Градуированное кольцо

В математике, в частности абстрактной алгебре, градуированное кольцо представляет собой кольцо , такое, что основная аддитивная группа представляет собой прямую сумму абелевых групп $R\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\}$таких что $р\; я\; р\; j\; \subseteq \; р\; я\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\; R\_\; \{j\}\; \backslash \; substeq\; R\_\; \{i\; +\; j\}\}$. Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом. Разложение на прямую сумму обычно упоминается как градация или градация .

A оцениваемый модуль определяется аналогично (точное определение см. Ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства. Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$-алгебру.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли.

• 1 Первые свойства
• 2 Основные примеры
• 3 Градуированный модуль
• 4 Инварианты градуированных модулей
• 5 Градуированная алгебра
• 6 G-градуированные кольца и алгебры
  • 6.1 Антикоммутативность
  • 6.2 Примеры
• 7 Градуированный моноид
  • 7.1 Степенный ряд, индексированный градуированным моноидом
  • 7.2 Пример
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

Как правило, набор индексов оцениваемого кольца должен быть набором неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Так обстоит дело в этой статье.

Градуированное кольцо - это кольцо, которое разлагается в прямую сумму

$R\; =\; ⨁\; n\; =\; 0\; \infty \; R\; n\; =\; R\; 0\; \oplus \; R\; 1\; \oplus \; R\; 2\; \oplus \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; R\_\; \{n\}\; =\; R\_\; \{0\}\; \backslash \; oplus\; R\_\; \{1\}\; \backslash \; oplus\; R\_\; \{2\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; cdots\}$

из аддитивные группы, такие, что

$R\; m\; R\; n\; \subseteq \; R\; m\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{m\}\; R\_\; \{n\}\; \backslash \; substeq\; R\_\; \{m\; +\; n\}\}$

для любых неотрицательных целых чисел m и н.

Ненулевой элемент $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\}$называется однородным степени n. По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент a из R может быть однозначно записан как сумма $a\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; +\; \cdots \; +\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\}$, где каждый $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$либо 0, либо однороден степени i. Ненулевые $a\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$являются однородными компонентами a.

Вот некоторые основные свойства:

• $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$- подкольцо в R; в частности, мультипликативное тождество 1 является однородным элементом нулевой степени.
• Для любого n $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\}$является двусторонним $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$-модуль, и разложение прямой суммы представляет собой прямую сумму $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$- модулей.
• R является ассоциативной $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$-алгеброй.

идеальной $I\; \subseteq \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; substeq\; R\}$однородно, если для каждого $a\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; I\}$однородные компоненты $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$также относятся к $I.\; \{\backslash \; displaystyle\; I.\}$(эквивалентно, если это градуированный подмодуль R; см. § Градуированный модуль.) Пересечение однородного идеала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \}$с $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\}$- это $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$-подмодуль of $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\}$называется однородной частью степени n $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Однородный идеал - это прямая сумма его однородных частей.

Если I - двусторонний однородный идеал в R, то $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$также является градуированным кольцом, разложенным как

$R\; /\; I\; =\; ⨁\; N\; =\; 0\; \infty \; R\; n\; /\; I\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; R\_\; \{n\}\; /\; I\_\; \{n\},\}$

где $I\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{n\}\}$- однородная часть степени n числа I.

• Можно указать любое (не градуированное) кольцо R. градацию, позволяя $R\; 0\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\; =\; R\}$и $R\; i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\; =\; 0\}$для i ≠ 0. Это называется тривиальной градацией на R.
• Кольцо полиномов $R\; =\; k\; [t\; 1,\dots ,\; tn\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; k\; [t\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; t\_\; \{n\}]\}$оценивается на степень : это прямая сумма $R\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\}$, состоящий из однородных многочленов степени i.
• Пусть S - множество всех ненулевых однородных элементов в градуированном область целостности R. Тогда локализация R относительно S является $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$-градуированным кольцом.
• Если I - идеал в коммутативном кольце R, тогда $⨁\; 0\; \infty \; I\; n\; /\; I\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; I\; ^\; \{n\}\; /\; I\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$- градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом R вдоль I; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия, определенного в I.

Соответствующая идея в теории модулей - это идея градуированный модуль, а именно левый модуль M над градуированным кольцом R такой, что также

$M\; =\; ⨁\; i\; \in \; NM\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; M\_\; \{i\},\}$

и

$R\; i\; M\; j\; \subseteq \; M\; i\; +\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\; M\_\; \{j\}\; \backslash \; substeq\; M\_\; \{i\; +\; j\}.\}$

Пример : градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем ( с полем, имеющим тривиальную градуировку).

Пример : градуированное кольцо - это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннигилятор градуированного модуля является однородным идеалом.

Пример : даны идеал I в коммутативном кольце R и R-модуль M, прямая сумма $⨁\; n\; =\; 0\; \infty \; I\; n\; M\; /\; I\; n\; +\; 1\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; I\; ^\; \{n\}\; M\; /\; I\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; M\}$- градуированный модуль над ассоциированным градуированным кольцом $⨁\; 0\; \infty \; I\; n\; /\; I\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; I\; ^\; \{n\}\; /\; I\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$.

Морфизм $f:\; N\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; N\; \backslash \; to\; M\}$между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом, является морфизмом базовых модулей, учитывающим градуирование; то есть $f\; (N\; i)\; \subseteq \; M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (N\_\; \{i\})\; \backslash \; substeq\; M\_\; \{i\}\}$. Градуированный подмодуль - это подмодуль, который является самостоятельным градуированным модулем и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет $N\; i\; =\; N\; \cap \; M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{i\}\; =\; N\; \backslash \; cap\; M\_\; \{i\}\}$. Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.

Замечание: дать градуированный морфизм от градуированного кольца к другому градуированному кольцу с изображением, лежащим в центре, то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Учитывая оцененный модуль $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$-wist $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- это градуированный модуль, определяемый как $M\; (\ell )\; n\; =\; M\; n\; +\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (\backslash \; ell)\; \_\; \{n\}\; =\; M\_\; \{n\; +\; \backslash \; ell\}\}$. (см. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N - градуированные модули. Если $f:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; N\}$является морфизмом модулей, то говорят, что f имеет степень d, если $f\; (M\; n)\; \subseteq \; N\; n\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (M\_\; \{n\})\; \backslash \; substeq\; N\_\; \{n\; +\; d\}\}$. Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма, имеющего степень 1.

Для градуированного модуля M над коммутативным градуированное кольцо R, можно связать формальный степенной ряд $P\; (M,\; t)\; \in \; Z\; [[t]]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (M,\; t)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash !\; [t]\; \backslash \; !]\}$:

$п\; (M,\; t)\; =\; \sum \; \ell \; (M\; n)\; tn\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (M,\; t)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; ell\; (M\_\; \{n\})\; t\; ^\; \{n\}\}$

( предполагая, что $\ell \; (M\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; (M\_\; \{n\})\}$конечны.) Это называется рядом Гильберта – Пуанкаре M.

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если основной модуль конечно порожден. Генераторы можно считать однородными (заменяя генераторы их однородными частями).

Предположим, R - кольцо многочленов $k\; [x\; 0,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{\; 0\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\}$, поле ka и M конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция $n\; \mapsto \; dim\; k\; \; M\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; dim\; \_\; \{k\}\; M\_\; \{n\}\}$называется функцией Гильберта M. Функция совпадает с функцией целочисленный многочлен для больших n, называемый многочленом Гильберта от M.

алгебра A над кольцо R является градуированной алгеброй, если оно градуировано как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R является полем), ему дается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, $R\; \subseteq \; A\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; substeq\; A\_\; \{0\}\}$и оцененные фрагменты $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$являются R-модули.

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

$R\; i\; A\; j\; \subseteq \; A\; i\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\; A\_\; \{j\}\; \backslash \; substeq\; A\_\; \{\; i\; +\; j\}\}$

Другими словами, мы требуем, чтобы A был градуированным левым модулем над R.

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

• Кольца многочленов. Однородные элементы степени n - это в точности однородные многочлены степени n.
• тензорная алгебра $T\; \bullet \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{\backslash \; bullet\; \}\; V\}$векторного пространства V. Однородные элементы степени n - это тензоры порядка n, $T\; n\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{n\}\; V\}$.
• Внешняя алгебра $\bigwedge \; \bullet \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; \backslash \; nolimits\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; V\}$и симметричная алгебра $S\; \bullet \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; V\}$также являются градуированными алгебрами.
• Кольцо когомологий $H\; \bullet \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\}$в любом теория когомологий также градуирована, будучи прямой суммой групп когомологий $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\}$.

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраическая геометрия, гомологическая алгебра и алгебраическая топология. Одним из примеров является тесная взаимосвязь между однородными полиномами и проективными разновидностями (см. однородное координатное кольцо.)

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, классифицированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. A G-градуированное кольцо R - кольцо с разложением прямой суммы

$R\; =\; ⨁\; i\; \in \; GR\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; G\}\; R\_\; \{i\}\}$

такой, что

$R\; i\; R\; j\; \subseteq \; R\; i\; \cdot \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\; R\_\; \{j\}\; \backslash \; substeq\; R\_\; \{i\; \backslash \; cdot\; j\}.\}$

Элементы R, лежащие внутри $R\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{i\}\}$для некоторых $i\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; G\}$считаются однородными из степени i.

Ранее определенное понятие "градуированного кольца" теперь становится тем же, что и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$-градуированное кольцо, где $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$- это моноид неотрицательных целых чисел при сложении. Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексации $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$любым моноидом G.

Примечания:

• Если мы не требуем, чтобы кольцо имело элемент идентичности, полугруппы могут заменить моноиды.

Примеры:

• Группа естественным образом оценивает соответствующее групповое кольцо ; аналогично, кольца моноидов классифицируются соответствующим моноидом.
• (ассоциативная) супералгебра - это еще один термин для $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}$ -градуированная алгебра. Примеры включают алгебры Клиффорда. Здесь однородные элементы имеют степень 0 (четность) или 1 (нечетность).

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид $Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, поле с двумя элементами. В частности, моноид со знаком состоит из пары $(\Gamma ,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Gamma,\; \backslash \; varepsilon)\}$, где $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \}$является моноидом и $\epsilon :\; \Gamma \; \to \; Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$- гомоморфизм аддитивных моноидов. антикоммутативное $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$-градуированное кольцо - это кольцо A, градуированное относительно Γ, такое что:

$xy\; =\; (-\; 1)\; \epsilon \; (\; deg\; \; x)\; \epsilon \; (deg\; \; y)\; yx,\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\; (\backslash \; deg\; x)\; \backslash \; varepsilon\; (\backslash \; deg\; y)\}\; yx,\}$

для всех однородных элементов x и у.

Примеры

• Внешняя алгебра - это пример антикоммутативной алгебры, градуированной по структуре $(Z,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; \backslash \; varepsilon)\}$где $\epsilon :\; Z\; \to \; Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$- фактор-отображение.
• A суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косо-коммутативным ассоциативным кольцом ) - это то же самое, что и антикоммутативная $(Z,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\},\; \backslash \; varepsilon)\}$-градуированная алгебра, где $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- тождество эндоморфизм аддитивной структуры $Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.

Интуитивно понятно, что градуированный моноид - подмножество градуированного кольца, $⨁\; n\; \in \; N\; 0\; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}\; R\_\; \{n\}\}$, созданный тегами $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\}$, без использования добавления Итивная часть. То есть набор элементов градуированного моноида равен $\bigcup \; n\; \in \; N\; 0\; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}\; R\_\; \{n\}\}$.

Формально градуированный моноид - это моноид $(M,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; \backslash \; cdot)\}$с функцией градации $\varphi :\; M\; \to \; N\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi:\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\}\}$такой, что $\varphi \; (m\; \cdot \; m\; \prime )\; =\; \varphi \; (m)\; +\; \varphi \; (m\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\; m\; \backslash \; cdot\; m\; \text{'})\; =\; \backslash \; phi\; (m)\; +\; \backslash \; phi\; (m\text{'})\}$. Обратите внимание, что градация $1\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\_\; \{M\}\}$обязательно равна 0. Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы $\varphi \; (m)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (m)\; \backslash \; neq\; 0\}$, когда m не является идентификатором.

Предполагая, что градации неидентификационных элементов не равны нулю, количество элементов градации n не превышает $gn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{n\}\}$где g - мощность генератора G моноида. Следовательно, количество элементов градации n или меньше не превышает $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$(для $g\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 1\}$) или $gn\; +\; 1\; -\; 1\; g\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; -1\}\; \{g-1\}\}\}$else. В самом деле, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G и только $gn\; +\; 1\; -\; 1\; g\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; -1\}\; \{g-1\; \}\}\}$такие продукты существуют. Точно так же элемент идентичности не может быть записан как продукт двух неидентификационных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет делителя единицы.

Силовой ряд, индексированный градуированным моноидом

Это понятие позволяет расширить понятие кольца степенного ряда. Вместо того, чтобы семейство индексирования было $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, семейство индексирования могло бы быть любым градуированным моноидом, предполагая, что количество элементов степени n конечно для каждого целое число n.

Более формально, пусть $(K,\; +\; K,\; \times \; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; (K,\; +\; \_\; \{K\},\; \backslash \; times\; \_\; \{K\})\}$будет произвольное полукольцо и $(R,\; \cdot ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (R,\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; phi)\}$градуированный моноид. Тогда $K\; ⟨⟨R⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; R\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$обозначает полукольцо степенного ряда с коэффициентами в K, индексированными R. Его элементами являются функции из R к K. Сумма двух элементов $s,\; s\; \prime \; \in \; K\; ⟨⟨R⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; s,\; s\; \text{'}\backslash \; in\; K\; \backslash \; langle\; \backslash \; langle\; R\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}$определяется точечно это функция, отправляющая $m\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; R\}$в $s\; (m)\; +\; K\; s\; \prime \; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (m)\; +\; \_\; \{K\}\; s\; \text{'}(м)\}$. А продукт - это функция, отправляющая $m\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; R\}$в бесконечную сумму $\sum \; p,\; q\; \in \; R,\; p\; \cdot \; q\; =\; ms\; (p)\; \times \; К\; s\; \prime \; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p,\; q\; \backslash \; in\; R,\; p\; \backslash \; cdot\; q\; =\; m\}\; s\; (p)\; \backslash \; times\; \_\; \{K\}\; s\; \text{'}(q)\}$. Эта сумма правильно определена (т.е. конечна), потому что для каждого m существует только конечное число пар (p, q) таких, что pq = m.

Пример

В теории формального языка, для данного алфавита A, свободный моноид слов над A может рассматриваться как градуированный моноид, где градацией слова является его длина.

• Ассоциированное градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра, обобщение
• Градуированная (математика)
• Градуированная категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференциальный градуированный модуль

• Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Третья редакция ред.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556.
• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I ( Главы 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Глава 3, Раздел 3.
• H. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.