В статистике : асимптотическая теория, или теория больших выборок, представляет собой основу для оценки свойств оценщиков и статистических тестов. В рамках этой структуры часто предполагается, что размер выборки n может расти бесконечно; Затем свойства оценок и тестов оцениваются при n → ∞. На практике оценка предела считается приблизительно действительной и для больших конечных размеров выборки.
Большинство статистических задач начинаются с набора данных размера n. Асимптотическая теория исходит из предположения, что можно (в принципе) продолжать сбор дополнительных данных, таким образом, что размер выборки увеличивается бесконечно, то есть n → ∞. При таком предположении можно получить множество результатов, недоступных для выборок конечного размера. Примером может служить слабый закон больших чисел. Закон гласит, что для последовательности независимых и одинаково распределенных (IID) случайных величин X1, X 2,…, если одно значение извлекается из каждой случайной величины и среднее значение первых n значений вычисляется как X n, затем X nсходятся по вероятности к среднему значению генеральной совокупности E [X i ] при n → ∞.
В асимптотической теории стандартный подход - n → ∞. Для некоторых статистических моделей могут использоваться несколько иные подходы к асимптотике. Например, с панельными данными обычно предполагается, что одно измерение в данных остается фиксированным, тогда как другое измерение растет: T = константа и N → ∞, или наоборот.
Помимо стандартного подхода к асимптотике, существуют другие альтернативные подходы:
Во многих случаях высокоточные результаты для конечных выборок могут быть получены с помощью численных методов (т. Е. Компьютеров); Однако даже в таких случаях может быть полезен асимптотический анализ. Этот момент был отмечен Смоллом (2010, §1.4) следующим образом.
Основная цель асимптотического анализа - получить более глубокое качественное понимание количественных инструментов. Выводы асимптотического анализа часто дополняют выводы, которые могут быть получены численными методами.
Последовательность оценок называется согласованной, если она сходится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра:
То есть, грубо говоря, с бесконечным количеством данных, оценщик (формула для генерации оценок) почти наверняка даст правильный результат для оцениваемого параметра.
Если возможно найти последовательности неслучайные константы {a n }, {b n } (возможно, в зависимости от значения θ 0) и невырожденное распределение G, такое что
, тогда говорят, что последовательность оценок имеет асимптотическое распределение G.
Чаще всего встречающиеся на практике оценки являются асимптотически нормальными, то есть их асимптотическое распределение является нормальным распределением с n = θ 0, b n = √n и G = N (0, V) :