Эллиптическая координата система

редактировать

Эллиптическая система координат

В геометрии эллиптическая система координат является двумерной ортогональная система координат, в которой координатные линии являются конфокальными эллипсами и гиперболами. Два foci $F 1 {\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ и $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ обычно принято фиксировать на $- a {\ displaystyle -a}$ $-a$ и $+ a {\ displaystyle + a}$ $+ a$ , соответственно, на $x { \ displaystyle x}$ $x$ - ось декартовой системы координат.

Содержание

1 Базовое определение
- 1.1 Масштабные коэффициенты
2 Альтернативное определение
- 2.1 Альтернативные масштабные коэффициенты
3 Экстраполяция в более высокие измерения
4 Приложения
5 См. Также
6 Ссылки

Базовое определение

Наиболее распространенное определение эллиптических координат $(μ, ν) { \ displaystyle (\ mu, \ nu)}$ $(\ mu, \ nu)$ is

x = a cosh ⁡ μ cos ⁡ ν {\ displaystyle x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu}

x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu

y = a sinh ⁡ μ sin ⁡ ν {\ displaystyle y = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu}

y = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu

где $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - неотрицательное действительное число и $ν ∈ [0, 2 π]. {\ displaystyle \ nu \ in [0,2 \ pi].}$ $\ nu \ in [0, 2 \ pi].$

На комплексной плоскости эквивалентное соотношение:

x + iy = a cosh ⁡ (μ + i ν) {\ displaystyle x + iy = a \ \ cosh (\ mu + i \ nu)}

x + iy = a \ \ ch (\ mu + i \ nu)

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

x 2 a 2 cosh 2 ⁡ μ + y 2 a 2 sinh 2 ⁡ μ = cos 2 ⁡ ν + sin 2 ⁡ ν = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sinh ^ {2} \ mu}} = \ cos ^ {2} \ nu + \ sin ^ {2} \ nu = 1}

\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu} + \ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sinh ^ { 2} \ mu} = \ cos ^ {2} \ nu + \ sin ^ {2} \ nu = 1

показывает, что кривые постоянной $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ образуют эллипсы, тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

x 2 a 2 cos 2 ⁡ ν - y 2 a 2 sin 2 ⁡ ν = cosh 2 ⁡ μ - sinh 2 ⁡ μ = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2 } \ cos ^ {2} \ nu}} - {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sin ^ {2} \ nu}} = \ cosh ^ {2} \ mu - \ sinh ^ {2} \ mu = 1}

\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ nu} - \ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sin ^ {2} \ nu} = \ cosh ^ {2} \ mu - \ sinh ^ {2} \ mu = 1

показывает, что кривые постоянной $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ образуют гиперболы.

масштабные коэффициенты

в В ортогональной системе координат длины базисных векторов известны как масштабные коэффициенты. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат $(μ, ν) {\ displaystyle (\ mu, \ nu)}$ $(\ mu, \ nu)$ равны

h μ = h ν = a sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν = а cosh 2 ⁡ μ - cos 2 ⁡ ν. {\ displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}} = a {\ sqrt {\ cosh ^ {2 } \ mu - \ cos ^ {2} \ nu}}.}

h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a \ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu} = a \ sqrt {\ cosh ^ {2} \ mu - \ cos ^ {2} \ nu}.

Используя тождества с двойным аргументом для гиперболических функций и тригонометрических функций, можно эквивалентным образом выразить масштабные коэффициенты как

h μ = h ν = a 1 2 (ch ⁡ 2 μ - cos ⁡ 2 ν). {\ displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} (\ cosh 2 \ mu - \ cos 2 \ nu)}}.}

{\ displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} (\ cosh 2 \ mu - \ cos 2 \ nu)}}.}

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

d A = h μ h ν d μ d ν = a 2 (sh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν) d μ d ν = a 2 (ch 2 ⁡ μ - cos 2 ⁡ ν) d μ d ν знак равно a 2 2 (cosh ⁡ 2 μ - соз ⁡ 2 ν) d μ d ν {\ displaystyle dA = h _ {\ mu} h _ {\ nu} d \ mu d \ nu = a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu = a ^ {2} \ left (\ cosh ^ {2} \ mu - \ cos ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ cosh 2 \ mu - \ cos 2 \ nu \ right) d \ mu d \ nu}

dA = h _ {\ mu} h _ {\ nu} d \ mu d \ nu = a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu = a ^ {2} \ left (\ cosh ^ { 2} \ mu - \ cos ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu = \ frac {a ^ {2}} {2} \ left (\ cosh 2 \ mu - \ cos 2 \ nu \ справа) d \ mu d \ nu

, а лапласиан имеет вид

∇ 2 Φ = 1 a 2 (sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν) (∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2) = 1 a 2 (cosh 2 ⁡ μ - cos 2 ⁡ ν) (∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2) = 2 a 2 (cosh ⁡ 2 μ - cos ⁡ 2 ν) (∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2). {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)}} \ слева ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}} } \ right) = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ cosh ^ {2} \ mu - \ cos ^ {2} \ nu \ right)}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}}} \ right) = {\ frac {2} {a ^ {2} \ left (\ ch 2 \ mu - \ cos 2 \ nu \ right)}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}}} \ right).}

\ nabla ^ {2} \ Phi = \ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)} \ left (\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ { 2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}} \ right) = \ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ cosh ^ {2} \ mu - \ cos ^ {2} \ nu \ right)} \ left (\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}} \ right) = \ frac {2} {a ^ {2} \ left (\ ch 2 \ mu - \ cos 2 \ nu \ right)} \ left (\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ mu ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ nu ^ {2}} \ right).

Другие дифференциальные операторы, такие как $∇ ⋅ F {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {F}$ и $∇ × F {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$ $\ nabla \ times \ mathbf {F}$ может быть выражено в координаты $(μ, ν) {\ displaystyle (\ mu, \ nu)}$ $(\ mu, \ nu)$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах.

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивный набор эллиптических координат $(σ, τ) {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}$ $(\ sigma, \ tau)$ иногда используются, где $σ = cosh ⁡ μ {\ displaystyle \ sigma = \ cosh \ mu}$ $\ sigma = \ ch \ mu$ и $τ = соз ⁡ ν {\ displaystyle \ tau = \ cos \ nu}$ $\ tau = \ cos \ nu$ . Следовательно, кривые константы $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ представляют собой эллипсы, а кривые константы $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - гиперболы. Координата $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ должна принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как координата $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ должна быть больше или равно единице.

Координаты $(σ, τ) {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}$ $(\ sigma, \ tau)$ имеют простое отношение к расстояниям до фокусов $F 1 {\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ и $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ . Для любой точки на плоскости сумма $d 1 + d 2 {\ displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ $d_{1}+d_{2}$ расстояний до фокусов равна $2 a σ { \ displaystyle 2a \ sigma}$ $2a\sigma$ , а их разница $d 1 - d 2 {\ displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ $d_{1}-d_{2}$ равна $2 a τ {\ Displaystyle 2а \ тау}$ $2a \ tau$ . Таким образом, расстояние до $F 1 {\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ равно $a (σ + τ) {\ displaystyle a (\ sigma + \ tau)}$ $a(\sigma+\tau)$ , тогда как расстояние до $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ равно $a (σ - τ) {\ displaystyle a (\ sigma - \ tau)}$ $a(\sigma-\tau)$ . (Напомним, что $F 1 {\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ и $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ расположены в $x = - a {\ displaystyle x = -a}$ $x = -a$ и $x = + a {\ displaystyle x = + a}$ $x = + a$ соответственно.)

Недостаток этих координат состоит в том, что точки с декартовыми координатами (x, y) и (x, -y) имеют одинаковые координаты $(σ, τ) {\ displaystyle (\ sigma, \ tau) }$ $(\ sigma, \ tau)$ , поэтому преобразование в декартовы координаты - это не функция, а многофункциональная функция.

x = a σ τ {\ displaystyle x = a \ left. \ Sigma \ right. \ Tau}

x = a \ left. \ сигма \ право. \ tau

y 2 = a 2 (σ 2 - 1) (1 - τ 2). {\ displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right).}

y ^ {2} = a ^ {2} \ left (\ sigma ^ { 2} - 1 \ right) \ left (1 - \ tau ^ {2} \ right).

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат $(σ, τ) {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}$ $(\ sigma, \ tau)$ равны

h σ = a σ 2 - τ 2 σ 2 - 1 {\ displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2} -1}}}}

h _ {\ sigma} = a \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2} - 1}}

h τ = a σ 2 - τ 2 1 - τ 2. {\ displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {1- \ tau ^ {2}}}}.}

h _ {\ tau} = a \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} { 1 - \ tau ^ {2}}}.

Следовательно, элемент бесконечно малой площади становится

d A = a 2 σ 2 - τ 2 (σ 2 - 1) (1 - τ 2) d σ d τ {\ displaystyle dA = a ^ {2} {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sqrt {\ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}}} d \ sigma d \ tau}

dA = a ^ {2} \ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sqrt {\ left (\ sigma ^ {2} - 1 \ right) \ left (1 - \ tau ^ {2} \ right)}} d \ sigma d \ tau

и лапласиан равен

∇ 2 Φ = 1 a 2 (σ 2 - τ 2) [σ 2 - 1 ∂ ∂ σ (σ 2 - 1 ∂ Φ ∂ σ) + 1 - τ 2 ∂ ∂ τ (1 - τ 2 ∂ Φ ∂ τ)]. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ right)}} \ left [{\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma}} \ left ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ sigma}} \ right) + {\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ left ({\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ tau}} \ right) \ right].}

\ nabla ^ {2} \ Phi = \ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ right)} \ left [\ sqrt {\ sigma ^ {2} - 1} \ frac {\ partial} {\ partial \ sigma} \ left (\ sqrt {\ sigma ^ {2} - 1} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ sigma} \ справа) + \ sqrt {1 - \ tau ^ {2}} \ frac {\ partial} {\ partial \ tau} \ left (\ sqrt {1 - \ tau ^ {2}} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ tau} \ right) \ right].

Другие дифференциальные операторы, такие как $∇ ⋅ F {\ displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {F}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {F}$ и $∇ × F {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$ $\ nabla \ times \ mathbf {F}$ могут быть выражены в координатах $(σ, τ) {\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}$ $(\ sigma, \ tau)$ путем замены масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах.

Экстраполяция в более высокие измерения

Эллиптические координаты составляют основу для нескольких наборов трехмерных ортогональных координат. Эллиптические цилиндрические координаты получаются путем проецирования в направлении $z {\ displaystyle z}$ $z$ . Вытянутые сфероидальные координаты создаются путем вращения эллиптических координат вокруг оси $x {\ displaystyle x}$ $x$ , т. Е. Оси, соединяющей фокусы, тогда как Сплюснутые сфероидальные координаты получаются вращением эллиптических координат вокруг оси $y {\ displaystyle y}$ $y$ , то есть оси, разделяющей фокусы.

Приложения

Классические применения эллиптических координат - решение уравнений в частных производных, например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца, для которой эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделить переменные в уравнениях в частных производных. Некоторые традиционные примеры - решение таких систем, как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетные орбиты, которые имеют эллиптическую форму.

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ и $q {\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf {q}$ эта сумма к фиксированному вектору $r = p + q {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {p} + \ mathbf {q}}$ $\ mathbf {r} = \ mathbf {p} + \ mathbf {q}$ , где подынтегральное выражение было функцией длины векторов $| p | {\ displaystyle \ left | \ mathbf {p} \ right |}$ $\ влево | \ mathbf {p} \ right |$ и $| q | {\ displaystyle \ left | \ mathbf {q} \ right |}$ $\ left | \ mathbf {q} \ right |$ . (В таком случае можно разместить $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ между двумя фокусами и выровнять по $x {\ displaystyle x}$ $x$ -ось, т.е. $r = 2 ax ^ {\ displaystyle \ mathbf {r} = 2a \ mathbf {\ hat {x}}}$ $\ mathbf {r} = 2a \ mathbf {\ hat {x}}$ .) Для конкретности $r { \ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ , $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ и $q {\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf {q}$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, и подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

См. Также

Ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Korn GA и Korn TM. (1961) Математический справочник для ученых и инженеров, McGraw-Hill.
Weisstein, Eric W. «Эллиптические цилиндрические координаты». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html