Преобразование, стабилизирующее отклонение

В прикладной статистике преобразование стабилизации отклонения - это преобразование данных, которое специально выбрано n либо для упрощения рассмотрения графического исследовательского анализа данных, либо для обеспечения возможности применения простых методов на основе регрессии или дисперсионного анализа.

• 1 Обзор
  • 1.1 Пример: относительная дисперсия
  • 1.2 Пример: абсолютная плюс относительная дисперсия
• 2 Связь с дельта-методом
• 3 Ссылки

Цель выбора преобразования, стабилизирующего дисперсию, - найти простую функцию ƒ для применения к значениям x в наборе данных для создания новых значений y = ƒ (x), таких, что изменчивость значений y не связана с их средним значением. Например, предположим, что значения x являются реализациями из различных распределений Пуассона : то есть каждое из распределений имеет разные средние значения μ. Затем, поскольку для распределения Пуассона дисперсия идентична среднему, дисперсия зависит от среднего. Однако, если применить простое преобразование стабилизации дисперсии

$y\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash ,\}$

, дисперсия выборки, связанная с наблюдением, будет почти постоянной: см. Преобразование Анскомба для получения подробной информации и некоторых альтернативных преобразований.

Хотя преобразования, стабилизирующие дисперсию, хорошо известны для некоторых параметрических семейств распределений, таких как пуассоновское и биномиальное распределение, некоторые типы анализа данных проводятся более эмпирически: например, путем поиска среди преобразование мощности, чтобы найти подходящее фиксированное преобразование. В качестве альтернативы, если анализ данных предлагает функциональную форму отношения между дисперсией и средним значением, это можно использовать для вывода преобразования, стабилизирующего дисперсию. Таким образом, если для среднего μ

$var\; \; (X)\; =\; h\; (\mu ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X)\; =\; h\; (\backslash \; mu),\; \backslash ,\}$

подходящая основа для преобразование, стабилизирующее дисперсию, будет иметь вид

$y\; \propto \; \int \; x\; 1\; h\; (\mu )\; d\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; propto\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\; (\backslash \; mu)\}\}\; \}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu,\}$

где для удобства можно выбрать произвольную константу интегрирования и произвольный коэффициент масштабирования.

Пример: относительная дисперсия

Если X - положительная случайная величина, а дисперсия задана как h (μ) = sμ, то стандартное отклонение пропорционально среднему значению, которое называется фиксированным относительная ошибка. В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, имеет вид

$y\; =\; \int \; x\; d\; \mu \; s\; 2\; \mu \; 2\; =\; 1\; s\; ln\; \; (x)\; \propto \; log\; \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; ln\; (x)\; \backslash \; propto\; \backslash \; log\; (x)\; \backslash ,.\}$

То есть преобразование, стабилизирующее дисперсию, является логарифмическим преобразованием.

Пример: абсолютная плюс относительная дисперсия

Если дисперсия задана как h (μ) = σ + sμ, тогда в дисперсии преобладает фиксированная дисперсия σ, когда | μ | достаточно мала, и в ней преобладает относительная дисперсия sμ, когда | μ | достаточно большой. В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, имеет вид

$y\; =\; \int \; x\; d\; \mu \; \sigma \; 2\; +\; s\; 2\; \mu \; 2\; =\; 1\; s\; asinh\; \; x\; \sigma \; /\; s\; \propto \; asinh\; \; x\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{s\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{asinh\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sigma\; /\; s\}\}\; \backslash \; propto\; \backslash \; operatorname\; \{asinh\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,.\}$

То есть, преобразование, стабилизирующее дисперсию, представляет собой обратный гиперболический синус масштабированного значения x / λ для λ = σ / s.

Здесь дельта-метод представлен в грубой форме, но этого достаточно, чтобы увидеть взаимосвязь с преобразованиями, стабилизирующими дисперсию. Чтобы увидеть более формальный подход, см. дельта-метод.

. Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет случайной величиной с $E\; [X]\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X]\; =\; \backslash \; mu\}$и $Var\; \; (X)\; =\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$. Определите $Y\; =\; g\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; g\; (X)\}$, где $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- обычная функция. Приближение Тейлора первого порядка для $Y\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; g\; (x)\}$:

$Y\; =\; g\; (X)\; \approx \; g\; (\mu )\; +\; g\; \prime \; (\mu )\; (Икс\; -\; \mu )\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; =\; g\; (X)\; \backslash \; приблизительно\; g\; (\backslash \; mu)\; +\; g\; \text{'}(\backslash \; mu)\; (X-\; \backslash \; mu)\}$

Из приведенного выше уравнения получаем:

$E\; [Y]\; =\; g\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [Y]\; =\; g\; (\backslash \; mu)\}$и $Var\; \; [Y]\; =\; \sigma \; 2\; g\; \prime \; (\mu )\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Y]\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; g\; \text{'}(\backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}$

Этот метод аппроксимации называется дельта-методом.

Рассмотрим теперь случайную величину $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$такую, что $E\; [X]\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [X]\; =\; \backslash \; mu\}$и $Var\; \; [X]\; =\; h\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [X]\; =\; h\; (\backslash \; mu)\}$. Обратите внимание на связь между дисперсией и средним значением, которая подразумевает, например, гетероскедастичность в линейной модели. Следовательно, цель состоит в том, чтобы найти функцию $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$такую, что $Y\; =\; g\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; g\; (X)\}$имеет дисперсию, не зависящую (по крайней мере приблизительно) от ее ожидания.

Наложение условия $Var\; \; [Y]\; \approx \; h\; (\mu )\; g\; \text{'}(\mu )\; 2\; =\; константа\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Y]\; \backslash \; приблизительно\; h\; (\backslash \; mu)\; g\text{'}\; (\backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$, из этого равенства следует дифференциальное уравнение:

$dgd\; \mu \; =\; C\; h\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dg\; \}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\; (\backslash \; mu)\}\}\}\}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет путем разделения переменных следующее решение:

$g\; (\; \mu )\; знак\; равно\; \int \; C\; d\; \mu \; час\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{C\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\; (\backslash \; mu)\}\}\}\}$

Это последнее выражение впервые появилось в М. Статья С. Бартлетта.

1. ^Эверитт, Б.С. (2002). Кембриджский статистический словарь (2-е изд.). ЧАШКА. ISBN 0-521-81099-X.
2. ^Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов. ОУП. ISBN 0-19-920613-9.
3. ^Бартлетт, М.С. (1947). «Использование преобразований». Биометрия. 3 : 39–52. doi :10.2307/3001536.