Плотный порядок

редактировать

В математике, a частичный порядок или общий порядок < on a набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется плотным, если, для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ для which $x < y {\displaystyle x$ $x <y$ , существует $z {\ displaystyle z}$ $z$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ такой, что $x < z < y {\displaystyle x$ ${\ displaystyle x <z <y}$ .

Contents

1 Пример
2 уникальности s
3 Обобщения
4 См. также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Пример

рациональные числа как линейно упорядоченный набор представляют собой плотно упорядоченный набор в этом смысле, как и алгебраические числа, действительные числа, двоичные рациональные числа и десятичные дроби. Фактически, каждый архимед заказывал расширение кольца из целых чисел $Z [x] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ mathbb {Z} [x]$ - плотно упорядоченный набор.

Доказательство -

Для элемента $x ∈ Z [x] {\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z} [x]}$ из-за свойства Архимеда, если $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ , существует наибольшее целое число $n < x {\displaystyle n$ ${\ displaystyle n <x}$ с $n < x < n + 1 {\displaystyle n$ ${\ displaystyle n <x <n + 1}$ , а если $x < 0 {\displaystyle x<0}$ $x <0$ , $- x>0 {\ displaystyle -x>0}$ $-x>0$ , и существует наибольшее целое число $m = - n - 1 < − x {\displaystyle m=-n-1<-x}$ ${\ displaystyle m = -n-1 <-x}$ с $- n - 1 < − x < − n {\displaystyle -n-1<-x<-n}$ ${ \ Displaystyle -n-1 <-x <-n}$ . В результате $0 < x − n < 1 {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <xn <1}$ . Для любых двух элементов $y, z ∈ Z [x] {\ displaystyle y, z \ in \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle y, z \ in \ mathbb {Z} [x]}$ с $z < y {\displaystyle z$ ${\ displaystyle z <y}$ , $0 < ( x − n) ( y − z) < y − z {\displaystyle 0<(x-n)(y-z)$ ${\ displaystyle 0 <(xn) (yz) <yz}$ и $z < ( x − n) ( y − z) + z < y {\displaystyle z<(x-n)(y-z)+z$ ${\ displaystyle z <(xn) (yz) + z <y}$ . Следовательно, $Z [x] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ mathbb {Z} [x]$ плотно.

С другой стороны, линейный порядок в целых числах не является плотным.

Уникальность

Георг Кантор доказал, что любые два непустых плотных полностью упорядоченных счетных множества без нижней или верхней границы изоморфны по порядку. В частности, существует упорядоченный изоморфизм между рациональными числами и другими плотно упорядоченными счетными множествами, включая диадические рациональные числа и алгебраические числа. Доказательство этого результата использует метод возвратно-поступательного движения..

Функцию знака вопроса Минковского можно использовать для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и диадические рациональности.

Обобщения

Любое бинарное отношение R называется плотным, если для всех связанных с R x и y существует z такое, что x и z, а также z и y связаны с R. Формально:

∀ x ∀ y x R y ⇒ (∃ z x R z ∧ z R y). {\ displaystyle \ forall x \ \ forall y \ xRy \ Rightarrow (\ exists z \ xRz \ land zRy).}

\ forall x \ \ forall y \ xRy \ Rightarrow ( \ существует z \ xRz \ land zRy).

В качестве альтернативы, с точки зрения композиции R с самим собой, плотное состояние может быть выражено как R ⊆ R R.

Достаточными условиями для бинарного отношения R в наборе X, чтобы быть плотным, являются:

R является рефлексивным ;
R является coreflexive ;
R - квазирефлексивный ;
R - левый или правый евклидово ; или
R является симметричным и полусоединением, а X имеет как минимум 3 элемента.

Ни один из них не необходим. непустое и плотное отношение не может быть антитранзитивным.

Строгий частичный порядок < is a dense order iff < is a dense relation. A dense relation that is also транзитивный называется идемпотентным.

См. Также

Плотное множество - подмножество топологического пространства, замыканием которого является все пространство
Плотное в себе - подмножество топологического пространства без изолированных точек
Крипке семантика - отношение плотной доступности соответствует аксиоме $◻ ◻ A → ◻ A {\ displaystyle \ Box \ Box A \ rightarrow \ Box A}$ ${\ displaystyle \ Box \ Box A \ rightarrow \ Box A}$

Ссылки

Дополнительная литература

Дэвид Харел, Декстер Козен, Ежи Тьюрин, Динамическая логика, MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6, п. 6ff