Дельта-метод

В статистике дельта-метод представляет собой результат, относящийся к приблизительному распределение для функции асимптотически нормальной статистической оценки на основе знания предельной дисперсии этой оценки.

• 1 История
• 2 Одномерный дельта-метод
  • 2.1 Доказательство в одномерном случае
    • 2.1.1 Доказательство с явным порядком аппроксимации
• 3 Многомерный дельта-метод
• 4 Пример : биномиальная пропорция
• 5 Альтернативная форма
• 6 Метод дельты второго порядка
• 7 См. также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Дельта-метод был получен из распространения ошибки, и идея, лежащая в его основе, была известна в начале 19 века. Его статистическое применение можно проследить еще в 1928 году Т. Л. Келли. Формальное описание метода было представлено Дж. Л. Дуб в 1935 году. Роберт Дорфман также описал его версию в 1938 году.

В то время как дельта-метод легко обобщается на многомерный постановке, осторожная мотивация техники легче продемонстрировать в однофакторных терминах. Грубо говоря, если существует последовательность случайных величин X n, удовлетворяющая

$n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; \to \; DN\; (0,\; \sigma \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\},\}$

где θ и σ - конечнозначные константы, а $\to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\}$обозначает сходимость в распределении, тогда

$n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; \to \; DN\; (0,\; \sigma \; 2\; \cdot \; [g\; \text{'}(\theta )]\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; [g\; \text{'}(\backslash \; theta)]\; ^\; \{2\})\}\}$

для любой функции g удовлетворяет тому свойству, что g ′ (θ) существует и имеет ненулевое значение.

Доказательство в одномерном случае

Демонстрация этого результата довольно проста в предположении, что g '(θ) непрерывно. Для начала мы используем теорему о среднем значении (то есть: приближение первого порядка ряда Тейлора с использованием теоремы Тейлора ):

$g\; (X\; n)\; знак\; равно\; г\; (\theta )\; +\; g\; \prime \; (\theta \; ~)\; (Икс\; N\; -\; \theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (X\_\; \{n\})\; =\; g\; (\backslash \; theta)\; +\; g\; \text{'}(\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\})\; (\; X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta),\}$

где $\theta \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\}\}$лежит между X n и θ. Обратите внимание, что, поскольку $X\; n\; \to \; P\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{P\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; theta\}$и , должно быть так, что $\theta \; ~\; \to \; P\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{P\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; theta\}$и поскольку g ′ (Θ) непрерывно, применение теоремы о непрерывном отображении дает

$g\; \prime \; (\theta \; ~)\; \to \; P\; g\; \prime \; (\theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}(\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{P\}\}\; \backslash ,\; g\; \text{'}(\backslash \; theta),\}$

где $\to \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{P\}\}\}$обозначает сходимость по вероятности.

Перестановка членов и умножение на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$дает

$n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; =\; g\; \prime \; (\theta \; ~)\; n\; [X\; n\; -\; \theta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; =\; g\; \text{'}\backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [\; X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta].\}$

Поскольку

$n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; \to \; DN\; (0,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\}$

по предположению из обращения к теореме Слуцкого сразу следует, что

$n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; \to \; DN\; (0,\; \sigma \; 2\; [g\; \text{'}(\theta )]\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; [\; g\; \text{'}(\backslash \; theta)]\; ^\; \{2\})\}.\}$

Это завершает доказательство.

Доказательство с явным порядком приближения

В качестве альтернативы можно добавить еще один шаг в конце, чтобы получить порядок приближения :

$n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; =\; g\; \prime \; (\theta \; ~)\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; =\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; [g\; \prime \; (\theta \; ~)\; +\; g\; \prime \; (\theta )\; -\; g\; \prime \; (\theta )]\; =\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; [g\; \prime \; (\theta )]\; +\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; [g\; \prime \; (\theta \; ~)\; -\; g\; \prime \; (\theta )]\; =\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; [g\; \prime \; (\theta )]\; +\; O\; п\; (1)\; \cdot \; op\; (1)\; знак\; равно\; N\; [X\; n\; -\; \theta ]\; [g\; \text{'}(\theta )]\; +\; op\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (\; X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; =\; g\; \text{'}\backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash \; left\; [g\; \text{'}(\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\})\; +\; g\text{'}\; (\backslash \; theta)\; -g\; \text{'}(\backslash \; theta)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash \; left\; [g\; \text{'}(\backslash \; theta)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash \; left\; [g\text{'}\; (\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; theta\}\})\; -\; g\; \text{'}(\backslash \; theta)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash \; left\; [g\text{'}\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right\; ]\; +\; O\_\; \{p\}\; (1)\; \backslash \; cdot\; o\_\; \{p\}\; (1)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; \backslash \; left\; [g\; \text{'}(\backslash \; theta)\; \backslash \; right]\; +\; o\_\; \{p\}\; (1)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это говорит о том, что ошибки аппроксимации сходятся s до 0 по вероятности.

По определению, согласованная оценка B сходится по вероятности к своему истинному значению β, и часто центральному предельная теорема может быть применена для получения асимптотической нормальности :

$n\; (B\; -\; \beta )\; \to \; DN\; (0,\; \Sigma ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (B-\; \backslash \; beta\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; N\; \backslash \; left\; (0,\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; right),\}$

где n - количество наблюдений, а Σ - ковариационная матрица (симметричная положительно полуопределенная). Предположим, мы хотим оценить дисперсию скалярной функции h оценки B. Сохраняя только первые два члена ряда Тейлора и используя векторные обозначения для градиента, мы можем оценить час (B) как

$час\; (B)\; \approx \; час\; (\beta )\; +\; \nabla \; час\; (\beta )\; T\; \cdot \; (B\; -\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (B)\; \backslash \; приблизительно\; h\; (\backslash \; beta)\; +\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; (B-\; \backslash \; beta)\}$

, что означает, что дисперсия h (B) приблизительно равна

$Var\; \; (h\; (B))\; \approx \; Var\; \; (h\; (\beta )\; +\; \nabla \; h\; (\beta )\; T\; \cdot \; (B\; -\; \beta ))\; =\; Var\; \; (h\; (\beta )\; +\; \nabla \; h\; (\beta )\; T\; \cdot \; B\; -\; \nabla \; h\; (\beta )\; T\; \cdot \; \beta )\; =\; Var\; \; (\nabla \; h\; (\beta )\; T\; \cdot \; B)\; знак\; равно\; \nabla \; час\; (\beta )\; T\; \cdot \; Cov\; \; (B)\; \cdot \; \nabla \; час\; (\beta )\; =\; \nabla \; час\; (\beta )\; T\; \cdot \; (\Sigma )\; \cdot \; \nabla \; час\; (\beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \backslash \; left\; (h\; (B)\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; OperatorName\; \{Var\}\; \backslash \; left\; (h\; (\backslash \; beta)\; +\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; (B-\; \backslash \; beta))\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \backslash \; left\; (h\; (\backslash \; beta)\; +\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; B-\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; beta\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; B\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; op\; eratorname\; \{Cov\}\; (B)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; Sigma)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Можно использовать теорему о среднем значении (для действительных функций многих переменных), чтобы увидеть, что это не зависит от приближения первого порядка.

Таким образом, дельта-метод подразумевает, что

$n\; (h\; (B)\; -\; h\; (\beta ))\; \to \; DN\; (0,\; \nabla \; h\; (\beta )\; T\; \cdot \; \Sigma \; \cdot \; \nabla \; h\; (\beta ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (h\; (B)\; -h\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; N\; \backslash \; left\; (0,\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; ^\; \{T\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; h\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; right)\}$

или в одномерном выражении

$n\; (h\; (B)\; -\; h\; (\beta ))\; \to \; DN\; (0,\; \sigma \; 2\; \cdot \; (\; h\; \prime \; (\beta ))\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (h\; (B)\; -h\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; N\; \backslash \; left\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (h\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (\backslash \; beta)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Предположим, что X n равно бином с параметрами $p\; \in \; (0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; (0,1]\}$и n. Поскольку

$n\; [X\; nn\; -\; p\; ]\; \to \; DN\; (0,\; p\; (1\; -\; p)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; -\; p\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; N\; (0,\; p\; (1-p))\},\}$

мы можем применить метод Delta с g (θ) = log (θ), чтобы увидеть

$n\; [log\; \; (\; Икс\; nn)\; -\; журнал\; \; (p)]\; \to \; DN\; (0,\; p\; (1\; -\; p)\; [1\; /\; p]\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; log\; (p)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{D\}\}\; \backslash ,\; N\; (0,\; p\; (1-p)\; [1\; /\; p]\; ^\; \{\; 2\})\}\}$

Следовательно, даже если для любого конечного n, дисперсия $log\; \; (X\; nn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}$фактически не существует (поскольку X n может быть нулевым), асимптотическая дисперсия $log\; \; (X\; nn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}$действительно существует и равен

$1\; -\; p\; n\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1-p\}\; \{np\}\}.\}$

Обратите внимание, что, поскольку p>0, $Pr\; (X\; nn>0)\; \to \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}>0\; \backslash \; right)\; \backslash \; rightarrow\; 1\}$как $n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$, поэтому с вероятностью сходящаяся к единице, $log\; \; (X\; nn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\_\; \{n\}\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}$конечно для больших n.

Кроме того, если $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$и $q\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{q\}\}\}$- оценки различных групповых показателей из независимых выборок размеров n и m соответственно, затем логарифм предполагаемого относительного риска $p\; ^\; q\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{q\}\}\}\}$имеет асимптотическую дисперсию, равную

$1\; -\; ppn\; +\; 1\; -\; qqm.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1-p\}\; \{p\; \backslash ,\; n\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1-q\}\; \{q\; \backslash ,\; m\}\}.\}$

Т Это полезно для построения проверки гипотез или для построения доверительного интервала для относительного риска.

Дельта-метод часто используется в форме, которая по существу идентична приведенной выше, но без предположения, что X n или B асимптотически нормальны. Часто единственным контекстом является то, что дисперсия «мала». Тогда результаты просто дают приближения к средним и ковариациям преобразованных величин. Например, формулы, представленные в Klein (1953, p. 258), следующие:

$Var ⁡ (hr) = ∑ i (∂ hr ∂ B i) 2 Var ⁡ (B i) + ∑ i ∑ j ≠ i ( ∂ hr ∂ B i) (∂ hr ∂ B j) Cov ⁡ (B i, B j) Cov ⁡ (hr, hs) = ∑ i (∂ hr ∂ B i) (∂ hs ∂ B i) Var ⁡ (B я) + ∑ я ∑ J ≠ я (∂ час ∂ B я) (∂ hs ∂ B j) Cov ⁡ (B i, B j) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Var} \ left (h_ {r} \ right) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial h_ {r}} {\ partial B_ {i}}} \ right) ^ {2} \ operatorname {Var} \ left (B_ {i} \ right) + \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} \ left ({\ frac {\ partial h_ {r}} {\ partial B_ {i}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial h_ {r}} {\ partial B_ {j}}} \ right) \ operatorname {Cov} \ left (B_ {i}, B_ {j} \ right) \\\ имя оператора {Cov} \ left (h_ {r}, h_ {s} \ right) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial h_ {r}} {\ partial B_ {i}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial h_ {s}} {\ partial B_ {i}}} \ right) \ operatorname {Var} \ left (B_ {i} \ right) + \ sum _ {i } \ sum _ {j \ neq i} \ left ({\ frac {\ partial h_ {r}} {\ partial B_ {i}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial h_ {s}} {\ partial B_ {j}}} \ right) \ operatorname {Cov} \ left (B_ {i}, B_ {j} \ right) \ end {align}}}$

где h r - это r-й элемент h (B) и B i - i-й элемент B.

Когда g '(θ) = 0, дельта-метод не может быть применен. Однако, если g ′ ′ (θ) существует и не равно нулю, можно применить дельта-метод второго порядка. По разложению Тейлора $n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; =\; 1\; 2\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; 2\; [g\; ″\; (\theta )]\; +\; op\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [g\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right]\; +\; o\_\; \{p\}\; (1)\}$, так что дисперсия $g\; (X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; left\; (X\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$до 4-го момента $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$.

Метод дельты второго порядка также полезен при проведении дополнительных точное приближение распределения $g\; (X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; left\; (X\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$при небольшом размере выборки. $n\; [g\; (X\; n)\; -\; g\; (\theta )]\; =\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; g\; \prime \; (\theta )\; +\; 1\; 2\; n\; [X\; n\; -\; \theta ]\; 2\; g\; ″\; (\theta )\; +\; op\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [g\; (X\_\; \{n\})\; -\; g\; (\backslash \; theta)]\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; g\; \text{'}(\backslash \; theta)\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; [X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; theta]\; ^\; \{2\}\; g\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\; +\; o\_\; \{p\}\; (1)\}$. Например, когда $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$следует стандартному нормальному распределению, $g\; (X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; left\; (X\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$можно аппроксимировать как взвешенную сумму стандартной нормали и хи-квадрат со степенью свободы 1.

• разложения Тейлора для моментов функции случайных величин
• Преобразование, стабилизирующее дисперсию

• Oehlert, GW (1992). «Примечание о методе дельты». Американский статистик. 46 (1): 27–29. doi : 10.1080 / 00031305.1992.10475842. JSTOR 2684406.
• Уолтер, Кирк М. (1985). «Методы серии Тейлора». Введение в оценку дисперсии. Нью-Йорк: Спрингер. С. 221–247. ISBN 0-387-96119-4.

• Asmussen, Søren (2005). «Некоторые приложения дельта-метода» (PDF). Конспект лекций. Орхусский университет.
• Фейвесон, Алан Х. «Объяснение дельта-метода». Stata Corp.
• Сюй, Цзюнь; Лонг, Дж. Скотт (22 августа 2005 г.). «Использование метода дельты для построения доверительных интервалов для прогнозируемых вероятностей, скоростей и дискретных изменений» (PDF). Конспект лекций. Университет Индианы.