\; =\; 1\; -\; ln\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{2n-1\}\; (2n\; +\; 1)\}\}\; \backslash \; zeta\; (2n)\; =\; 1-\; \backslash \; ln\; 2.\}$

(γ - постоянная Эйлера – Маскерони и ζ Дзета-функция Римана.)

Представления типа BBP

$ln\; \; 2\; =\; 2\; 3\; +\; 1\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; (1\; 2\; k\; +\; 1\; 4\; k\; +\; 1\; +\; 1\; 8\; k\; +\; 4\; +\; 1\; 16\; к\; +\; 12)\; 1\; 16\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2k\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4k\; +\; 1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8k\; +\; 4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16k\; +\; 12\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{16\; ^\; \{k\}\}\}.\}$

(Подробнее о представлениях типа Бейли – Борвейна – Плаффа (BBP).)

Применение трех общих рядов для натуральный логарифм до 2 напрямую дает:

$ln\; \; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 2\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 2\; 3\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 9\; кб\; (2\; к\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}.\; \}$

Применение их к $2\; =\; 3\; 2\; \cdot \; 4\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\}$дает:

$ln\; \; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; 2\; nn\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; 3\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{3\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 3\; nn\; +\; \sum \; п\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 4\; нн.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 2\; 5\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 25\; k\; (2\; k\; +\; 1)\; +\; 2\; 7\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 49\; k\; (2\; к\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{5\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{25\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{7\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{49\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}.\}$

Применение их к $2\; =\; (2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 2\; =\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; ^\; \{2\}\}$дает:

$ln\; \; 2\; =\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; (2\; +\; 1)\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1)\; ^\; \{\; n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; 2\; =\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; (2\; +\; 2)\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 4\; 3\; +\; 2\; 2\; \sum \; k\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; (17\; +\; 12\; 2)\; k\; (2\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(17\; +\; 12\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}.\}$

Применение их к $2\; =\; (16\; 15)\; 7\; \cdot \; (81\; 80)\; 3\; \cdot \; (25\; 24)\; 5\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 2\; =\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{15\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{7\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{81\}\; \{80\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{\; 3\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{25\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{5\}\}$дает:

$ln\; \; 2\; =\; 7\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; 15\; nn\; +\; 3\; \sum \; n\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; 80\; nn\; +\; 5\; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; 24\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 7\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{15\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; 3\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{80\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; 5\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{24\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 7\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 16\; nn\; +\; 3\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; 81\; nn\; +\; 5\; \sum \; n\; знак\; равно\; 1\; \infty \; 1\; 25\; nn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 7\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; 3\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{81\; ^\; \{n\}\; n\}\}\; +\; 5\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{25\; ^\; \{n\}\; n\}\}.\}$

$ln\; \; 2\; =\; 14\; 31\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 961\; k\; (2\; k\; +\; 1)\; +\; 6\; 161\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 25921\; k\; (2\; k\; +\; 1)\; +\; 10\; 49\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 2401\; k\; (\; 2\; к\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{14\}\; \{31\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{961\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{161\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{25921\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{\; 49\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2401\; ^\; \{k\}\; (2k\; +\; 1)\}\}.\}$

натуральный логарифм 2 часто встречается в результате интегрирования. Вот некоторые явные формулы для него:

$\int \; 0\; 1\; dx\; 1\; +\; x\; =\; \int \; 1\; 2\; dxx\; =\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{1\; +\; x\}\; \}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; ln\; 2\}$

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; x\; 1\; -\; e\; -\; xxdx\; =\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-e\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; ln\; 2\}$

$\int \; 0\; \pi \; 3\; tan\; \; xdx\; Знак\; равно\; 2\; \int \; 0\; \pi \; 4\; загар\; \; xdx\; =\; пер\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; ln\; 2\}$

Расширение Пирса: OEIS : A091846

$ln\; \; 2\; знак\; равно\; 1\; -\; 1\; 1\; \cdot \; 3\; +\; 1\; 1\; \cdot \; 3\; \cdot \; 12\; -\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 12\}\}\; -\; \backslash \; cdots.\}$

Расширение Энгеля равно OEIS : A059180

$ln\; \; 2\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; \cdot \; 3\; +\; 1\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 7\; +\; 1\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 7\; \cdot \; 9\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 7\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 7\; \backslash \; cdot\; 9\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Расширение котангенса составляет OEIS : A081785

$ln\; \; 2\; =\; cot\; \; (arccot\; \; (0)\; -\; arccot\; \; (1)\; +\; arccot\; \; (5)\; -\; arccot\; \; (55)\; +\; arccot\; \; (14187)\; -\; \cdots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; cot\; (\{\backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (0)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (1)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (5)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{arccot\}\; (55)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{\; arccot\}\; (14187)\; -\; \backslash \; cdots\}).\}$

Простая непрерывная дробь раскрывается как OEIS : A016730

$ln\; \; 2\; =\; [0;\; 1,\; 2,\; 3,\; 1,\; 6,\; 3,\; 1,\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 3,\; 10,\; 1,\; 1,\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 3,\; 2,\; 3,\; 1,...\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; left\; [0;\; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,\; 1,1,1,1,3,2,3,1,...\; \backslash \; right]\}$,

который дает рациональные приближения, первые несколько из которых: 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 и 61/88.

Эта обобщенная цепная дробь :

$ln\; \; 2\; =\; [0;\; 1,\; 2,\; 3,\; 1,\; 5,\; 2\; 3,\; 7,\; 1\; 2,\; 9,\; 2\; 5,...,\; 2\; к\; -\; 1,\; 2\; к,...\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \backslash \; left\; [0;\; 1,2,3,1,5,\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\},\; 7,\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 9,\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{5\}\},...,\; 2k-1,\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{k\}\},...\; \backslash \; right]\}$,

также можно выразить как

$ln\; \; 2\; =\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; 2\; 2\; +\; 2\; 5\; +\; 3\; 2\; +\; 3\; 7\; +\; 4\; 2\; +\; \ddots \; =\; 2\; 3\; -\; 1\; 2\; 9\; -\; 2\; 2\; 15\; -\; 3\; 2\; 21\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{3\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{5\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{3\}\; \{\; 2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{3\}\; \{7\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{4\}\; \{2+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{3\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\; ^\; \{2\}\}\; \{9\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\; ^\; \{2\}\}\; \{15\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{3\; ^\; \{2\}\}\; \{21-\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

Для заданного значения ln 2 схема вычисления логарифмов других целых чисел заключается в табулировании логарифмов простых чисел и в следующий слой - логарифмы составных чисел c на основе их факторизации

$c\; =\; 2\; i\; 3\; j\; 5\; k\; 7\; l\; \cdots \; \to \; ln\; \; (c)\; =\; i\; ln\; \; (2)\; +\; j\; пер\; \; (3)\; +\; К\; пер\; \; (5)\; +\; l\; пер\; \; (7)\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 2\; ^\; \{i\}\; 3\; ^\; \{j\}\; 5\; ^\; \{k\}\; 7\; ^\; \{l\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; стрелка\; вправо\; \backslash \; ln\; (c)\; =\; i\; \backslash \; ln\; (2)\; +\; j\; \backslash \; ln\; (3)\; +\; k\; \backslash \; ln\; (5)\; +\; l\; \backslash \; ln\; (7)\; +\; \backslash \; cdo\; ts\}$

Здесь используется

В поле На третьем уровне логарифмы рациональных чисел r = a / b вычисляются с помощью ln (r) = ln (a) - ln (b), а логарифмы корней - с помощью ln √c = 1 / n ln (c).

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени двойки довольно плотно распределены; найти степени 2, близкие к степеням b других чисел b, сравнительно легко, и последовательные представления ln (b) находятся путем соединения 2 с b с помощью логарифмических преобразований.

Пример

Если p = q + d с некоторым малым d, то p / q = 1 + d / q и, следовательно,

$s\; ln\; \; (p)\; -\; t\; ln\; \; (q)\; =\; ln\; \; (1\; +\; dqt)\; =\; \sum \; m\; =\; 1\; \infty \; (\; -\; 1)\; m\; +\; 1\; (dqt)\; мм\; знак\; равно\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; 2\; n\; +\; 1\; (d\; 2\; qt\; +\; d)\; 2\; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; \backslash \; ln\; (p)\; -t\; \backslash \; ln\; (q)\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{q\; ^\; \{t\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{q\; ^\; \{t\}\}\})\; ^\; \{m\}\}\; \{m\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{2q\; ^\; \{t\}\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{2n\; +\; 1\}.\}$

Выбор q = 2 представляет ln (p) на ln 2 и последовательность параметров d / q, которые желательно сохранить малыми для быстрой сходимости. Взяв, например, 3 = 2 + 1, получаем

$2\; ln\; \; (3)\; =\; 3\; ln\; \; 2\; -\; \sum \; k\; \ge \; 1\; (-\; 1)\; k\; 8\; kk\; =\; 3\; ln\; \; 2\; +\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; 2\; п\; +\; 1\; (1\; 2\; \cdot \; 8\; +\; 1)\; 2\; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; ln\; (3)\; =\; 3\; \backslash \; ln\; 2-\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{8\; ^\; \{k\}\; k\}\}\; =\; 3\; \backslash \; ln\; 2+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; 8\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{2n\; +\; 1\}.\}$

Это фактически третья строка в следующей таблице расширений этого типа:

Начиная с натурального логарифма q = 10, можно использовать следующие параметры:

Это таблица последних записей при вычислении цифр $ln\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; 2.\}$По состоянию на декабрь 2018 г. больше цифр, чем любой другой натуральный логарифм натурального числа, за исключением 1.

• Правило 72 # Непрерывное смешение, в котором ln 2 цифры заметно
• Half-Life # Формулы для периода полураспада в экспоненциальном распаде, в котором ln 2 фигурирует на видном месте
• уравнение Эрдеша – Мозера : все решения должны происходить из сходящейся ln 2.

• Брент, Ричард П. (1976). «Быстрое вычисление элементарных функций с высокой точностью». J. ACM. 23 (2): 242–251. doi : 10.1145 / 321941.321944. MR 0395314.
• Улер, Гораций С. (1940). «Пересчет и расширение модуля и логарифмов 2, 3, 5, 7 и 17». Proc. Natl. Акад. Sci. США 26 (3): 205–212. doi : 10.1073 / pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033. PMID 16588339.
• Суини, Дура У. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера». Математика вычислений. 17 (82): 170–178. doi : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308.
• Чемберленд, Марк (2003). «Бинарные BBP-формулы для логарифмов и обобщенных простых чисел Гаусса – Мерсенна» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 6 : 03.3.7. MR 2046407. Архивировано из оригинального (PDF) 06.06.2011. Проверено 29 апреля 2010 г.
• Гуревич, Борис; Гильера Гоянес, Хесус (2007). «Построение биномиальных сумм для π и полилогарифмических констант, вдохновленное формулами BBP» (PDF). Прикладная математика. Электронные заметки. 7 : 237–246. MR 2346048.
• У, Цян (2003). «О мере линейной независимости логарифмов рациональных чисел». Математика вычислений. 72 (242): 901–911. doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01442-4.

• Вайсштейн, Эрик У. «Натуральный логарифм 2». MathWorld.
• «таблица натуральных логарифмов». PlanetMath.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль. «Константа логарифма: log 2».