Число делителя гармоник

В математике, число делителя гармоник или число руды (названный в честь Ойстейна Оре, который определил его в 1948 году), является положительным целым числом, делители которого имеют среднее гармоническое, которое является целым числом.. Первые несколько номеров делителей гармоник:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (последовательность A001599 в OEIS ).

• 1 Примеры
• 2 Факторизация среднего гармонического
• 3 Числа делителя гармоник и совершенные числа
• 4 Границы и компьютерный поиск
• 5 Ссылки

Например, у делителя гармоники номер 6 есть четыре делителя 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое значение является целым числом:

$4\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 6\; =\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\}\}\; =\; 2.\}$

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое значение:

$12\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 5\; +\; 1\; 7\; +\; 1\; 10\; +\; 1\; 14\; +\; 1\; 20\; +\; 1\; 28\; +\; 1\; 35\; +\; 1\; 70\; +\; 1\; 140\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{12\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{10\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{14\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{20\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{28\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{35\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{70\}\}\; +\; \{\backslash \; fra\; c\; \{1\}\; \{140\}\}\}\}\; =\; 5\}$

5 является целым числом, в результате чего 140 является числом гармонического делителя.

Среднее гармоническое H (n) делителей любого числа n может быть выражено формулой

$H\; (n)\; =\; n\; \sigma \; 0\; (n)\; \sigma \; 1\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (n)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; (n)\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; (n)\}\}\}$

где σ i (n) - это сумма i-й степени делителей числа n: σ 0 - количество делителей, а σ 1 - это сумма делителей (Cohen 1997). Все члены в этой формуле являются мультипликативными, но не полностью мультипликативными. Следовательно, гармоническое среднее H (n) также мультипликативно. Это означает, что для любого положительного целого числа n среднее гармоническое H (n) может быть выражено как произведение средних гармонических для простых степеней в факторизации числа n.

Например, у нас есть

$H\; (4)\; =\; 3\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 4\; =\; 12/7\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (4)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\; =\; 12/7\}$

$H\; (5)\; =\; 2\; 1\; +\; 1\; 5\; =\; 5/3,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (5)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\}\}\; =\; 5/3,\}$

$H\; (7)\; =\; 2\; 1\; +\; 1\; 7\; =\; 7/4,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (7)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\}\}\}\}\; =\; 7/4,\}$

и

$H\; (140)\; =\; H\; (4\; \cdot \; 5\; \cdot \; 7)\; знак\; равно\; ЧАС\; (4)\; \cdot \; ЧАС\; (5)\; \cdot \; ЧАС\; (7)\; знак\; равно\; 12\; 7\; \cdot \; 5\; 3\; \cdot \; 7\; 4\; =\; 5.\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; (140)\; =\; Н\; (4\; \backslash \; CDOT\; 5\; \backslash \; CDOT\; 7)\; =\; Н\; (\; 4)\; \backslash \; cdot\; H\; (5)\; \backslash \; cdot\; H\; (7)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{12\}\; \{7\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{4\}\}\; =\; 5.\}$

Для любого целого числа M, как заметил Оре, произведение гармоническое среднее и среднее арифметическое его делителей равно самому M, как видно из определений. Следовательно, M является гармоническим, с гармоническим средним делителей k, тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичной долей 1 / k.

Руд показал, что каждое совершенное число гармонично. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что сумма делителей совершенного числа M в точности равна 2M; следовательно, среднее значение делителей равно M (2 / τ (M)), где τ (M) обозначает число делителей числа M. Для любого M, τ (M) нечетно тогда и только если M является квадратным числом, иначе каждый делитель d числа M может быть спарен с другим делителем M / d. Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известной формы четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q, где α 1 (mod 4). Следовательно, для совершенного числа M τ (M) четно, а среднее значение делителей - это произведение M на единичную дробь 2 / τ (M); таким образом, M - число гармонического делителя.

Оре предположил, что не существует нечетных гармонических чисел-делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это означало бы отсутствие нечетных совершенных чисел.

W. Х. Миллс (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителей нечетных гармоник, превышающее 1, должно иметь коэффициент мощности более 10, а Коэн показал, что любое такое число должно иметь не менее трех различных простых множителей. Коэн и Сорли (2010) показали, что не существует чисел нечетных гармонических делителей меньше 10.

Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск, перечислив все малые гармонические делители. числа. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10 и всех чисел гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превышает 300.

• Математический портал

• Богомольный Александр. «Тождество средних значений делителей данного целого числа». Проверено 10 сентября 2006 г.
• Cohen, Graeme L. (1997). «Числа, положительные делители которых имеют малое интегральное гармоническое среднее» (PDF). Вычислительная математика. 66(218): 883–891. doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00819-3. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Cohen, Graeme L.; Sorli, Рональд М. (2010). «Нечетные числа гармоник превышают 10». Математика вычислений. 79 (272): 2451. doi : 10.1090 / S0025-5718-10-02337-9. ISSN 0025-5718. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Goto, Такеши. «Гармонические числа (Оре)». Проверено 10 сентября 2006 г.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Маскат, Джозеф Б. (1966). «О делителях нечетных совершенных чисел». Математика вычислений. 20 (93): 141–144. doi : 10.2307 / 2004277. JSTOR 2004277.
• Ore, Øystein (1948). «О средних значениях делителей числа». American Mathematical Monthly. 55(10): 615–619. doi : 10.2307 / 2305616. JSTOR 2305616.
• Weisstein, Eric W. «Число делителя гармоник». MathWorld.