Барометрическая формула

редактировать

Формула, используемая для моделирования изменения давления воздуха в зависимости от высоты itude

барометрическая формула, иногда называемая экспоненциальной атмосферой или изотермической атмосферой, формула , используемая для моделирования того, как давление (или плотность ) воздуха изменяется с высотой. Давление падает примерно на 11,3 паскалей на метр в первые 1000 метров над уровнем моря.

Содержание

1 Уравнения давления
2 Уравнения плотности
3 Вычисление
4 См. Также
5 Ссылки

Уравнения давления

Давление воздуха p как функция высоты h (Барометрическая формула)

Есть два разных уравнения для вычисления давления при различных режимах высоты ниже 86 км (или 278 400 футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартной температуры градиент не равно нулю:

P = P b ⋅ [T b T b + L b ⋅ (h - hb)] g 0 ⋅ MR ∗ ⋅ L b {\ displaystyle {P} = P_ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b}))}} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}}}}

{P} = P_ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})}} \ right] ^ {{\ textstyle {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}}}}

Второе уравнение используется при превышении стандартной температуры ставка равна нулю:

P = P b ⋅ exp ⁡ [- g 0 ⋅ M ⋅ (h - hb) R ∗ ⋅ T b] {\ displaystyle P = P_ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]}

P = P_ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (чч _ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]

где:

P b { \ displaystyle P_ {b}}

P_ {b}

= эталонное давление (Pa )

T b {\ displaystyle T_ {b}}

T_ {b}

= эталонная температура (K )

L b {\ displaystyle L_ { b}}

L_ {b}

= градиент температуры (К / м) в ISA

h {\ displaystyle h}

h

= высота, на которой рассчитывается давление (м)

hb {\ displaystyle h_ {b}}

h_b

= высота контрольного уровня b (метры; например, h b = 11 000 м)

R ∗ {\ displaystyle R ^ {*}}

R ^ {*}

= шт. иверсальная газовая постоянная : 8,3144598 Дж / (моль · К)

g 0 {\ displaystyle g_ {0}}

g_ {0}

= ускорение свободного падения : 9,80665 м / с

M {\ displaystyle M}

M

= молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг / моль

Или преобразовано в имперские единицы :

, где

P b {\ displaystyle P_ {b}}

P_ {b}

= эталонное давление (дюймы ртутного столба, дюйм рт. ст. )

T b {\ displaystyle T_ {b}}

T_ {b}

= эталонная температура (K)

L b {\ displaystyle L_ {b} }

L_ {b}

= градиент температуры (К / фут) в ISA

h {\ displaystyle h}

h

= высота, на которой рассчитывается давление (футы)

hb {\ displaystyle h_ {b}}

h_b

= высота контрольного уровня b (футы; например, h b = 36089 футов)

R ∗ {\ displaystyle R ^ {*}}

R ^ {*}

= универсальная газовая постоянная ; с использованием футов, кельвинов и (СИ) моль : 8,9494596 × 10 фунт · фут / (фунт-моль · К · с)

г 0 {\ displaystyle g_ {0 }}

g_ {0}

= ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с

M {\ displaystyle M}

M

= молярная масса воздуха Земли: 28,9644 фунта / фунт-моль

Значение индекс b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. В этих уравнениях g 0, M и R каждая - однозначные константы, а P, L, T и h - многозначные константы в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M, g 0 и R, соответствуют США. Standard Atmosphere, 1976, и, в частности, значение R не согласуется со стандартными значениями этой постоянной. Эталонное значение для P b для b = 0 является определенным значением уровня моря, P 0 = 101 325 Па или 29,92126 дюймов рт. Ст. Значения P b из b = от 1 до b = 6 получают из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h b + 1.

Нижний индекс b	Высота над уровнем моря		Статическое давление		Стандартная температура. (K)	Интервал перепада температуры
Нижний индекс b	(м)	(фут)	(Па)	(дюйм рт. Ст.)	Стандартная температура. (K)	(К / м)	(К / фут)
0	0	0	101 325,00	29.92126	288,15	-0,0065	-0,0019812
1	11 000	36,089	22 632,10	6,683245	216,65	0,0	0,0
2	20 000	65,617	5474,89	1,616734	216,65	0,001	0,0003048
3	32 000	104,987	868,02	0,2563258	228,65	0,0028	0,00085344
4	47 000	154,199	110,91	0,0327506	270,65	0,0	0,0
5	51000	167,323	66,94	0,01976704	270,65	-0,0028	-0,00085344
6	71 000	232,940	3,96	0,00116833	214,65	-0,002	-0,0006096

Уравнения плотности

Выражения для расчета плотности почти идентичны выражениям для расчета давления. Единственное различие заключается в показателе степени в уравнении 1.

Существуют два разных уравнения для вычисления плотности при различных режимах высоты ниже 86 геометрических км (84 852 геопотенциал метров или 278 385,8 геопотенциальных футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартного градиента температуры не равно нулю; второе уравнение используется, когда стандартный градиент температуры равен нулю.

Уравнение 1:

ρ = ρ b ⋅ [T b T b + L b ⋅ (h - hb)] (1 + g 0 ⋅ MR ∗ ⋅ L b) {\ displaystyle {\ rho } = \ rho _ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})}} \ right] ^ {\ left (1 + {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}} \ right)}}

{\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})}} \ right] ^ {\ left (1 + {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}} \ right)}}

Уравнение 2:

ρ = ρ b ⋅ exp ⁡ [- g 0 ⋅ M ⋅ (час - hb) R ∗ ⋅ T b] {\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]}

{\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]

где

ρ {\ displaystyle {\ rho}}

{\ rho}

= массовая плотность (кг / м)

T b {\ displaystyle T_ {b}}

T_ {b}

= стандартная температура (K)

L {\ displaystyle L}

L

= стандартный градиент температуры (см. таблицу ниже) (К / м) в ISA

h {\ displaystyle h}

h

= высота над уровнем моря (геопотенциальные метры)

R ∗ {\ displaystyle R ^ {*}}

R ^ {*}

= универсальная газовая постоянная 8,3144598 Н · м / (моль · K)

g 0 {\ displaystyle g_ {0}}

g_ {0}

= ускорение свободного падения : 9,80665 м / с

M {\ displaystyle M}

M

= молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг / моль

или, преобразованный в английские гравитационные единицы фут-фунт-секунда:

ρ {\ displaystyle {\ rho}}

{\ rho}

= массовая плотность (снаряд / фут)

T b {\ displaystyle {T_ {b}}}

{\ displaystyle {T_ {b}}}

= стандартная температура (K)

L {\ displaystyle {L}}

{L}

= стандартная скорость падения температуры (K / фут)

h {\ displaystyle {h}}

{h}

= высота над уровнем моря (геопотенциальные футы)

R ∗ {\ displaystyle {R ^ {*}}}

{R ^ {* }}

= универсальная газовая постоянная: 8,9494596 × 10 фут / (с · K)

g 0 {\ displaystyle {g_ {0}}}

{g_ {0}}

= ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с

M {\ displaystyle {M}}

{M}

= молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг / моль

Значение индекса b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице. ниже. Опорное значение для р B при Ь = 0 является определенным значением уровня моря, ρ 0 = 1.2250 кг / м или 0,0023768908 пробковых / фута. Значения ρ b от b = 1 до b = 6 получены из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h b + 1.

В этих уравнениях, каждая g 0, M и R являются однозначными константами, а ρ, L, T и h являются многозначными константами в соответствии с приведенной ниже таблицей. Значения, используемые для M, g 0 и R, соответствуют США. Standard Atmosphere, 1976, и что значение R, в частности, не согласуется со стандартными значениями для этой константы.

Нижний индекс b	Высота над уровнем моря (h)		Массовая плотность ( $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ )		Стандартная температура (T '). (K)	Скорость снижения температуры (L)
Нижний индекс b	(м)	(фут)	(кг / м)	(снаряд / фут)	Стандартная температура (T '). (K)	(К / м)	(K / фут)
0	0	0	1,2250	2,3768908 x 10	288,15	-0,0065	-0,0019812
1	11000	36,089,24	0,36391	7,0611703 x 10	216,65	0,0	0,0
2	20 000	65,616,79	0,08803	1,7081572 x 10	216,65	0,001	0,0003048
3	32 000	104,986,87	0,01322	2,5660735 x 10	228,65	0,0028	0,00085344
4	47 000	154,199,48	0,00143	2,7698702 x 10	270,65	0,0	0,0
5	51000	167,322,83	0,00086	1,6717895 x 10	270,65	-0,0028	-0,00085344
6	71 000	232,939,63	0,000064	1,2458989 x 10	214,65	-0,002	-0,0006096

Вывод

Барометрическую формулу можно получить с помощью Закон идеального газа :

P = ρ M ⋅ R ∗ T {\ displaystyle P = {\ frac {\ rho} {M}} \ cdot {R ^ {*}} T}

{\ displaystyle P = {\ frac {\ rho} {M}} \ cdot {R ^ {*}} T}

Предполагая, что все давление гидростатический :

d P = - ρ gdz {\ displaystyle dP = - \ rho g \, dz \,}

dP = - \ rho g \, dz \,

и разделив $d P {\ displaystyle dP}$ $dP$ на выражение $P {\ displaystyle P}$ $P$ получаем:

d PP = - M gdz R ∗ T {\ displaystyle {\ frac {dP} {P}} = - {\ frac {Mg \, dz} {R ^ {*} T}}}

{\ frac {dP} {P}} = - {\ frac {Mg \, dz} {R ^ {*} T}}

Интегрируя это выражение от поверхности до высоты z, получаем:

P = P 0 e - ∫ 0 z M gdz / R ∗ T {\ displaystyle P = P_ {0} e ^ {- \ int _ {0} ^ {z} {Mgdz / R ^ {*} T}} \,}

P = P_ {0} e ^ {{- \ int _ {{0}} ^ {{z}} {Mgdz / R ^ {*} T}}} \,

Предполагая линейное изменение температуры $T = T 0 + L ⋅ Z {\ displaystyle T = T_ {0} + L \ cdot z}$ ${\ displaystyle T = T_ {0} + L \ cdot z}$ и постоянная молярная масса и гравитационное ускорение, w е получить первую барометрическую формулу:

P = P 0 ⋅ [T 0 T] M g R ∗ L {\ displaystyle P = P_ {0} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {0}} {T }} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {Mg} {R ^ {*} L}}}}

{\ displaystyle P = P_ {0} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {0}} {T}} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {Mg} {R ^ {*} L}}}}

Вместо этого, предполагая постоянную температуру, интегрирование дает вторую барометрическую формулу:

P = P 0 e - M gz / R ∗ T {\ displaystyle P = P_ {0} e ^ {- Mgz / R ^ {*} T} \,}

P = P_ {0} e ^ { {-Mgz / R ^ {*} T}} \,

В этой формулировке R - газовая постоянная, а член RT / Mg дает масштабную высоту (приблизительно равную 8,4 км для тропосферы ).

(Для получения точных результатов следует помнить, что атмосфера, содержащая воду, не ведет себя как идеальный газ. См. реальный газ или идеальный газ или газ для дальнейшего понимания.)

См. Также

Ссылки

^ Mechtly, EA, 1973: Международная система Единицы, физические константы и коэффициенты пересчета. НАСА SP-7012, вторая редакция, Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства, Вашингтон, округ Колумбия
^ США Standard Atmosphere, 1976, Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, 1976 г. (размер связанного файла 17 МБ)