Вселенная Mixmaster

редактировать

Вселенная Mixmaster (названная в честь Sunbeam Mixmaster, бренда электрического кухонного смесителя Sunbeam Products) является решением to уравнения поля Эйнштейна из общей теории относительности, изученные Чарльзом Миснером в попытке лучше понять динамику ранней Вселенной. Он надеялся решить проблему горизонта естественным образом, показав, что ранняя Вселенная переживала период колебаний хаотической эпохи.

Содержание

1 Обсуждение
2 Метрика
3 Приложения к космологии
4 См. Также
5 Ссылки

Обсуждение

Модель аналогична закрытой Вселенная Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера, в которой пространственные срезы имеют положительную кривизну и топологически три-сферы $S 3 {\ displaystyle S ^ { 3}}$ $S ^ {3}$ . Однако во вселенной FRW $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ может только расширяться или сжиматься: единственный динамический параметр - это общий размер $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ , параметризованный масштабным коэффициентом $a (t) {\ displaystyle a (t)}$ $a(t)$ . Во вселенной Mixmaster $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ может расширяться или сжиматься, но также анизотропно искажаться. Его эволюция описывается масштабным коэффициентом $a (t) {\ displaystyle a (t)}$ $a(t)$ , а также двумя параметрами формы $β ± (t) {\ displaystyle \ beta _ {\ pm} (t)}$ $\ beta_ \ pm (t)$ . Значения параметров формы описывают искажения $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ , которые сохраняют его объем, а также поддерживают постоянный скаляр кривизны Риччи. Следовательно, поскольку три параметра $a, β ± {\ displaystyle a, \ beta _ {\ pm}}$ $a, \ beta_ \ pm$ принимают разные значения, однородность, но не изотропия сохраняется.

Модель имеет богатую динамическую структуру. Миснер показал, что параметры формы $β ± (t) {\ displaystyle \ beta _ {\ pm} (t)}$ $\ beta_ \ pm (t)$ действуют как координаты точечной массы, движущейся в треугольный потенциал с круто поднимающимися стенками с трением. Изучая движение этой точки, Миснер показал, что физическая Вселенная будет расширяться в одних направлениях и сжиматься в других, причем направления расширения и сжатия постоянно меняются. Поскольку потенциал примерно треугольный, Миснер предположил, что эволюция носит хаотический характер.

Метрика

Метрика, изученная Мизнером (очень немного измененная по сравнению с его обозначениями), имеет вид,

ds 2 = - dt 2 + ∑ k = 1 3 L k 2 (t) σ К ⊗ σ К {\ Displaystyle {\ text {d}} s ^ {2} = - {\ text {d}} t ^ {2} + \ sum _ {k = 1} ^ {3} {L_ {k} ^ {2} (t)} \ sigma _ {k} \ otimes \ sigma _ {k}}

\ text {d} s ^ 2 = - \ text {d} t ^ 2 + \ sum_ {k = 1} ^ 3 {L_k ^ 2 (t)} \ sigma_k \ otimes \ sigma_k

где

L k = R (t) e β k {\ displaystyle L_ {k} = R (t) e ^ {\ beta _ {k}}}

L_k = R (t) e ^ {\ beta_k}

и $σ k {\ displaystyle \ sigma _ {k}}$ $\ sigma _ {k}$ , рассматриваемые как дифференциальные формы, определяются как

σ 1 = грех ⁡ ψ d θ - соз ⁡ ψ sin ⁡ θ d ϕ {\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sin \ psi {\ text {d}} \ theta - \ соз \ psi \ sin \ theta {\ text {d}} \ phi}

\ sigma_1 = \ sin \ psi \ text {d} \ theta - \ cos \ psi \ sin \ theta \ text {d} \ phi

σ 2 = cos ⁡ ψ d θ + sin ⁡ ψ sin ⁡ θ d ϕ {\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ соз \ psi {\ text {d}} \ theta + \ sin \ psi \ sin \ theta {\ text {d}} \ phi}

\ sigma_2 = \ cos \ psi \ text {d} \ theta + \ sin \ psi \ sin \ theta \ text {d} \ phi

σ 3 = - d ψ - cos ⁡ θ d ϕ {\ displaystyle \ sigma _ {3} = - {\ text {d}} \ psi - \ cos \ theta {\ text {d}} \ phi}

\ sigma_3 = - \ text {d} \ psi - \ cos \ theta \ text {d} \ phi

В терминах координат $(θ, ψ, ϕ) { \ Displaystyle (\ theta, \ psi, \ phi)}$ $(\ theta, \ psi, \ phi)$ . Они удовлетворяют

d σ i = 1 2 ϵ ijk σ j ∧ σ k {\ displaystyle {\ text {d}} \ sigma _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {ijk } \ sigma _ {j} \ wedge \ sigma _ {k}}

\ text {d} \ sigma_i = \ frac {1} {2} \ epsilon_ {ijk} \ sigma_j \ wedge \ sigma_k

где $d {\ displaystyle {\ text {d}}}$ $\ text {d}$ - внешняя производная и $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ произведение клина дифференциальных форм. 1-формы $σ i {\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ образуют левоинвариантный ко-фрейм на группе Ли SU (2), который диффеоморфен сфере 3- $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ , поэтому пространственную метрику в модели Мизнера можно кратко описать как просто левоинвариантная метрика на 3-сфере; действительно, с точностью до присоединенного действия SU (2), это фактически общая левоинвариантная метрика. Поскольку метрика развивается с помощью уравнения Эйнштейна, геометрия этого $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ обычно искажается анизотропно. Миснер определяет параметры $Ω (t) {\ displaystyle \ Omega (t)}$ $\Omega(t)$ и $R (t) {\ displaystyle R (t)}$ $R(t)$ , которые измеряют объем пространственных срезов, а также «параметры формы» $β k {\ displaystyle \ beta _ {k}}$ $\ beta _ {k}$ , на

R (t) = e - Ω (t) = (L 1 (T) L 2 (T) L 3 (T)) 1/3, ∑ К знак равно 1 3 β К (T) = 0 {\ Displaystyle R (t) = е ^ {- \ Omega (t) } = (L_ {1} (t) L_ {2} (t) L_ {3} (t)) ^ {1/3}, \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ beta _ { k} (t) = 0}

R (t) = e ^ {- \ Omega (t)} = (L_1 (t) L_2 (t) L_3 (t)) ^ {1/3}, \ quad \ sum_ {k = 1} ^ 3 \ beta_k ( t) = 0

. Поскольку есть одно условие на трех $β k {\ displaystyle \ beta _ {k}}$ $\ beta _ {k}$ , должно быть только две свободные функции, которые Миснер выбирает $β ± {\ displaystyle \ beta _ {\ pm}}$ $\ beta_ \ pm$ , определяемый как

β + = β 1 + β 2 = - β 3, β - = β 1 - β 2 3 {\ displaystyle \ beta _ {+} = \ beta _ {1} + \ beta _ {2} = - \ beta _ {3}, \ quad \ beta _ {-} = {\ frac {\ beta _ {1} - \ beta _ {2}} {\ sqrt {3}}}}

\ beta_ + = \ beta_1 + \ beta_2 = - \ beta_3, \ quad \ beta_- = \ frac {\ beta_1 - \ beta_2} {\ sqrt {3}}

Затем для описания эволюции Вселенной находим $β ± {\ displaystyle \ beta _ {\ pm} }$ $\ beta_ \ pm$ как функции от $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ .

Приложения к космологии

Миснер надеялся, что хаос вспыхнет и сгладит раннюю Вселенную. Кроме того, в периоды, когда одно направление было статичным (например, переход от расширения к сжатию) формально горизонт Хаббла $H - 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}}$ $H ^ {{- 1}}$ в этом направлении бесконечно, что, как он предположил, означало, что проблема горизонта может быть решена. Поскольку направления расширения и сжатия менялись, по-видимому, при наличии достаточного времени проблема горизонта решалась бы во всех направлениях.

Хотя это интересный пример гравитационного хаоса, широко признано, что космологические проблемы, которые пытается решить вселенная Mixmaster, более элегантно решаются с помощью космической инфляции. Изученная Мизнером метрика также известна как метрика типа Бьянки IX.

См. Также

Ссылки

^Барри Р. Паркер, Хаос в космосе: потрясающая сложность Вселенной, Springer, 2013, с. 257.
^Чарльз В. Миснер, "Mixmaster Universe", Physical Review Letters, Vol. 22, выпуск 20 (май 1969 г.), стр. 1071-1074, doi : 10.1103 / PhysRevLett.22.1071, Bibcode : 1969PhRvL..22.1071 М. Зеркальная ссылка. Также доступно как запись в конкурсе эссе, проводимом Gravity Research Foundation в 1969 году. Зеркальная ссылка.