производное по Адамару

редактировать

Производная Адамара представляет собой концепцию производной по направлению для карт между банаховыми пространствами. Он особенно подходит для приложений в стохастическом программировании и асимптотической статистике.

Содержание

1 Определение
2 Связь с другими производными
3 Приложения
4 Ссылки

Определение

Карта $ϕ: D → E {\ displaystyle \ phi: \, \ mathbb {D} \ to \ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle \ phi: \, \ mathbb {D} \ to \ mathbb {E}}$ между Банахом пробелы $D {\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $\ mathbb {D}$ и $E {\ displaystyle \ mathbb {E}}$ $\ mathbb {E}$ является дифференцируемым по направлению Адамара в $θ ∈ D {\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {D}}$ в направлении $h ∈ D {\ displaystyle h \ in \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle h \ in \ mathbb {D}}$ если существует карта $ϕ θ ′: D → E {\ displaystyle \ phi _ {\ theta} ': \, \ mathbb {D} \ to \ mathbb {E}}$ $\phi _{\theta }':\,\mathbb {D} \to \mathbb {E}$ такой, что $ϕ (θ + tnhn) - ϕ (θ) tn → ϕ θ ′ (h) {\ displaystyle {\ frac {\ phi (\ theta + t_ {n} h_ {n})) - \ phi (\ theta)} {t_ {n}}} \ to \ phi _ {\ theta} '(h)}$ ${\frac {\phi (\theta +t_{n}h_{n})-\phi (\theta)}{t_{n}}}\to \phi _{\theta }'(h)$ для всех последовательностей $hn → h {\ displaystyle h_ {n } \ to h}$ ${\ displaystyle h_ {n} \ to h}$ и $tn ↓ 0 {\ displaystyle t_ {n} \ d ownarrow 0}$ ${\ displaystyle t_ {n} \ downarrow 0}$ . Обратите внимание, что это определение не требует непрерывности или линейности производной по направлению $h {\ displaystyle h}$ $h$ . Хотя непрерывность автоматически следует из определения, линейность - нет.

Связь с другими производными

Если существует производная по направлению Адамара, то производная Гато также существует и две производные совпадают
Производная Адамара легко обобщается для карт между Хаусдорф топологические векторные пространства

Приложения

Версия функционального дельта-метода выполняется для дифференцируемых по направлениям карт Адамара. А именно, пусть $X n {\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ будет последовательностью случайных элементов в банаховом пространстве $D {\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $\ mathbb {D}$ (снабженный сигма-полем Бореля ) такое, что слабая сходимость $τ n (X n - μ) → Z {\ displaystyle \ tau _ {n} (X_ { n} - \ mu) \ to Z}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n} (X_ {n } - \ mu) \ к Z}$ выполняется для некоторой $μ ∈ D {\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {D}}$ , некоторой последовательности действительных чисел $τ N → ∞ {\ displaystyle \ tau _ {n} \ to \ infty}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n} \ to \ infty}$ и некоторый случайный элемент $Z ∈ D {\ displaystyle Z \ in \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle Z \ in \ mathbb {D}}$ со значениями, сосредоточенными в отделимом подмножестве $D {\ displaystyle \ mathbb {D}}$ $\ mathbb {D}$ . Тогда для измеримого отображения $ϕ: D → E {\ displaystyle \ phi: \ mathbb {D} \ to \ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {D} \ to \ mathbb {E}}$ , которое дифференцируемо по Адамару в точке $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ мы имеем $τ N (ϕ (X n) - ϕ (μ)) → ϕ μ ′ (Z) {\ displaystyle \ tau _ {n} (\ phi (X_ {n}) - \ phi (\ mu)) \ to \ phi _ {\ mu} '(Z)}$ $\tau _{n}(\phi (X_{n})-\phi (\mu))\to \phi _{\mu }'(Z)$ (где слабая сходимость относится к борелевскому сигма-полю на банаховом пространстве $E {\ displaystyle \ mathbb {E}}$ $\ mathbb {E}$ ).

Этот результат находит применение в оптимальных выводах для широкого диапазона эконометрических моделей, включая модели с частичной идентификацией и слабые инструменты.

Ссылки

^Шапиро, Александр (1990). «О понятиях дифференцируемости по направлениям». Журнал теории оптимизации и приложений. 66 (3): 477–487. CiteSeerX 10.1.1.298.9112. doi : 10.1007 / bf00940933.
^ Шапиро, Александр (1991). «Асимптотический анализ стохастических программ». Анналы исследований операций. 30 (1): 169–186. doi : 10.1007 / bf02204815.
^Фанг, Чжэн; Сантос, Андрес (2014). «Вывод о дифференцируемых по направлениям функциях». arXiv :1404.3763 [math.ST impression.