Двойной кватернион

Мемориальная доска на мосту Брум (Дублин) в память об изобретении Гамильтоном кватернионов

В математике двойные кватернионы представляют собой 8-мерную действительную алгебру, изоморфную тензорному произведению кватернионов и двойных чисел. Таким образом, они могут быть построены так же, как кватернионы, за исключением использования двойных чисел вместо действительных чисел в качестве коэффициентов. Двойственный кватернион может быть представлен в виде A + εB, где A и B - обычные кватернионы, а ε - двойственная единица, которая удовлетворяет ε = 0 и коммутирует с каждым элементом алгебры. В отличие от кватернионов, двойные кватернионы не образуют алгебру деления.

В механике двойные кватернионы применяются как система счисления для представления жестких преобразований в трех измерениях. Поскольку пространство двойных кватернионов является 8-мерным, а жесткое преобразование имеет шесть реальных степеней свободы, три для сдвигов и три для вращений, в этом приложении используются двойные кватернионы, подчиняющиеся двум алгебраическим ограничениям.

Подобно тому, как вращения в трехмерном пространстве могут быть представлены кватернионами единичной длины, жесткие движения в трехмерном пространстве могут быть представлены двойными кватернионами единичной длины. Этот факт используется в теоретической кинематике (см. Маккарти), а также в приложениях к 3D компьютерной графике, робототехнике и компьютерному зрению.

• 1 История
• 2 Формулы
  • 2.1 Сложение
  • 2.2 Умножение
  • 2.3 Сопряжение
  • 2.4 Сопряжение с двойным числом
  • 2,5 Норма
  • 2,6 Обратное
• 3 Двойные кватернионы и пространственные смещения
• 4 Матричная форма умножения двойных кватернионов
• 5 Подробнее о пространственных смещениях
• 6 Двойные кватернионы и однородные преобразования 4 × 4
• 7 Связь с алгебрами Клиффорда
• 8 Эпонимы
• 9 См. Также
• 10 Список литературы
• 11 Дополнительная литература
• 12 Внешние ссылки

W. Р. Гамильтон ввел кватернионы в 1843 году, а к 1873 году W. К. Клиффорд получил широкое обобщение этих чисел, которое он назвал бикватернионами, что является примером того, что сейчас называется алгеброй Клиффорда.

. В 1898 году Александр МакОлей использовал Ω с Ω = 0, чтобы сгенерировать двойственную кватернионную алгебру. Однако его терминология «октонионов» не сохранилась, поскольку сегодняшние октонионы представляют собой другую алгебру.

В России Александр Котельников разработал двойственные векторы и двойные кватернионы для использования в изучении механики.

В 1891 Эдуард Штюч понял, что эта ассоциативная алгебра идеальна для описания группы движений трехмерного пространства. Он далее развил идею в Geometrie der Dynamen в 1901 году. Б. Л. ван дер Варден назвал структуру «Изучение бикватернионов», одну из трех восьмимерных алгебр, называемых бикватернионами.

Для описания операций с двойственными кватернионами он полезно сначала рассмотреть кватернионы.

Кватернион - это линейная комбинация базисных элементов 1, i, j и k. Правило произведения Гамильтона для i, j и k часто записывается как

$i\; 2\; =\; j\; 2\; =\; k\; 2\; =\; ijk\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{2\}\; =\; j\; ^\; \{2\}\; =\; k\; ^\; \{2\; \}\; =\; ijk\; =\; -1.\}$

Вычислить i (ijk) = −jk = −i, чтобы получить jk = i и (ijk) k = −ij = −k или ij = k. Теперь, поскольку j (j k) = j i = −k, мы видим, что это произведение дает i j = −j i, что связывает кватернионы со свойствами определителей.

Удобный способ работы с кватернионным произведением - записать кватернион как сумму скаляра и вектора, то есть A = a 0+ A, где a 0 - это действительное число и A = A 1 i + A 2 j + A 3 k - трехмерный вектор. Операции с векторной точкой и перекрестием теперь можно использовать для определения кватернионного произведения A = a 0+ Aи C = c 0+ Cкак

$G\; =\; AC\; =\; (a\; 0\; +\; A)\; (c\; 0\; +\; C)\; =\; (a\; 0\; c\; 0\; -\; A\; \cdot \; C)\; +\; (c\; 0\; A\; +\; a\; 0\; C\; +\; A\; \times \; C).\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; =\; AC\; =\; (a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; (c\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; (a\_\; \{0\}\; c\_\; \{0\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; +\; (c\_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; a\_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{C\}).\}$

Двойной кватернион обычно описывается как кватернион с двойными числами в качестве коэффициентов. Двойное число - это упорядоченная пара â = (a, b). Два двойных числа покомпонентно складываются и умножаются по правилу â ĉ = (a, b) (c, d) = (a c, a d + b c). Двойные числа часто записываются в виде â = a + εb, где ε - двойственная единица, которая коммутирует с i, j, k и обладает свойством ε = 0.

В результате двойственный кватернион может записывается как упорядоченная пара кватернионов (A, B). Два двойных кватерниона добавляются покомпонентно и умножаются по правилу

$A\; ^\; C\; ^\; =\; (A,\; B)\; (C,\; D)\; =\; (A\; C,\; A\; D\; +\; B\; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; (A,\; B)\; (C,\; D)\; =\; (AC,\; AD\; +\; BC).\}$

Двойной кватернион удобно записать как сумма двойственного скаляра и двойственного вектора, Â = â 0 + A, где â 0 = (a, b) и A = (A, B) - двойственное вектор, определяющий винт . Эти обозначения позволяют нам записать произведение двух двойственных кватернионов как

$G\; ^\; =\; A\; ^\; C\; ^\; =\; (a\; ^\; 0\; +\; A)\; (c\; ^\; 0\; +\; C)\; =\; (a\; ^\; 0\; c\; ^\; 0\; -\; A\; \cdot \; C)\; +\; (c\; ^\; 0\; A\; +\; a\; ^\; 0\; C\; +\; A\; \times \; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{G\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; (\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\})\; (\{\backslash \; шляпа\; \{c\}\}\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\})\; =\; (\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; hat\; \{c\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\})\; +\; (\{\backslash \; hat\; \{c\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\}).\}$

Сложение

Сложение двойных кватернионов определяется покомпонентно, так что задано,

$A\; ^\; =\; (A,\; В)\; знак\; равно\; a\; 0\; +\; a\; 1\; я\; +\; a\; 2\; j\; +\; a\; 3\; К\; +\; б\; 0\; \epsilon \; +\; b\; 1\; \epsilon \; я\; +\; b\; 2\; \epsilon \; j\; +\; b\; 3\; \epsilon \; К,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; =\; (A,\; B)\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; i\; +\; a\_\; \{2\}\; j\; +\; a\_\; \{3\}\; k\; +\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; +\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon\; i\; +\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; varepsilon\; j\; +\; b\_\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; k,\}$

и

$C\; ^\; =\; (C,\; D)\; =\; c\; 0\; +\; c\; 1\; i\; +\; c\; 2\; j\; +\; c\; 3\; k\; +\; d\; 0\; \epsilon \; +\; d\; 1\; \epsilon \; i\; +\; d\; 2\; \epsilon \; J\; +\; d\; 3\; \epsilon \; К,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Hat\; \{C\}\}\; =\; (C,\; D)\; =\; c\_\; \{0\}\; +\; c\_\; \{1\}\; я\; +\; c\_\; \{2\}\; j\; +\; c\_\; \{3\}\; k\; +\; d\_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; +\; d\_\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon\; i\; +\; d\_\; \{2\}\; \backslash \; varepsilon\; j\; +\; d\_\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; k,\}$

, затем

$A\; ^\; +\; C\; ^\; =\; (A\; +\; C,\; B\; +\; D)\; =\; (a\; 0\; +\; c\; 0)\; +\; (a\; 1\; +\; c\; 1)\; i\; +\; (a\; 2\; +\; c\; 2)\; j\; +\; (a\; 3\; +\; c\; 3)\; k\; +\; (b\; 0\; +\; d\; 0)\; \epsilon \; +\; (b\; 1\; +\; d\; 1)\; \epsilon \; i\; +\; (b\; 2\; +\; d\; 2)\; \epsilon \; j\; +\; (б\; 3\; +\; d\; 3)\; \epsilon \; К,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; +\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; (A\; +\; C,\; B\; +\; D)\; =\; (a\_\; \{0\}\; +\; c\_\; \{0\})\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{1\})\; i\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; c\_\; \{2\})\; j\; +\; (a\_\; \{3\}\; +\; c\_\; \{3\})\; k\; +\; (b\_\; \{0\}\; +\; d\_\; \{0\})\; \backslash \; varepsilon\; +\; (b\_\; \{1\}\; +\; d\_\; \{1\})\; \backslash \; varepsilon\; i\; +\; (b\_\; \{2\}\; +\; d\_\; \{2\})\; \backslash \; varepsilon\; j\; +\; (b\_\; \{3\}\; +\; d\_\; \{3\})\; \backslash \; varepsilon\; k,\}$

Умножение

Умножение двух двойственных кватернионов следует из правил умножения для кватернионных единиц i, j, k и коммутативного умножения на двойственную единицу ε. В частности, при

$A\; ^\; =\; (A,\; B)\; =\; A\; +\; \epsilon \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; =\; (A,\; B)\; =\; A\; +\; \backslash \; varepsilon\; B,\}$

и

$C\; ^\; =\; (C,\; D)\; =\; C\; +\; \epsilon \; D,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; (C,\; D)\; =\; C\; +\; \backslash \; varepsilon\; D,\}$

, затем

$A\; ^\; C\; ^\; =\; (A\; +\; \epsilon \; B)\; (C\; +\; \epsilon \; D)\; =\; AC\; +\; \epsilon \; (AD\; +\; BC).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; (A\; +\; \backslash \; varepsilon\; B)\; (C\; +\; \backslash \; varepsilon\; D)\; =\; AC\; +\; \backslash \; varepsilon\; (AD\; +\; BC).\; \backslash !\}$

Обратите внимание, что есть нет термина BD, потому что определение двойных чисел требует, чтобы ε = 0.

Это дает нам таблицу умножения (обратите внимание, что порядок умножения - это строка, умноженная на столбец):

Таблица умножения для двойных кватернионов

(Строка x столбец)	1	i	j	k	ε	εi	εj	εk
1	1	i	j	k	ε	εi	εj	εk
i	i	−1	k	−j	εi	−ε	εk	−εj
j	j	−k	−1	i	εj	-εk	−ε	εi
k	k	j	−i	−1	εk	εj	−εi	−ε
ε	ε	εi	εj	εk	0	0	0	0
εi	εi	−ε	εk	−εj	0	0	0	0
εj	εj	−εk	−ε	εi	0	0	0	0
εk	εk	εj	−εi	−ε	0	0	0	0

Conjugate

Сопряжение двойного кватерниона является расширение сопряженного кватерниона, то есть

$A\; ^\; \ast \; =\; (A\; \ast ,\; B\; \ast )\; =\; A\; \ast \; +\; \epsilon \; B\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; (A\; ^\; \{*\},\; B\; ^\; \{*\})\; =\; A\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; B\; ^\; \{*\}.\; \backslash !\}$

Как с кватернионами, сопряжение произведения двойственных кватернионов, Ĝ = ÂĈ, является произведением их сопряженных в обратном порядке,

$G\; ^\; \ast \; =\; (A\; ^\; C\; ^)\; \ast \; =\; C\; ^\; \ast \; A\; ^\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{G\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; (\{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\})\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}.\; \backslash !\}$

Полезно ввести функции Sc (∗) и Vec (∗), которые выбирают скалярную и векторную части кватерниона или двойственные скалярные и двойственные векторные части двойного кватерниона. В частности, если Â = â 0 + A, то

$Sc\; (A\; ^)\; =\; a\; ^\; 0,\; Vec\; (A\; ^)\; =\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sc\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{A\}\})\; =\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\},\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Vec\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{A\}\})\; =\; \{\; \backslash \; mathsf\; \{A\}\}.\; \backslash !\}$

Это позволяет определить сопряжение Â как

$A\; ^\; \ast \; =\; Sc\; (A\; ^)\; -\; Vec\; (A\; ^).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Sc\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{A\}\})\; -\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Vec\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{A\}\}).\; \backslash \; !\}$

или,

$(a\; ^\; 0\; +\; A)\; \ast \; =\; a\; ^\; 0\; -\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\})\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}.\; \backslash \; !\}$

Произведение двойственного кватерниона на сопряженный ему дает

$A\; ^\; A\; ^\; \ast \; =\; (a\; ^\; 0\; +\; A)\; (a\; ^\; 0\; -\; A)\; =\; a\; ^\; 0\; 2\; +\; A\; \cdot \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; (\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\})\; (\{\backslash \; hat\; \{a\})\; \}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\})\; =\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}.\; \backslash !\; \}$

Это двойной скаляр, который представляет собой квадрат величины двойного кватерниона.

Сопряжение двойного числа

Второй тип сопряжения двойственного кватерниона дается взятием сопряженного двойственного числа, заданного как

$A\; ^\; ¯\; =\; (A,\; -\; B)\; =\; A\; -\; \epsilon \; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\}\; =\; (A,\; -B)\; =\; A-\; \backslash \; varepsilon\; B.\; \backslash !\}$

Кватернионное и двойное числовое сопряжение можно объединить в третью форму сопряженного данного по

$A\; ^\; \ast \; ¯\; =\; (A\; \ast ,\; -\; B\; \ast )\; =\; A\; \ast \; -\; \epsilon \; B\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}\}\}\; =\; (A\; ^\; \{*\},\; -\; B\; ^\; \{*\})\; =\; A\; ^\; \{*\}\; -\; \backslash \; varepsilon\; B\; ^\; \{*\}.\; \backslash !\}$

В контексте двойных кватернионов термин «сопряженный» может использоваться для обозначения сопряженного кватерниона, сопряженного двойного числа или того и другого.

Норма

Норма двойного кватерниона |  | вычисляется с использованием конъюгата для вычисления |  | = √ Â. Это двойное число, называемое величиной двойного кватерниона. Двойные кватернионы с |  | = 1 - единичные двойственные кватернионы.

Двойные кватернионы величины 1 используются для представления пространственных евклидовых смещений. Обратите внимание, что требование, что Â Â = 1, вводит два алгебраических ограничения на компоненты Â, то есть

$A\; ^\; A\; ^\; \ast \; =\; (A,\; B)\; (A\; \ast ,\; B\; \ast )\; =\; (AA\; \ast ,\; AB\; \ast \; +\; BA\; \ast )\; =\; (1,\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; (A,\; B)\; (A\; ^\; \{*\},\; B\; ^\; \{*\})\; =\; (AA\; ^\; \{*\},\; AB\; ^\; \{*\}\; +\; BA\; ^\; \{*\})\; =\; (1,0).\; \backslash !\}$

Обратный

Если p + ε q - двойственный кватернион, а p не равен нулю, то обратный двойственный кватернион задается как

p (1 - ε qp).

Таким образом, элементы подпространства {ε q: q ∈ H} не имеют обратных. Это подпространство называется идеалом в теории колец. Это единственный максимальный идеал кольца двойственных чисел.

Группа единиц двойного числового кольца состоит из чисел, отличных от идеала. Двойственные числа образуют локальное кольцо, поскольку существует единственный максимальный идеал. Группа единиц является группой Ли и может быть изучена с помощью экспоненциального отображения. Двойные кватернионы использовались для демонстрации преобразований в евклидовой группе. Типичный элемент может быть записан как винтовая трансформация.

Преимущество формулировки двойных кватернионов композиции двух пространственных смещений D B = ([R B ], b ) и D A = ([R A],a) состоит в том, что полученный двойной кватернион дает непосредственно винт ось и двойной угол составного смещения D C = D BDA.

В общем, двойной кватернион, связанный с пространственным смещением D = ([A], d ) состоит из его оси винта S = (S, V) и двойного угла (φ, d), где φ - вращение вокруг, а d - скольжение вдоль этой оси, что определяет смещение D. Соответствующий двойственный кватернион определяется как,

$S\; ^\; =\; cos\; \; \varphi \; ^\; 2\; +\; sin\; \; \varphi \; ^\; 2\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{\; S\}\}.\}$

Пусть композиция смещения D B с D A будет смещением D C = D BDA. Ось винта и двойной угол D C получают из произведения двойных кватернионов D A и D B, определяемых как

$A\; ^\; =\; cos\; \; (\alpha \; ^\; /\; 2)\; +\; sin\; \; (\alpha \; ^\; /\; 2)\; A\; и\; B\; ^\; =\; cos\; \; (\beta \; ^\; /\; 2)\; +\; sin\; \; (\beta \; ^\; /\; 2)\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; /\; 2)\; +\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; /\; 2)\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \backslash \; quad\; \{\; \backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\; =\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; /\; 2)\; +\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; /\; 2)\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\; \}\}.\}$

То есть составное смещение D C=DBDAимеет связанный двойственный кватернион, задаваемый формулой

$C\; ^\; =\; cos\; \; \gamma \; ^\; 2\; +\; sin\; \; \gamma \; ^\; 2\; C\; =\; (cos\; \; \beta \; ^\; 2\; +\; sin\; \; \beta \; ^\; 2\; B)\; (cos\; \; \alpha \; ^\; 2\; +\; sin\; \; \alpha \; ^\; 2\; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{\; C\}\}\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\; \}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{\; A\}\}\; \{\backslash \; Big)\}.\}$

Разверните этот продукт, чтобы получить

$cos\; \; \gamma \; ^\; 2\; +\; sin\; \; \gamma \; ^\; 2\; C\; =\; (cos\; \; \beta \; ^\; 2\; cos\; \; \alpha \; ^\; 2\; -\; sin\; \; \beta \; ^\; 2\; sin\; \; \alpha \; ^\; 2\; B\; \cdot \; A)\; +\; (sin\; \; \beta \; ^\; 2\; cos\; \; \alpha \; ^\; 2\; B\; +\; sin\; \; \alpha \; ^\; 2\; cos\; \; \beta \; ^\; 2\; A\; +\; sin\; \; \beta \; ^\; 2\; sin\; \; \alpha \; ^\; 2\; B\; \times \; А).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; Big\; (\; \}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; sin\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\; \}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; Big)\}.\}$

Разделите обе части этого уравнения на тождество

$соз\; \; \gamma \; ^\; 2\; =\; соз\; \; \beta \; ^\; 2\; соз\; \; \alpha \; ^\; 2\; -\; грех\; \; \beta \; ^\; 2\; грех\; \; \alpha \; ^\; 2\; В\; \cdot \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{\; 2\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\; \}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\}$

, чтобы получить

$tan\; \; \gamma \; ^\; 2\; C\; =\; tan\; \; \beta \; ^\; 2\; B\; +\; tan\; \; \alpha \; ^\; 2\; A\; +\; tan\; \; \beta \; ^\; 2\; tan\; \; \alpha \; ^\; 2\; B\; \times \; A\; 1\; -\; tan\; \; \beta \; ^\; 2\; tan\; \; \alpha \; ^\; 2\; Б\; А.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \{\; \backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; +\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\; +\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; загар\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\}\; \{1-\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{B\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathsf\; \{A\}\}\}\}.\}$

Это Родригес 'формула для оси винта составного смещения, определенного в терминах осей винта двух смещений. Он вывел эту формулу в 1840 году.

Три оси винта A, B и C образуют пространственный треугольник и двойные углы в этих вершинах между общими нормалями, которые образуют стороны этого треугольник напрямую связаны с двойными углами трех пространственных перемещений.

Матричное представление кватернионного произведения удобно для программирования вычислений кватернионов с использованием матричной алгебры, что справедливо и для двойных кватернионных операций.

Кватернионное произведение AC - это линейное преобразование оператором A компонентов кватерниона C, поэтому существует матричное представление A, работающее с вектором, сформированным из компонентов C.

Соберите компоненты кватерниона C = c 0+ Cв массив C = (C 1, C 2, C 3, c 0). Обратите внимание, что компоненты векторной части кватерниона перечислены первыми, а скаляр - последним. Это произвольный выбор, но как только это соглашение будет выбрано, мы должны его соблюдать.

Кватернионный продукт AC теперь может быть представлен как матричный продукт

$AC\; =\; [A\; +]\; C\; =\; [a\; 0\; A\; 3\; -\; A\; 2\; A\; 1\; -\; A\; 3\; a\; 0\; A\; 1\; A\; 2\; A\; 2\; -\; A\; 1\; a\; 0\; A\; 3\; -\; A\; 1\; -\; A\; 2\; -\; A\; 3\; a\; 0]\; \{C\; 1\; C\; 2\; C\; 3\; c\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\; =\; [A\; ^\; \{+\}]\; C\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{0\}\; A\_\; \{3\}\; -\; A\_\; \{2\}\; A\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; -\; A\_\; \{3\}\; a\_\; \{0\}\; A\_\; \{1\}\; A\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{2\}\; -\; A\_\; \{1\}\; a\_\; \{0\}\; A\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; -\; A\_\; \{1\}\; -\; A\_\; \{2\}\; -\; A\_\; \{3\}\; a\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; C\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; C\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; C\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Продукт AC также может можно рассматривать как операцию C над компонентами A, и в этом случае мы имеем

$AC\; =\; [C\; -]\; A\; =\; [c\; 0\; C\; 3\; -\; C\; 2\; C\; 1\; -\; C\; 3\; c\; 0\; C\; 1\; C\; 2\; C\; 2\; -\; C\; 1\; c\; 0\; C\; 3\; -\; C\; 1\; -\; C\; 2\; -\; C\; 3\; c\; 0]\; \{A\; 1\; A\; 2\; A\; 3\; a\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\; =\; [C\; ^\; \{-\}]\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; c\_\; \{0\}\; C\_\; \{3\}\; -\; C\_\; \{2\}\; C\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; -\; C\_\; \{3\}\; c\_\; \{0\}\; C\_\; \{1\}\; C\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; C\_\; \{2\}\; -\; C\_\; \{1\}\; c\_\; \{0\}\; C\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; -\; C\_\; \{1\}\; -\; C\_\; \{2\}\; -\; C\_\; \{3\}\; c\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; A\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Двойное кватернионное произведение ÂĈ = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) можно сформулировать как матричную операцию следующим образом. Соберите компоненты Ĉ в восьмеричный массив Ĉ = (C 1, C 2, C 3, c 0, D 1, D 2, D 3, d 0), тогда ÂĈ задается матричным произведением 8x8

$A\; ^\; C\; ^\; =\; [A\; ^\; +]\; C\; ^\; =\; [A\; +\; 0\; B\; +\; A\; +]\; \{CD\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; [\{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; ^\; \{+\}]\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; A\; ^\; \{+\}\; 0\; \backslash \backslash \; B\; ^\; \{+\}\; A\; ^\; \{+\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; C\; \backslash \backslash \; D\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Как мы видели для кватернионов, произведение ÂĈ может можно рассматривать как операцию Ĉ над координатным вектором Â, что означает, что ÂĈ также может быть сформулировано как,

$A\; ^\; C\; ^\; =\; [C\; ^\; -]\; A\; ^\; =\; [C\; -\; 0\; D\; -\; C\; -]\; \{AB\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; =\; [\{\backslash \; hat\; \{C\}\}\; ^\; \{-\}]\; \{\backslash \; hat\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; C\; ^\; \{-\}\; 0\; \backslash \backslash \; D\; ^\; \{-\}\; C\; ^\; \{-\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; A\; \backslash \backslash \; B\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Двойной кватернион смещения D = ([A], d ) может быть построен из кватерниона S = cos (φ / 2) + sin (φ / 2) S, который определяет вращение [A] и векторный кватернион, построенный из вектора перемещения d, заданного как D = d 1 i + d 2 j + d 3 к. Используя это обозначение, двойственный кватернион для смещения D = ([A], d ) задается как

$S\; ^\; =\; S\; +\; \epsilon \; 1\; 2\; D\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; =\; S\; +\; \backslash \; varepsilon\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; DS.\}$

Пусть координаты Плюккера линии в направлении x через точку p в движущемся теле и его координаты в неподвижной системе отсчета, которая находится в направлении X через точку P, будут заданы как,

$x\; ^\; =\; x\; +\; \epsilon \; p\; \times \; x\; и\; X\; ^\; =\; X\; +\; \epsilon \; P\; \times \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{X\}.\}$

Затем двойной кватернион смещения этого тела преобразует координаты Плюккера в подвижной системе отсчета в координаты Плюккера в фиксированной системе отсчета формула

$X\; ^\; =\; S\; ^\; x\; ^\; S\; ^\; \ast \; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; ^\; \{*\}\}\}.\}$

Использование матрицы форма двойного кватернионного произведения это становится,

$X\; ^\; =\; [S\; ^\; +]\; [S\; ^\; -]\; \ast \; x\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; =\; [\{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; ^\; \{+\}]\; [\{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; ^\; \{-\}]\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}.\}$

Этим вычислением легко управлять с помощью матричных операций.

Может быть полезно, особенно при движении твердого тела, представить двойные кватернионы как однородные матрицы. Как указано выше, двойной кватернион можно записать как: $q\; ^\; =\; r\; +\; d\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{q\}\}\; =\; r\; +\; d\; \backslash \; varepsilon\}$где r и d оба кватернионы. Кватернион r известен как действительная или вращательная часть, а кватернион $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$известен как двойная часть или часть смещения.

Часть вращения может быть задана как

$r\; =\; rw\; +\; rxi\; +\; ryj\; +\; rzk\; =\; cos\; \; (\theta \; 2)\; +\; sin\; \; (\theta \; 2)\; (a\; \to \; \cdot \; (i,\; j,\; k))\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{w\}\; +\; r\_\; \{x\}\; i\; +\; r\_\; \{y\}\; j\; +\; r\_\; \{z\}\; k\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{a\}\}\; \backslash \; cdot\; (i,\; j,\; k)\; \backslash \; right)\}$

где $\theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- угол поворота относительно направления, заданного единичным вектором $a\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\}\}$. Смещение может быть записано как

$d\; =\; 0\; +\; \Delta \; x\; 2\; i\; +\; \Delta \; y\; 2\; j\; +\; \Delta \; z\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; 0\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; x\}\; \{2\}\}\; i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y\}\; \{2\}\}\; j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; z\}\; \{2\}\}\; k\}$.

Двойной кватернионный эквивалент 3D-вектора:

$v\; ^:\; =\; 1\; +\; \epsilon \; (\; vxi\; +\; vyj\; +\; vzk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}:\; =\; 1+\; \backslash \; varepsilon\; (v\_\; \{x\}\; i\; +\; v\_\; \{y\}\; j\; +\; v\_\; \{z\}\; k)\}$

и его преобразование с помощью $q\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{q\}\}\}$задается выражением

$v\; ^\; \prime \; =\; q\; ^\; \cdot \; v\; ^\; \cdot \; q\; ^\; \ast \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\; \}\; \text{'}=\; \{\backslash \; hat\; \{q\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overline\; \{\{\backslash \; hat\; \{q\}\}\; ^\; \{*\}\}\}\}$.

Эти двойные кватернионы (или фактически их преобразования на 3D-векторах) может быть представлена ​​однородной матрицей преобразования

$T\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; \Delta \; x\; \Delta \; y\; R\; \Delta \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; x\; \backslash \backslash \; \backslash \; Delta\; y\; R\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; z\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

где ортогональная матрица 3 × 3 задается как

$R\; =\; (rw\; 2\; +\; rx\; 2\; -\; ry\; 2\; -\; rz\; 2\; 2\; rxry\; -\; 2\; rwrz\; 2\; rxrz\; +\; 2\; rwry\; 2\; rxry\; +\; 2\; rwrzrw\; 2\; -\; rx\; 2\; +\; ry\; 2\; -\; р\; з\; 2\; 2\; р\; й\; р\; з\; -\; 2\; р\; ш\; р\; х\; 2\; р\; х\; р\; з\; -\; 2\; р\; ш\; р\; у\; 2\; р\; й\; р\; з\; +\; 2\; р\; ш\; р\; х\; р\; ш\; 2\; -\; г\; х\; 2\; -\; р\; у\; 2\; +\; г\; г\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; r\_\; \{w\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; 2r\_\; \{x\}\; r\_\; \{y\}\; -2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{z\}\; 2r\_\; \{x\}\; r\_\; \{z\}\; +\; 2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; 2r\_\; \{x\}\; r\_\; \{y\}\; +\; 2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{z\}\; r\_\; \{w\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; 2r\_\; \{y\}\; r\_\; \{z\}\; -2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{x\; \}\; \backslash \backslash \; 2r\_\; \{x\}\; r\_\; \{z\}\; -2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{y\}\; 2r\_\; \{y\}\; r\_\; \{z\}\; +\; 2r\_\; \{w\}\; r\_\; \{x\}\; r\_\; \{w\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; -r\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Для 3D-вектора

$v\; =\; (1\; vxvyvz)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; v\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

преобразование по T задается как

$v\; \to \; \prime \; =\; T\; \cdot \; v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \text{'}=\; T\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\}$

Помимо тензорного произведения двух алгебр Клиффорда, кватернионов и двойственных чисел, двойственные кватернионы имеют две другие формулировки в терминах алгебр Клиффорда.

Во-первых, двойственные кватернионы изоморфны алгебре Клиффорда, порожденной тремя антикоммутирующими элементами i, j, e с i = j = -1 и e = 0. Если мы определим k = ij и ε = k, то из них подразумеваются соотношения, определяющие двойственные кватернионы, и наоборот. Во-вторых, двойственные кватернионы изоморфны четной части алгебры Клиффорда, порожденной 4 антикоммутирующими элементами $e\; 1,\; e\; 2,\; e\; 3,\; e\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{2\},\; e\_\; \{3\; \},\; e\_\; \{4\}\}$с

$e\; 1\; 2\; =\; e\; 2\; 2\; =\; e\; 3\; 2\; =\; -\; 1,\; e\; 4\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; =\; e\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; =\; e\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 1,\; \backslash ,\; \backslash ,\; e\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0.\}$

Подробнее см. Алгебры Клиффорда: двойные кватернионы.

Поскольку и Эдуард Этюд, и Уильям Кингдон Клиффорд использовали и писали о двойных кватернионах, иногда авторы называют двойные кватернионы «Исследовать бикватернионы. "или" Клиффорд бикватернионы ". Последний эпоним также использовался для обозначения сплит-бикватернионов. Прочтите статью Джо Руни, ссылка на которую приведена ниже, чтобы увидеть сторонника W.K. Утверждение Клиффорда. Поскольку утверждения Клиффорда и Стюда являются спорными, во избежание конфликта удобно использовать текущее обозначение двойного кватерниона.

• Теория винтов
• Рациональное движение
• Кватернионы и пространственное вращение
• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
• Олинде Родригес
• Двойное комплексное число

Примечания

Источники

• Ян Фишер (1998). Двучисловые методы в кинематике, статике и динамике. CRC Press. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Пеннестри и Р. Стефанелли (2007) Линейная алгебра и численные алгоритмы с использованием двойных чисел, опубликовано в Multibody System Dynamics 18 (3): 323–349.
• E. Пеннестри и П. П. Валентини, Двойные кватернионы как инструмент для анализа движений жесткого тела: Учебное пособие в приложении к биомеханике, ARCHIWUM BUDOWY MASZYN, т. 57, стр. 187–205, 2010
• E. Пеннестри и П.П. Валентини, Алгоритмы линейной двойной алгебры и их приложение к кинематике, Multibody Dynamics, октябрь 2008 г., стр. 207–229, doi : 10.1007 / 978-1- 4020-8829-2_11
• ДП Chevallier (1996) «О принципе переноса в кинематике: его различные формы и ограничения», Mechanism and Machine Theory 31 (1): 57–76.
• M.A. Gungor (2009) «Двойные лоренцевы сферические движения и двойственные формулы Эйлера-Савари», European Journal of Mechanics A Solids 28 (4): 820–6.

• Вильгельм Блашке (1958) Д.Х. Дельфених переводчик, «Применение двойных кватернионов в кинематике»
• Вильгельм Блашке (1960) Переводчик Д.Д. Дельфениха, Кватернионы и кинематика из Neo-classical-physics.info.
• Двойные кватернионы, A Руководство для начинающих по двойным кватернионам Бен Кенрайт
• Двойные кватернионы: от классической механики до компьютерной графики и не только Бен Кенрайт