Последовательность Эйлера

редактировать

В математике последовательность Эйлера представляет собой конкретную точную последовательность из пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Он показывает, что пучок относительных дифференциалов стабильно изоморфен (n + 1) -кратной сумме двойственной к скручивающему пучку Серра .

Последовательность Эйлера обобщается на проективное расслоение , а также на расслоение Грассмана (см. последнюю статью для этого обобщения.)

Содержание

1 Утверждение
2 Геометрическая интерпретация
3 Каноническое линейное расслоение проективных пространств
4 Классы Черна
5 Примечания
6 Ссылки

Утверждение

Для кольца A существует точная последовательность пучков

0 → Ω PA n / A 1 → OPA n (- 1) ⊕ n + 1 → OPA n → 0. {\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {\ mathbb {P} _ {A} ^ {n} / A} ^ {1} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} _ {A} ^ {n}} (- 1) ^ {\ oplus n + 1} \ to {\ mathcal { O}} _ {\ mathbb {P} _ {A} ^ {n}} \ to 0.}

0 \ to \ Omega _ {{{\ mathbb P} _ {A} ^ {n} / A}} ^ {1} \ to {\ mathcal {O}} _ {{{\ mathbb {P}} _ {A} ^ {n}}} (- 1) ^ {{\ oplus n + 1}} \ to {\ mathcal {O}} _ { {{\ mathbb {P}} _ {A} ^ {n}}} \ до 0.

Это можно доказать, определив гомоморфизм $S (- 1) ⊕ n + 1 → S, ei ↦ xi {\ displaystyle S (-1) ^ {\ oplus n + 1} \ к S, e_ {i} \ mapsto x_ {i}}$ $S (-1) ^ {{\ oplus n + 1}} \ на S, e_ {i} \ mapsto x_ {i}$ с $S = A [x 0,…, Xn] {\ displaystyle S = A [x_ {0}, \ ldo ts, x_ {n}]}$ $S = A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]$ и $ei = 1 {\ displaystyle e_ {i} = 1}$ $e_ {i} = 1$ в степени 1, сюръективно в градусах $≥ 1 { \ displaystyle \ geq 1}$ $\ geq 1$ и проверка того, что локально на стандартных диаграммах n + 1 ядро изоморфно относительному дифференциальному модулю.

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что A - поле k.

Точная последовательность выше эквивалентна последовательности

0 → OP n → O (1) ⊕ (n + 1) → TP n → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ to {\ mathcal {T}} _ { \ mathbb {P} ^ {n}} \ to 0}

0 \ to {\ mathcal O} _ {{{\ mathbb P} ^ {{n }}}} \ to {\ mathcal O} (1) ^ {{\ oplus (n + 1)}} \ to {\ mathcal T} _ {{{\ mathbb P} ^ {n}}} \ to 0

, где последний ненулевой член - это касательный пучок.

. Мы рассматриваем V как n + 1-мерное векторное пространство над k, и объясните точную последовательность

0 → OP (V) → OP (V) (1) ⊗ V → TP (V) → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb { P} (V)} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} (V)} (1) \ otimes V \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} (V)} \ to 0}

0 \ на {\ mathcal O} _ {{{\ mathbb P} (V)}} \ to {\ mathcal O} _ {{{\ mathbb P} (V)}} (1) \ otimes V \ to {\ mathcal T} _ {{{\ mathbb P} (V)}} \ to 0

Эту последовательность легче всего понять, если интерпретировать центральный член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательный участок этого пучка, тавтологически определяемый путем сопоставления точке векторного пространства тождественно связанной касательной вектор (т.е. сама: это карта идентичности, рассматриваемая как векторное поле).

Это векторное поле является радиальным в том смысле, что оно равномерно обращается в нуль на 0-однородных функциях, то есть на функциях, которые инвариантны при гомотетическом изменении масштаба или «не зависят от радиальной координаты».

Функция (определенная на некотором открытом наборе) на $P (V) {\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ mathbb P} (V)$ вызывает возврат к 0 -однородная функция на V (снова частично определенная). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая векторное поле Эйлера на такие функции. Это определение первого отображения, и его инъективность очевидна.

Вторая карта связана с понятием деривации, эквивалентным векторному полю. Напомним, что векторное поле на открытом множестве U проективного пространства $P (V) {\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ mathbb P} (V)$ можно определить как вывод функций, определенных на это открытый набор. Сложенный назад в V, это эквивалентно выводу на прообраз U, который сохраняет 0-однородные функции. Таким образом может быть получено любое векторное поле на $P (V) {\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$ ${\ mathbb P} (V)$ , и дефект инъективности этого отображения состоит именно из радиальных векторных полей.

Таким образом, мы видим, что ядро второго морфизма отождествляется с диапазоном первого.

Каноническое линейное расслоение проективных пространств

Взяв наивысшую внешнюю степень, можно увидеть, что канонический пучок проективного пробел задается как

$ω PA n / A = OPA n (- (n + 1)) {\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} _ {A} ^ {n} / A} = {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} _ {A} ^ {n}} (- (n + 1))}$ $\ omega _ {{{\ mathbb {P }} _ {A} ^ {n} / A}} = {\ mathcal {O}} _ {{{\ mathbb {P}} _ {A} ^ {n}}} (- (n + 1))$ .

В частности, проективные пространства - это многообразия Фано, поскольку каноническое расслоение является анти- обильным, и это линейное расслоение не имеет ненулевых глобальных секций, поэтому геометрический род равен 0. Это можно найти, посмотрев на последовательность Эйлера и вставив его в формулу определителя

$det (E) = det (E ′) ⊗ det (E ″) {\ displaystyle {\ text {det}} ({\ mathcal {E}}) = {\ text {det }} ({\ mathcal {E}} ') \ otimes {\ text {det}} ({\ mathcal {E}}' ')}$ ${\text{det}}({\mathcal {E}})={\text{det}}({\mathcal {E}}')\otimes {\text{det}}({\mathcal {E}}'')$

для любой короткой точной последовательности вида $0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '\ to {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}}' '\ to 0}$ $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$ .

Черн Классы

Можно использовать последовательность Эйлера. d для вычисления классов Черна проективного пространства. Напомним, что дана короткая точная последовательность когерентных пучков

$0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '\ to {\ mathcal {E}} \ to { \ mathcal {E}} '' \ to 0}$ $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$

мы можем вычислить общий класс черна $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ с помощью формулы $c (E) знак равно c (E ′) ⋅ c (E ″) {\ displaystyle c ({\ mathcal {E}}) = c ({\ mathcal {E}} ') \ cdot c ({\ mathcal {E }} '')}$ $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$ . Например, в $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\ mathbb { P} ^ {2}$ мы находим

$c (Ω P 2 1) = c (O (- 1) ⊕ ( 2 + 1)) c (O) = (1 - [H]) 3 = 1-3 [H] + 3 [H] 2 - [H] 3 = 1-3 [H] + 3 [H] 2 { \ Displaystyle {\ begin {align} c (\ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {2}} ^ {1}) = {\ frac {c ({\ mathcal {O}} (- 1) ^ { \ oplus (2 + 1)})} {c ({\ mathcal {O}})}} \\ = (1- [H]) ^ {3} \\ = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} - [H] ^ {3} \\ = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} c (\ Omega _ {\ mathbb { P} ^ {2}} ^ {1}) = {\ frac {c ({\ mathcal {O}} (- 1) ^ {\ oplus (2 + 1)})} {c ({\ mathcal { O}})}} \\ = (1- [H]) ^ {3} \\ = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} - [H] ^ {3} \\ = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} \ end {align}}}$

где $[H ] {\ displaystyle [H]}$ ${\ displaystyle [H]}$ представляет класс гиперплоскости в кольце для еды $A ∙ (P 2) {\ displaystyle A ^ {\ bullet} (\ mathbb {P} ^ {2})}$ ${\ displaystyle A ^ {\ пуля} (\ mathbb {P} ^ {2})}$ . Используя точную последовательность

$0 → Ω 2 → O (- 2) ⊕ 3 → Ω 1 → 0 {\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {2} \ to {\ mathcal {O}} (- 2) ^ {\ oplus 3} \ to \ Omega ^ {1} \ to 0}$ ${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {2} \ to {\ mathcal {O}} ( -2) ^ {\ oplus 3} \ to \ Omega ^ {1} \ to 0}$

мы снова можем использовать формулу общего класса Черна, чтобы найти

$c (Ω 2) = c (O (- 2) ⊕ 3) с (Ом 1) знак равно (1-2 [ЧАС]) 3 1-3 [ЧАС] + 3 [ЧАС] 2 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} с (\ Omega ^ {2}) = {\ frac {c ({\ mathcal {O}} (- 2) ^ {\ oplus 3})} {c (\ Omega ^ {1})}} \\ = {\ frac {(1-2 [H]) ^ {3}} {1-3 [H] +3 [H] ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} c (\ Omega ^ {2}) = { \ frac {c ({\ mathcal {O}} (- 2) ^ {\ oplus 3})} {c (\ Omega ^ {1})}} \\ = {\ frac {(1-2 [H ]) ^ {3}} {1-3 [H] +3 [H] ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}$

так как нам нужно инвертировать многочлен в знаменателе, это эквивалентно нахождение степенного ряда $a ([H]) = a 0 + a 1 [H] + a 2 [H] 2 + a 3 [H] 3 + ⋯ {\ displaystyle a ([H]) = a_ { 0} + a_ {1} [H] + a_ {2} [H] ^ {2} + a_ {3} [H] ^ {3} + \ cdots}$ ${\ di splaystyle a ([H]) = a_ {0} + a_ {1} [H] + a_ {2} [H] ^ {2} + a_ {3} [H] ^ {3} + \ cdots}$ такие, что $a ([H]) c (Ω 1) = 1 {\ displaystyle a ([H]) c (\ Omega ^ {1}) = 1}$ ${\ displaystyle a ([H]) c (\ Omega ^ {1}) = 1}$ .

Примечания

^Теорема II.8.13 в Hartshorne 1977
^Вакил, Рави. Восходящее море (PDF). 386. Архивировано из оригинального (PDF) 30.11.2019. CS1 maint: location (ссылка )
^«3264 и все такое» (PDF). стр. 169.
^Обратите внимание, что $[H] 3 = 0 {\ displaystyle [H] ^ {3} = 0}$ ${\ displaystyle [H] ^ {3} = 0}$ в столовой по соображениям измерения размера.
^Арапура, Дону. «Вычисление некоторых чисел Ходжа» (PDF). Архивировано (PDF) из оригинала 1 февраля 2020 года.

Ссылки

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3