Дружественный номер

редактировать

В теории чисел, дружественные числа два или более натуральные числа с общим индексом избыточностью, отношение между суммой делителей ряда и самого числа. Два числа с одинаковым «изобилием» образуют дружную пару ; n чисел с одинаковым «изобилием» образуют дружественный n -набор.

Дружественность друг к другу является отношением эквивалентности, и таким образом индуцирует разделение положительных натуральных чисел на клубы ( классы эквивалентности ) взаимно «дружественных чисел».

Число, не входящее ни в одну дружественную пару, называется одиночным.

Индекс «изобилия» числа n - это рациональное число σ ( n ) / n, в котором σ обозначает сумму функций делителей. Число n является «дружественным числом», если существует m ≠ n такое, что σ ( m ) / m = σ ( n ) / n. «Изобилие» - это не то же самое, что изобилие, которое определяется как σ ( n ) - 2 n.

«Изобилие» также может быть выражено как где обозначает функцию делителя, равную сумме k -й степени делителей числа n. ${\ Displaystyle \ sigma _ {- \! 1} (п)}$ $\ sigma _ {{- \! 1}} (п)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {k}}$ $\ sigma _ {k}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {к} (п)}$ $\ sigma _ {{k}} (п)$

Все числа от 1 до 5 одиночные. Наименьшее «дружественное число» - 6, образуя, например, «дружественную» пару 6 и 28 с «изобилием» σ (6) / 6 = (1 + 2 + 3 + 6) / 6 = 2, то же, что и σ (28) / 28 = (1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28) / 28 = 2. Совместное значение 2 в этом случае является целым числом, но не во многих других случаях. Числа с «изобилием» 2 также известны как совершенные числа. Есть несколько нерешенных проблем, связанных с «дружественными числами».

Несмотря на сходство в названии, нет никакой конкретной связи между дружественными числами и дружественными числами или общительными числами, хотя определения последних двух также включают функцию делителя.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Примеры
- 1.1 Статус для малых n
2 Одиночные числа
3 больших клуба
4 Асимптотическая плотность
5 Примечания
6 Ссылки

Примеры

В качестве другого примера, 30 и 140 образуют дружественную пару, потому что 30 и 140 имеют одинаковую «численность»:

{\ displaystyle {\ tfrac {\ sigma (30)} {30}} = {\ tfrac {1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30} {30}} = {\ tfrac {72} { 30}} = {\ tfrac {12} {5}}}

{\ tfrac {\ sigma (30)} {30}} = {\ tfrac {1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30} {30}} = {\ tfrac {72} {30}} = {\ tfrac {12} {5}}

{\ displaystyle {\ tfrac {\ sigma (140)} {140}} = {\ tfrac {1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 + 140} {140}} = {\ tfrac {336} {140}} = {\ tfrac {12} {5}}.}

{\ tfrac {\ sigma (140)} {140}} = {\ tfrac {1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 + 140} {140}} = {\ tfrac {336} {140}} = {\ tfrac {12} {5}}.

Числа 2480, 6200 и 40640 также являются членами этого клуба, так как каждое из них имеет «изобилие», равное 12/5.

В качестве примера дружественных нечетных чисел рассмотрим 135 и 819 («изобилие» 16/9). Также есть случаи, когда четное "дружелюбно" к нечетному, например 42 и 544635 ("изобилие" 16/7). Нечетный «друг» может быть меньше четного, как в 84729645 и 155315394 («изобилие» 896/351).

Площадь число может быть дружелюбным, например, как 693479556 (квадрат 26334) и 8640 имеет «избыточность» 127/36 (этот пример аккредитованный Дин Хикерсон).

Статус для малых n

Синие цифры являются доказанными дружественной (последовательность A074902 в OEIS ), темно - красных цифры являются доказанными одиночными (последовательность A095739 в OEIS ), число п такой, что п и являются взаимно простыми (последовательность A014567 в OEIS ) остаются черными, хотя они известны быть одиноким. Остальные номера имеют неизвестный статус и выделены желтым цветом. ${\ Displaystyle \ sigma (п)}$ $\ сигма (п)$


п	${\ Displaystyle \ sigma (п)}$ $\ сигма (п)$	${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$	п	${\ Displaystyle \ sigma (п)}$ $\ сигма (п)$	${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$	п	${\ Displaystyle \ sigma (п)}$ $\ сигма (п)$	${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$	п	${\ Displaystyle \ sigma (п)}$ $\ сигма (п)$	${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma (n)} {n}}}$
1	1	1	37	38	38/37	73	74	74/73	109	110	110/109
2	3	3/2	38	60	30/19	74	114	57/37	110	216	108/55
3	4	4/3	39	56	56/39	75	124	124/75	111	152	152/111
4	7	7/4	40	90	9/4	76	140	35/19	112	248	31/14
5	6	6/5	41 год	42	42/41	77	96	96/77	113	114	114/113
6	12	2	42	96	16/7	78	168	28/13	114	240	40/19
7	8	8/7	43 год	44 год	44/43	79	80	80/79	115	144	144/115
8	15	15/8	44 год	84	21/11	80	186	93/40	116	210	105/58
9	13	13/9	45	78	26/15	81 год	121	121/81	117	182	14/9
10	18	9/5	46	72	36/23	82	126	63/41	118	180	90/59
11	12	12/11	47	48	48/47	83	84	84/83	119	144	144/119
12	28 год	7/3	48	124	31 декабря	84	224	8/3	120	360	3
13	14	14/13	49	57	57/49	85	108	108/85	121	133	133/121
14	24	12/7	50	93	93/50	86	132	66/43	122	186	93/61
15	24	8/5	51	72	24/17	87	120	40/29	123	168	56/41
16	31 год	31/16	52	98	49/26	88	180	45/22	124	224	56/31
17	18	18/17	53	54	54/53	89	90	90/89	125	156	156/125
18	39	13/6	54	120	20/9	90	234	13/5	126	312	52/21
19	20	20/19	55	72	72/55	91	112	16/13	127	128	128/127
20	42	21/10	56	120	15/7	92	168	42/23	128	255	255/128
21 год	32	32/21	57	80	80/57	93	128	128/93	129	176	176/129
22	36	18/11	58	90	45/29	94	144	72/47	130	252	126/65
23	24	24/23	59	60	60/59	95	120	24/19	131	132	132/131
24	60	5/2	60	168	14/5	96	252	21/8	132	336	28/11
25	31 год	31/25	61 год	62	62/61	97	98	98/97	133	160	160/133
26	42	21/13	62	96	48/31	98	171	171/98	134	204	102/67
27	40	40/27	63	104	104/63	99	156	52/33	135	240	16/9
28 год	56	2	64	127	127/64	100	217	217/100	136	270	135/68
29	30	30/29	65	84	84/65	101	102	102/101	137	138	138/137
30	72	12/5	66	144	24/11	102	216	36/17	138	288	48/23
31 год	32	32/31	67	68	68/67	103	104	104/103	139	140	140/139
32	63	63/32	68	126	63/34	104	210	105/52	140	336	12/5
33	48	16/11	69	96	32/23	105	192	64/35	141	192	64/47
34	54	27/17	70	144	72/35	106	162	81/53	142	216	108/71
35 год	48	48/35	71	72	72/71	107	108	108/107	143	168	168/143
36	91	91/36	72	195	65/24	108	280	70/27	144	403	403/144

Одиночные числа

Номер, принадлежащий единственному клубу, потому что никакой другой номер не «дружит» с ним, является одиночным номером. Известно, что все простые числа являются уединенными, как и степени простых чисел. В более общем смысле, если числа n и σ ( n ) взаимно просты, что означает, что наибольший общий делитель этих чисел равен 1, так что σ ( n ) / n является несократимой дробью, то число n является одиночным (последовательность A014567 в OEIS ). Для простого числа p имеем σ ( p ) = p + 1, которое взаимно просто с p.

Неизвестно ни одного общего метода определения того, является ли число «дружественным» или одиноким. Наименьшее число, классификация которого неизвестна, - 10; предполагается, что он одинокий. Если нет, то по крайней мере его самый маленький друг. Небольшие числа с относительно большим наименьшим другом действительно существуют: например, число 24 является «дружелюбным», а его наименьший друг - 91 963 648. ${\ displaystyle 10 ^ {30}}$ $10 ^ {{30}}$

Большие клубы

Существуют ли бесконечно большие клубы взаимно «дружеских» чисел - вопрос открытый. В Совершенные числа образуют клуб, и есть предположение, что существует бесконечное множество совершенных чисел (по крайней мере, столько, сколько простых чисел Мерсенна ), но никаких доказательств не известно. По состоянию на декабрь 2018 года известно 51 совершенное число, наибольшее из которых имеет более 49 миллионов цифр в десятичной системе счисления. Есть клубы с более известными членами: в частности, те, которые образованы умножением совершенных чисел, которые представляют собой числа, «изобилие» которых является целым числом. По состоянию на начало 2013 года клуб «дружеских» номеров с «обилием» равным 9 насчитывает 2094 известных члена. Хотя некоторые из них, как известно, довольно большие, клубы кратно совершенных чисел (за исключением самих совершенных чисел) предполагаются конечными.

Асимптотическая плотность

Каждая пара a, b дружественных чисел дает положительную долю всех дружественных натуральных чисел (но в разных клубах), если рассматривать пары na, nb для множителей n с gcd ( n, ab ) = 1. Например, "примитивная" дружественная пара 6 и 28 порождает дружественные пары 6 n и 28 n для всех n, которые конгруэнтны 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 или 41 по модулю 42.

Это показывает, что естественная плотность дружественных чисел (если она существует) положительна.

Андерсон и Хикерсон предположили, что плотность фактически должна быть 1 (или, что то же самое, плотность одиночных чисел должна быть 0). Согласно статье MathWorld об одиночном числе (см. Раздел «Ссылки» ниже), эта гипотеза не была решена, хотя Померанс подумал, что в какой-то момент он ее опроверг.

Заметки

^ ^а ^б Джемра, Джейсон. «10 одиночных проверок». Github / CemraJC / Солидарность.
^ ^a ^b "Последовательность OEIS A074902". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Проверено 10 июля 2020.
^ Фламменкамп, Ахим. "Страница умножения совершенных чисел". Проверено 20 апреля 2008.
^ ^a ^b Андерсон, CW; Хикерсон, декан; Гриннинг, MG (1977). «6020». Американский математический ежемесячник. 84 (1): 65–66. DOI : 10.2307 / 2318325. JSTOR 2318325.

Рекомендации