Смешанный тензор

редактировать

В тензорном анализе смешанный тензор тензор, который не является ни строго ковариантным, ни строго контравариантным ; по крайней мере один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным), и по крайней мере один из индексов будет верхним индексом (контравариантным).

Смешанный тензор типа или валентности $(MN) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ binom {M} {N}}}$ $\ scriptstyle {\ binom {M} {N} }$ , также обозначаемый как «тип (M, N)», с M>0 и N>0, представляет собой тензор, который имеет M контравариантных индексов и N ковариантных индексов. Такой тензор можно определить как линейную функцию, которая отображает (M + N) -набор из M одноформ и N векторов в скаляр.

Содержание

1 Изменение типа тензора
- 1.1 Примеры
2 См. также
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Изменение типа тензора

Учтите следующий октет связанных тензоров:

T α β γ, T α β γ, T α β γ, T α β γ, T α β γ, T α β γ, T α β γ, T α β γ { \ Displaystyle T _ {\ alpha \ beta \ gamma}, \ T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {\ beta \ gamma}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ { \ gamma}, \ T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {\ gamma}, \ T ^ {\ alpha \ beta \ gamma}}

T _ {{\ alpha \ beta \ gamma}}, \ T_ { {\ alpha \ beta}} {} ^ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {{\ beta \ гамма}}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {{\ beta \ gamma}}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ ga mma}, \ T ^ {{\ alpha \ beta}} {} _ {\ gamma}, \ T ^ {{\ alpha \ beta \ gamma}}

Первый - ковариантный, последний - контравариантный, а остальные смешанные. Условно эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью / контравариантностью своих индексов. Заданный контрвариантный индекс тензора можно понизить с помощью метрического тензора gμν, а данный ковариантный индекс можно поднять с помощью обратного метрического тензора g. Таким образом, g μν можно было бы назвать оператором понижения индекса, а g - оператором повышения индекса.

Как правило, ковариантный метрический тензор, сжатый с тензором типа (M, N), дает тензор типа (M - 1, N + 1), тогда как его контравариантный обратный, сжатый с тензором типа type (M, N), дает тензор типа (M + 1, N - 1).

Примеры

В качестве примера, смешанный тензор типа (1, 2) может быть получен путем повышения индекса ковариантного тензора типа (0, 3),

T α β λ знак равно T α β γ г γ λ {\ Displaystyle T _ {\ альфа \ бета} {} ^ {\ lambda} = T _ {\ alpha \ beta \ gamma} \, g ^ {\ gamma \ lambda}}

T_ {{\ alpha \ beta}} {} ^ {\ lambda} = T _ {{\ alpha \ beta \ gamma}} \, g ^ {{\ gamma \ lambda}}

где $T α β λ {\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ lambda}}$ $T _ {{\ alpha \ beta}} {} ^ {\ lambda}$ - тот же тензор, что и $T α β γ {\ displaystyle T_ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ gamma}}$ $T _ {{\ alpha \ beta}} {} ^ {\ gamma}$ , потому что

T α β λ δ λ γ = T α β γ {\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ lambda} \, \ delta _ {\ lambda} {} ^ {\ gamma} = T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ gamma}}

T _ {{\ alpha \ beta}} {} ^ {\ lambda} \, \ delta _ {\ lambda} {} ^ {\ gamma} = T _ {{\ alpha \ beta}} {} ^ {\ gamma}

с Кронекером δ, действующим здесь как единичная матрица.

Аналогичным образом

T α λ γ = T α β γ g β λ, {\ displaystyle T _ {\ alpha} {} ^ {\ lambda} {} _ {\ gamma} = T _ {\ альфа \ бета \ гамма} \, г ^ {\ бета \ лямбда},}

T _ {\ alpha} {} ^ {\ lambda} {} _ {\ gamma} = T _ {\ alpha \ beta \ gamma}} \, g ^ {{\ beta \ lambda}},

T α λ ϵ = T α β γ г β λ г γ ϵ, {\ Displaystyle T _ {\ alpha} {} ^ {\ лямбда \ epsilon} = T _ {\ alpha \ beta \ gamma} \, g ^ {\ beta \ lambda} \, g ^ {\ gamma \ epsilon},}

T _ {\ alpha} {} ^ {{\ lambda \ epsilon}} = T _ {{\ alpha \ beta \ gamma}} \, g ^ {{\ beta \ lambda}} \, g ^ {{\ gamma \ epsilon}},

T α β γ = g γ λ T α β λ, {\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {\ gamma} = g _ {\ gamma \ lambda} \, T ^ {\ alpha \ beta \ lambda},}

T ^ {{\ alpha \ beta} } {} _ {\ gamma} = g _ {{\ gamma \ lambda}} \, T ^ {{\ alpha \ beta \ lambda}},

T α λ ϵ = g λ β g ϵ γ T α β γ. {\ displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ {\ lambda \ epsilon} = g _ {\ lambda \ beta} \, g _ {\ epsilon \ gamma} \, T ^ {\ alpha \ beta \ gamma}.}

T ^ {\ alpha} {} _ {{\ lambda \ epsilon}} = g _ {{\ lambda \ beta}} \, g _ {{\ epsilon \ gamma}} \, T ^ {{\ alpha \ beta \ gamma}}.

Увеличение индекса метрического тензора эквивалентно сжатию его обратного, что дает дельту Кронекера,

g μ λ g λ ν = g μ ν = δ μ ν {\ displaystyle g ^ {\ mu \ lambda} \, g _ {\ lambda \ nu} = g ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = \ delta ^ {\ mu} {} _ {\ nu}}

g ^ {{\ mu \ лямбда}} \, g _ {{\ lambda \ nu}} = g ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = \ delta ^ {\ mu} {} _ {\ nu}

, поэтому любая смешанная версия метрический тензор будет равен дельте Кронекера, которая также будет смешанной.

См. Также

Ссылки

D.C. Кей (1988). Тензорное исчисление. Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США). ISBN 0-07-033484-6.
Wheeler, J.A.; Misner, C.; Торн, К. (1973). «§3.5 Работа с тензорами». Гравитация. W.H. Freeman Co., стр. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
R. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

Внешние ссылки

Index Gymnastics, Wolfram Alpha