Асимптотическая теория (статистика)

редактировать
Исследование свойств сходимости статистических оценок

В статистике : асимптотическая теория, или теория больших выборок, представляет собой основу для оценки свойств оценщиков и статистических тестов. В рамках этой структуры часто предполагается, что размер выборки n может расти бесконечно; Затем свойства оценок и тестов оцениваются при n → ∞. На практике оценка предела считается приблизительно действительной и для больших конечных размеров выборки.

Содержание

  • 1 Обзор
  • 2 Режимы сходимости случайных величин
  • 3 Асимптотические свойства
    • 3.1 Оценщики
      • 3.1.1 Согласованность
      • 3.1.2 Асимптотическое распределение
      • 3.1.3 Асимптотические доверительные области
  • 4 Асимптотические теоремы
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Библиография

Обзор

Большинство статистических задач начинаются с набора данных размера n. Асимптотическая теория исходит из предположения, что можно (в принципе) продолжать сбор дополнительных данных, таким образом, что размер выборки увеличивается бесконечно, то есть n → ∞. При таком предположении можно получить множество результатов, недоступных для выборок конечного размера. Примером может служить слабый закон больших чисел. Закон гласит, что для последовательности независимых и одинаково распределенных (IID) случайных величин X1, X 2,…, если одно значение извлекается из каждой случайной величины и среднее значение первых n значений вычисляется как X n, затем X nсходятся по вероятности к среднему значению генеральной совокупности E [X i ] при n → ∞.

В асимптотической теории стандартный подход - n → ∞. Для некоторых статистических моделей могут использоваться несколько иные подходы к асимптотике. Например, с панельными данными обычно предполагается, что одно измерение в данных остается фиксированным, тогда как другое измерение растет: T = константа и N → ∞, или наоборот.

Помимо стандартного подхода к асимптотике, существуют другие альтернативные подходы:

  • В рамках локальной асимптотической нормальности предполагается, что значение «истинного параметра» в модели незначительно изменяется с n, так что n-я модель соответствует θ n = θ + h / √n. Этот подход позволяет нам изучить.
  • Когда статистические тесты изучаются на предмет их способности отличать альтернативы, близкие к нулевой гипотезе, это делается в рамках так называемых «локальных» Альтернативы »: нулевая гипотеза - H 0 : θ = θ 0, а альтернатива - H 1 : θ = θ 0 + h / √n. Этот подход особенно популярен для тестов единичного корня..
  • Существуют модели, в которых размерность пространства параметров Θ n медленно увеличивается с n, отражая тот факт, что чем больше наблюдений имеется, тем в модель можно включить больше структурных эффектов.
  • В оценке плотности ядра и регрессии ядра предполагается дополнительный параметр - полоса пропускания h. В этих моделях обычно считается, что h → 0 при n → ∞. Тем не менее, скорость сходимости следует выбирать осторожно, обычно h n.

Во многих случаях высокоточные результаты для конечных выборок могут быть получены с помощью численных методов (т. Е. Компьютеров); Однако даже в таких случаях может быть полезен асимптотический анализ. Этот момент был отмечен Смоллом (2010, §1.4) следующим образом.

Основная цель асимптотического анализа - получить более глубокое качественное понимание количественных инструментов. Выводы асимптотического анализа часто дополняют выводы, которые могут быть получены численными методами.

Режимы сходимости случайных величин

Асимптотические свойства

Оценки

Согласованность

Последовательность оценок называется согласованной, если она сходится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра:

θ ^ n → p θ 0. {\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {p}}} \ \ theta _ {0}.}{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {p}}} \ \ theta _ {0}.}

То есть, грубо говоря, с бесконечным количеством данных, оценщик (формула для генерации оценок) почти наверняка даст правильный результат для оцениваемого параметра.

Асимптотическое распределение

Если возможно найти последовательности неслучайные константы {a n }, {b n } (возможно, в зависимости от значения θ 0) и невырожденное распределение G, такое что

bn (θ ^ n - an) → d G, {\ displaystyle b_ {n} ({\ hat {\ theta}} _ {n} -a_ {n}) \ {\ xrightarrow {d}} \ G,}{\ displaystyle b_ {n} ({\ hat {\ theta}} _ {n} -a_ {n}) \ {\ xrightarrow {d}} \ G,}

, тогда говорят, что последовательность оценок θ ^ n {\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}{\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}} имеет асимптотическое распределение G.

Чаще всего встречающиеся на практике оценки являются асимптотически нормальными, то есть их асимптотическое распределение является нормальным распределением с n = θ 0, b n = √n и G = N (0, V) :

n (θ ^ n - θ 0) → d N (0, V). {\ displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ theta}} _ {n} - \ theta _ {0}) \ {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {N}} (0, V).}{\ displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ theta}} _ {n} - \ theta _ {0}) \ {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {N}} (0, V).}

Асимптотические доверительные области

Асимптотические теоремы

См. Также

Литература

Библиография

Последняя правка сделана 2021-06-13 02:25:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте