Прямой метод в вариационном исчислении

редактировать

Метод построения доказательств существования и вычисления решений в вариационном исчислении

В математике, прямой метод в вариационном исчислении - это общий метод построения доказательства существования минимизатора для данного функционала, введенный Зарембой и Дэвидом Гильбертом примерно в 1900 году. Метод основан на методах функциональный анализ и топология. Прямые методы не только используются для доказательства существования решения, но и для вычисления решения с желаемой точностью.

Содержание

1 Метод
2 Подробности
- 2.1 Банаховы пространства
- 2.2 Пространства Соболева
3 Последовательная нижняя полунепрерывность интегралов
4 Примечания
5 Ссылки и дополнительная литература

Метод

Вариационное исчисление имеет дело с функционалами $J: V → R ¯ {\ displaystyle J: V \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}$ $J: V \ to \ bar { \ mathbb {R}}$ , где $V {\ displaystyle V}$ $V$ - некоторое функциональное пространство и $R ¯ = R ∪ {∞} {\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$ $\ bar {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}$ . Основной интерес предмета - найти минимизаторы для таких функционалов, то есть функций $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ таких, что: $J (v) ≤ J (u) ∀ u ∈ V. {\ displaystyle J (v) \ leq J (u) \ forall u \ in V.}$ $J ( v) \ leq J (u) \ forall u \ in V.$

Стандартный инструмент для получения необходимых условий, при которых функция должна быть минимизирующей, - это уравнение Эйлера – Лагранжа. Но поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих этим требованиям, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.

Функционал $J {\ displaystyle J}$ $J$ должен быть ограничен снизу, чтобы иметь минимизатор. Это означает

inf {J (u) | u ∈ V}>- ∞. {\ displaystyle \ inf \ {J (u) | u \ in V \}>- \ infty. \,}

\inf\{J(u)|u\in V\}>- \ infty. \,

Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но он показывает наличие минимизирующая последовательность, то есть последовательность $(un) {\ displaystyle (u_ {n})}$ $(u_n)$ в $V {\ displaystyle V}$ $V$ такая, что $J (un) → inf {J (u) | u ∈ V}, {\ displaystyle J (u_ {n}) \ to \ inf \ {J (u) | u \ in V \}.}$ $J (u_n) \ to \ inf \ {J (u) | u \ in V \}.$

Прямой метод можно разбить на следующие шаги

Возьмите минимизирующую последовательность $(un) {\ displaystyle (u_ {n})}$ $(u_n)$ для $J {\ displaystyle J}$ $J$ .
Покажите, что $(un) {\ displaystyle (u_ {n})}$ $(u_n)$ допускает некоторую подпоследовательность $(unk) {\ displaystyle (u_ {n_ {k }})}$ $(u_ {n_k})$ , которая сходится к $u 0 ∈ V {\ displaystyle u_ {0} \ in V}$ $u_0 \ in V$ относительно топологии $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ .
Покажите, что $J {\ displaystyle J}$ $J$ является последовательно нижним полунепрерывным по топологии $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ .

Чтобы увидеть, что это показывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеризацию последовательно полунепрерывных снизу функций.

Функция

J {\ displaystyle J}

J

является последовательно полунепрерывной снизу, если

lim inf n → ∞ J (un) ≥ J (u 0) {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} J (u_ {n}) \ geq J (u_ {0})}

\ liminf_ {n \ к \ infty} J (u_n) \ geq J (u_0)

для любой сходящейся последовательности

un → u 0 {\ displaystyle u_ {n} \ to u_ {0}}

u_n \ to u_0

V {\ displaystyle V}

V

Выводы следует из

inf {J (u) | u ∈ V} = lim n → ∞ J (u n) = lim k → ∞ J (u n k) ≥ J (u 0) ≥ inf {J (u) | u ∈ V} {\ Displaystyle \ Inf \ {J (u) | U \ in V \} = \ lim _ {n \ to \ infty} J (u_ {n}) = \ lim _ {k \ to \ infty } J (u_ {n_ {k}}) \ geq J (u_ {0}) \ geq \ inf \ {J (u) | u \ in V \}}

\ inf \ {J (u) | u \ in V \} = \ lim_ {n \ to \ infty} J (u_n) = \ lim_ {k \ to \ infty} J ( u_ {n_k}) \ geq J (u_0) \ geq \ inf \ {J (u) | u \ in V \}

другими словами

J (u 0) = inf {J (u) | u ∈ V} {\ displaystyle J (u_ {0}) = \ inf \ {J (u) | u \ in V \}}

J (u_0) = \ inf \ {J (u) | u \ in V \}

Детали

Банаховы пространства

прямой метод часто может успешно применяться, когда пространство $V {\ displaystyle V}$ $V$ является подмножеством разделяемого рефлексивного банахового пространства $W {\ displaystyle W}$ $W$ . В этом случае теорема Банаха – Алаоглу подразумевает, что любая ограниченная последовательность $(un) {\ displaystyle (u_ {n})}$ $(u_n)$ в $V {\ displaystyle V}$ $V$ имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторому $u 0 {\ displaystyle u_ {0}}$ $u_ {0}$ в $W {\ displaystyle W}$ $W$ относительно слабой топологии . Если $V {\ displaystyle V}$ $V$ последовательно закрывается в $W {\ displaystyle W}$ $W$ , так что $u 0 {\ displaystyle u_ {0} }$ $u_ {0}$ находится в $V {\ displaystyle V}$ $V$ , прямой метод можно применить к функционалу $J: V → R ¯ {\ displaystyle J: V \ в {\ bar {\ mathbb {R}}}}$ $J: V \ to \ bar {\ mathbb {R}}$ , показывая, что

$J {\ displaystyle J}$ $J$ ограничено снизу,
любая минимизирующая последовательность для $J {\ displaystyle J}$ $J$ ограничен, а
$J {\ displaystyle J}$ $J$ слабо последовательно полунепрерывно снизу, т. е. для любой слабо сходящейся последовательности $un → u 0 {\ displaystyle u_ {n} \ to u_ {0}}$ $u_n \ to u_0$ выполняется $lim inf n → ∞ J (un) ≥ J (u 0) {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} J (u_ {n}) \ geq J (u_ {0})}$ $\ liminf_ {n \ к \ infty} J (u_n) \ geq J (u_0)$ .

Вторая часть обычно выполняется, показывая, что $J {\ displaystyle J}$ $J$ допускает некоторое состояние роста. Например,

J (x) ≥ α ‖ x ‖ q - β {\ displaystyle J (x) \ geq \ alpha \ lVert x \ rVert ^ {q} - \ beta}

J (x) \ geq \ alpha \ lVert x \ rVert ^ q - \ beta

для некоторых

α>0 {\ displaystyle \ alpha>0}

\alpha>0

q ≥ 1 {\ displaystyle q \ geq 1}

q \ geq 1

β ≥ 0 {\ displaystyle \ beta \ geq 0}

\ бета \ geq 0

Функционал с этим свойством иногда называют коэрцитивным. Демонстрация последовательной полунепрерывности снизу обычно является наиболее сложной частью при применении прямого метода. См. Ниже некоторые теоремы для общего класса функционалов.

Пространства Соболева

Типичный функционал вариационного исчисления - это интеграл вида

J (u) = ∫ Ω F (x, u (x), ∇ u (x)) dx {\ displaystyle J (u) = \ int _ {\ Omega} F (x, u (x), \ nabla u (x)) dx}

{\ displaystyle J (u) = \ int _ {\ Omega} F (x, u (x), \ nabla u (x)) dx}

где $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ - подмножество $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ и $F {\ displaystyle F}$ $F$ - функция с действительным знаком на $Ω × R m × R mn {\ displaystyle \ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R } ^ {mn}}$ $\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ m \ times \ mathbb {R} ^ {mn}$ . Аргумент $J {\ displaystyle J}$ $J$ является дифференцируемой функцией $u: Ω → R m {\ displaystyle u: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ $u: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ m$ , а его якобиан $∇ u (x) {\ displaystyle \ nabla u (x)}$ $\ nabla u (x)$ идентифицируется с $mn {\ displaystyle mn}$ $mn$ -вектор.

При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа обычно предполагается, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ имеет $C 2 {\ displaystyle C ^ {2 }}$ $C^{2}$ граница, и пусть область определения для $J {\ displaystyle J}$ $J$ будет $C 2 (Ω, R m) {\ displaystyle C ^ {2 } (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {m})}$ $C ^ 2 (\ Omega, \ mathbb {R} ^ m)$ . Это пространство является банаховым, если наделено нормой супремума, но оно не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется в пространстве Соболева $W 1, p (Ω, R m) {\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {m})}$ $W ^ {1, p} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ m)$ с $p>1 {\ displaystyle p>1}$ $p>1$ , которое является рефлексивным банаховым пространством. Производные от $u {\ displaystyle u}$ $u$ в формуле для $J {\ displaystyle J}$ $J$ следует тогда рассматривать как слабые производные. В следующем разделе представлены две теоремы, касающиеся слабой последовательной нижней полунепрерывности функционалы указанного выше типа.

Последовательная нижняя полунепрерывность интегралов

Столько функционалов в вариационном исчислении имеют вид

J (u) = ∫ Ω F (x, U (Икс), ∇ U (Икс)) dx {\ Displaystyle J (u) = \ int _ {\ Omega} F (x, u (x), \ nabla u (x)) dx}

{\ displaystyle J (u) = \ int _ {\ Omega} F (x, u (x), \ nabla u (x)) dx}

где $Ом ⊆ р N {\ Displaystyle \ Omega \ substeq \ mathbb {R} ^ { n}}$ $\ Omega \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}$ открыто, теоремы, характеризующие функции $F {\ displaystyle F}$ $F$ , для которых $J {\ displaystyle J}$ $J$ слабо последовательно полунепрерывно снизу в $W 1, p (Ω, R m) {\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {m})}$ $W ^ {1, p} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ m)$ с $p ≥ 1 {\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ имеет большое значение.

В общем случае одна из них имеет следующее:

Предположим, что

F {\ displaystyle F}

F

- это функция со следующими свойствами:

Функция $(y, A) ↦ F (x, y, A) {\ displaystyle (y, A) \ mapsto F (x, y, A)}$ ${\ displaystyle (y, A) \ mapsto F (x, y, A)}$ непрерывно для почти для всех $x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}$ $x \ in \ Omega$ .
Функция $x ↦ F (x, y, A) {\ displaystyle x \ mapsto F (x, y, A) }$ ${\ displaystyle x \ mapsto F (x, y, A)}$ измеримо для каждого $(y, A) ∈ R m × R mn {\ displaystyle (y, A) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ раз \ mathbb {R} ^ {mn}}$ ${\ displaystyle (y, A) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {mn}}$ .
Существует $a ∈ L q (Ω, R mn) {\ displaystyle a \ in L ^ {q} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {mn})}$ ${\ displaystyle a \ in L ^ {q} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {mn})}$ с конъюгатом Гёльдера $q = pp - 1 {\ displaystyle q = {\ tfrac {p} {p-1}}}$ ${\ displaystyle q = {\ tfrac {p} {p-1}}}$ и $b ∈ L 1 (Ω) {\ displaystyle b \ in L ^ {1} (\ Omega)}$ $b \ in L ^ 1 (\ Omega)$ таким образом, что следующее неравенство выполняется почти для любого $x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}$ $x \ in \ Omega$ и каждый $(y, A) ∈ R m × R mn {\ displaystyle (y, A) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {mn}}$ ${\ displaystyle (y, A) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {mn}}$ : $F (x, y, A) ≥ ⟨a (x), A⟩ + b (x) {\ displaystyle F (x, y, A) \ geq \ langle a (x), A \ rangle + b (x)}$ ${\ displaystyle F (x, y, A) \ geq \ langle a (x), A \ rangle + b (x)}$ . Здесь $⟨a (x), A⟩ {\ displaystyle \ langle a (x), A \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a (x), A \ rangle}$ обозначает внутренний продукт Фробениуса из $a ( х) {\ displaystyle a (x)}$ $a(x)$ и $A {\ displaystyle A}$ $A$ в $R mn {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {mn} }$ $\ mathbb {R} ^ {mn}$ ).

Если функция

A ↦ F (x, y, A) {\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A)}

{\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A)}

является выпуклой почти для каждого

x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}

x \ in \ Omega

и каждый

y ∈ R m {\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

y \ in \ mathbb {R} ^ {m}

, затем

J {\ displaystyle J}

J

последовательно слабо нижний полунепрерывный.

Когда $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ или $m = 1 { \ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ справедлива следующая обратная теорема

Предположим, что

F {\ displaystyle F}

F

является непрерывным и удовлетворяет

| F (x, y, A) | ≤ a (x, | y |, | A |) {\ displaystyle | F (x, y, A) | \ leq a (x, | y |, | A |)}

{\ displaystyle | F (x, y, A) | \ leq a (x, | y |, | A |)}

для каждого

( икс, y, A) {\ displaystyle (x, y, A)}

{\ displaystyle (x, y, A)}

и фиксированная функция

a (x, y, A) {\ displaystyle a (x, y, A) }

{\ displaystyle a (x, y, A)}

увеличивается в

y {\ displaystyle y}

y

p {\ displaystyle p}

p

и локально интегрируется в

x { \ Displaystyle x}

x

. Если

J {\ displaystyle J}

J

последовательно слабо полунепрерывно снизу, то для любого заданного

(x, y) ∈ Ω × R m {\ displaystyle (x, y) \ в \ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {m}}

(x, y) \ in \ Omega \ times \ mathbb {R} ^ m

функция

A ↦ F (x, y, A) {\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A) }

{\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A)}

выпукло.

В заключение, когда $m = 1 {\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ или $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , функционал $J {\ displaystyle J}$ $J$ , при условии разумного роста и ограниченности на $F {\ displaystyle F}$ $F$ , слабо последовательно полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда функция $A ↦ F (x, y, A) {\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A)}$ ${\ displaystyle A \ mapsto F (x, y, A)}$ является выпуклой.

Если и $n {\ displaystyle n}$ $n$ , и $m {\ displaystyle m}$ $m$ больше 1, можно ослабить необходимость выпуклости для обобщений выпуклости, а именно поливыпуклости и квазивыпуклости.

Примечания

Ссылки и дополнительная литература

Dacorogna, Bernard (1989). Прямые методы вариационного исчисления. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
Фонсека, Ирен ; Джованни Леони (2007). Современные методы вариационного исчисления: $L p {\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ Spaces. Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
Морри, К. Б., младший: множественные интегралы в вариационном исчислении. Springer, 1966 (переиздано в 2008 г.), Берлин ISBN 978-3-540-69915-6.
Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений. (Перевод с французского оригинала 1967 года А. Куфнера и Г. Тронеля), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8.
T. Рубичек (2000). «Прямой метод решения параболических задач». Adv. Математика. Sci. Appl. 10 . С. 57–65. MR 1769181.