Гипсометрическое уравнение

Гипсометрическое уравнение, также известное как уравнение толщины, относится к атмосферному давлению отношения к эквивалентной толщине слоя атмосферы с учетом слоем среднего значением виртуальной температуры, силы тяжести, а иногда и ветром. Он выводится из уравнения гидростатики и закона идеального газа.

• 1 Состав
• 2 Вывод
• 3 Коррекция
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Гипсометрическое уравнение выражается как:

${\ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}} {g}} \ cdot \ ln \ left ({\ frac {p_ { 1}} {p_ {2}}} \ right),}$

куда:

${\ displaystyle h}$ = толщина слоя [м],

${\ displaystyle z}$ = геометрическая высота [м],

${\ displaystyle R}$ = удельная газовая постоянная для сухого воздуха,

${\ displaystyle {\ overline {T_ {v}}}}$ = средняя виртуальная температура в кельвинах [K],

${\ displaystyle g}$ = ускорение свободного падения [м / с ² ],

${\ displaystyle p}$ = давление [ Па ].

В метеорологии, и являются изобарическими поверхности. В радиозонде наблюдения, Гипсометрическое уравнение может быть использовано для вычисления высоты уровня давления с учетом высоты уровня опорного давления и средней виртуальной температурой между ними. Затем, вновь вычисленная высота может быть использована в качестве нового опорного уровня для вычисления высоты следующего уровня с учетом средней виртуальной температурой между ними, и так далее. ${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$

Уравнение гидростатики:

${\ Displaystyle р = \ ро \ cdot g \ cdot z,}$

где - плотность [кг / м ³ ], используется для создания уравнения гидростатического равновесия, записанного в дифференциальной форме: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle dp = - \ rho \ cdot g \ cdot dz.}$

Это сочетается с законом идеального газа :

${\ Displaystyle п = \ ро \ cdot R \ cdot T_ {v}}$

устранить: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {-g} {R \ cdot T_ {v}}} \, \ mathrm {d} z.}$

Это интегрировано от к: ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} {\ frac {-g} {R \ cdot T_ {v}}} \, \ mathrm {d} z.}$

R и g постоянны с z, поэтому их можно вывести за пределы интеграла. Если температура изменяется линейно с z (например, при небольшом изменении z ), ее также можно вывести за пределы интеграла при замене на среднюю виртуальную температуру между и. ${\ displaystyle {\ overline {T_ {v}}}}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {-g} {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}}} \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} \, \ mathrm {d} z.}$

Интеграция дает

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p (z_ {2})} {p (z_ {1})}} \ right) = {\ frac {-g} {R \ cdot {\ overline {T_) {v}}}}} (z_ {2} -z_ {1}),}$

упрощая до

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ right) = {\ frac {g} {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}}}} (z_ {2} -z_ {1}).}$

Перестановка:

${\ displaystyle z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}} {g}} \ ln \ left ({\ frac {p_ {1}} { p_ {2}}} \ right),}$

или, исключив натуральный журнал:

${\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} = e ^ {{\ frac {g} {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}}}} \ cdot (z_ { 2} -z_ {1})}.}$

Эффект Этвёша можно учесть как поправку к гипсометрическому уравнению. Физически, используя систему отсчета, которая вращается вместе с Землей, воздушная масса, движущаяся на восток, фактически весит меньше, что соответствует увеличению толщины между уровнями давления, и наоборот. Следующее исправленное гипсометрическое уравнение:

${\ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}} {g (1 + A)}} \ cdot \ ln \ left ({ \ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ right),}$

где поправка, обусловленная эффектом Этвёша, A, может быть выражена следующим образом:

${\ displaystyle A = - {\ frac {1} {g}} (2 \ Omega {\ overline {u}} \ cos \ phi + {\ frac {{\ overline {u}} ^ {2} + {\ надчеркнуть {v}} ^ {2}} {r}}),}$

куда

${\ displaystyle \ Omega}$ = Скорость вращения Земли,

${\ displaystyle \ phi}$ = широта,

${\ displaystyle r}$ = расстояние от центра Земли до воздушной массы,

${\ displaystyle {\ overline {u}}}$ = средняя скорость в продольном направлении (восток-запад), и

${\ displaystyle {\ overline {v}}}$ = средняя скорость в широтном направлении (север-юг).

Эта поправка значительна для крупномасштабных тропических атмосферных движений.

• Барометрическая формула
• Изменение давления по вертикали