Завершено пересечение

В математике алгебраическое многообразие V в проективном пространстве является полным пересечением если идеал V порождается ровно codim V элементами. То есть, если V имеет размерность m и лежит в проективном пространстве P, должно существовать n - m однородных многочленов

Fi(X0,..., X n), 1 ≤ i ≤ n - m,

в однородных координатах Xj, которые порождают все другие однородные многочлены, которые обращаются в нуль на V.

Геометрически каждый F i определяет гиперповерхность ; пересечение этих гиперповерхностей должно быть V. Пересечение гиперповерхностей nm всегда будет иметь размерность не менее m, если предполагается, что поле скаляров является алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа. По сути, вопрос в том, можем ли мы уменьшить размерность до m без лишних точек на пересечении? Это условие довольно сложно проверить, если коразмерность n - m ≥ 2. Если n - m = 1, то V автоматически является гиперповерхностью и доказывать нечего.

• 1 Примеры
• 2 Непримеры
  • 2.1 Витая кубическая
  • 2.2 Объединение разновидностей, различающихся по размерности
• 3 Multidegree
• 4 Общее положение
• 5 Топология
  • 5.1 Гомология
  • 5.2 Характеристика Эйлера
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Простые примеры полных пересечений даются гиперповерхностями, которые определяются исчезающим множеством одного полинома. Например,

$V\; (x\; 0\; 5\; +\; \cdots \; +\; x\; 4\; 5)\; =\; Proj\; (F\; [x\; 0,\dots ,\; x\; 4]\; (x\; 0\; 5\; +\; \cdots \; +\; x\; 4\; 5))\; \to \; я\; PF\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{V\}\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{4\}\; ^\; \{5\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{Proj\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{F\}\; [x\_\; \{\; 0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{4\}]\}\; \{(x\_\; \{0\}\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{4\}\; ^\; \{5\})\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{i\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{\; P\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{F\}\}\; ^\; \{4\}\}$

дает пример квинтики тройного многообразия. Может быть сложно найти явные примеры полных пересечений многообразий более высокой размерности, используя два или более явных примера (бестиарий), но есть явный пример 3-кратного типа $(2,\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; (2,4)\}$, заданный как

$V\; (x\; 0\; 2\; +\; x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2\; +\; x\; 3\; 2\; +\; x\; 4\; x\; 5,\; x\; 4\; 4\; +\; x\; 5\; 4\; -\; 2\; x\; 0\; Икс\; 1\; Икс\; 2\; Икс\; 3)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{V\}\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; x\_\; \{4\}\; x\_\; \{5\},\; x\_\; \{4\}\; ^\; \{4\}\; +\; x\_\; \{5\}\; ^\; \{4\}\; -2x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\})\}$

Скрученная кубика

Один из методов построения локальных полных пересечений - взять проективное множество полных пересечений и вложить его в проективное пространство более высокой размерности. Классическим примером этого является скрученная кубическая в $PR\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$: это гладкая локальная полное пересечение означает, что в любой карте это может быть выражено как исчезающее геометрическое место двух многочленов, но глобально оно выражается исчезающим пространством более чем двух многочленов. Мы можем построить его, используя очень обширный линейный набор $O\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (3)\}$на $P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\; \}\; ^\; \{1\}\}$с вложением

$PR\; 1\; \to \; PR\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$от $[s:\; t]\; \mapsto \; [s\; 3:\; s\; 2\; t:\; st\; 2:\; t\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s:\; t]\; \backslash \; mapsto\; [s\; ^\; \{3\; \}:\; s\; ^\; \{2\}\; t:\; st\; ^\; \{2\}:\; t\; ^\; \{3\}]\}$

Обратите внимание, что $\Gamma \; (O\; (3))\; =\; Span\; R\; \{s\; 3,\; s\; 2\; t,\; st\; 2\; t\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (3))\; =\; \{\backslash \; text\; \{Span\}\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; \{s\; ^\; \{3\},\; s\; ^\; \{2\}\; t,\; st\; ^\; \{2\},\; t\; ^\; \{3\}\; \backslash \}\}$. Если мы допустим $PR\; 3\; =\; Proj\; (R\; [x\; 0,\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{Proj\}\}\; (R\; [x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}])\}$вложение дает следующие отношения:

$f\; 1\; =\; x\; 0\; x\; 3\; -\; x\; 1\; Икс\; 2\; е\; 2\; =\; Икс\; 1\; 2\; -\; Икс\; 0\; Икс\; 2\; е\; 3\; =\; Икс\; 2\; 2\; -\; Икс\; 1\; Икс\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\_\; \{1\}\; =\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{3\}\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; f\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{0\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; f\_\; \{3\}\; =\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, скрученная кубика является проективной схемой

$Proj\; (R\; [x\; 0,\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3]\; (f\; 1,\; f\; 2,\; е\; 3))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Proj\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; [x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}]\}\; \{(f\_\; \{1\; \},\; f\_\; \{2\},\; f\_\; \{3\})\}\}\; \backslash \; right)\}$

Объединение многообразий, различающихся размерностью

Еще один удобный способ построить неполное пересечение, которое никогда не может быть локальным полным пересечение - это объединение двух различных разновидностей, размеры которых не совпадают. Например, объединение линии и плоскости, пересекающейся в точке, является классическим примером этого явления. Он задается схемой

$Spec\; (C\; [x,\; y,\; z]\; (xz,\; yz))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y,\; z]\}\; \{(xz,\; yz)\}\}\; \backslash \; right)\}$

Полное пересечение имеет множественную степень, записанную как кортеж (правильно, хотя мультимножество ) степеней определяющих гиперповерхностей. Например, снова взяв квадрики в P, (2,2) - это мультистепень полного пересечения двух из них, которое, когда они находятся в общем положении, является эллиптической кривой. Числа Ходжа сложных гладких полных пересечений были разработаны Кунихико Кодаира.

Для более тонких вопросов необходимо более подробно рассмотреть характер пересечения. Может потребоваться, чтобы гиперповерхности удовлетворяли условию трансверсальности (например, их касательные пространства находятся в общем положении в точках пересечения). Пересечение может быть теоретико-схемным, другими словами, здесь однородный идеал, порожденный F i(X0,..., X n), может быть должен быть определяющим идеалом V, а не просто иметь правильный радикал. В коммутативной алгебре условие полного пересечения переводится в термины регулярной последовательности, что позволяет определить локальное полное пересечение или после некоторой локализации идеал имеет определяющие регулярные последовательности.

Гомология

Начиная с полных пересечений измерения $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$в $CP\; n\; +\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{CP\}\; ^\; \{n\; +\; m\}\}$- пересечение секций гиперплоскости, мы можем использовать теорему Лефшеца о гиперплоскости, чтобы вывести, что

$H\; 2\; k\; (X)\; =\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2k\}\; (X)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

для . Кроме того, можно проверить, что группы гомологий всегда без кручения, с помощью теоремы об универсальных коэффициентах. Это означает, что средняя группа гомологий определяется эйлеровой характеристикой пространства.

Характеристика Эйлера

Хирцебрух дал производящую функцию, вычисляющую размерность всех полных пересечений множественных степеней $(a\; 1,\dots ,\; ar)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{r\})\}$. Он читается как

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \chi \; (X\; n\; (a\; 1,\dots ,\; ar))\; zn\; =\; a\; 1\; \cdots \; ar\; (1\; -\; z)\; 2\; \prod \; i\; =\; 1\; r\; 1\; (1\; +\; (ai\; -\; 1)\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; chi\; (X\_\; \{n\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{r\}))\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{r\}\}\; \{(1-z)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1+\; (a\_\; \{i\}\; -\; 1)\; z)\}\}\}$

• Looijenga, EJN (1984), Изолированные особые точки на полных пересечениях, Серия лекций Лондонского математического общества, 77, Кембридж: Кембриджский университет Press, doi : 10.1017 / CBO9780511662720, ISBN 0-521-28674-3, MR 0747303
• Мейер, Кристиан (2005), Модульные трехмерные многообразия Калаби-Яу, 22, Монографии Института Филдса, стр. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
• Хюбш, Тристан, многообразия Калаби-Яу, Бестиарий для физиков, World Scientific, стр. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
• Эйлеровы характеристики полных пересечений (PDF), заархивировано из оригинального (PDF) на 2017-08-15

• Полные пересечения в Manifold Atlas