Cofinality

редактировать

В математике, особенно в теории порядка, cofinality cf (A) частично упорядоченного набора A - наименьшее из мощностей cofinal подмножеств A.

Это определение cofinality полагается на аксиому выбора , так как она использует тот факт, что каждый непустой набор кардинальных чисел имеет наименьший член. В качестве альтернативы конфинальность частично упорядоченного множества A может быть определена как наименьшее порядковое число x, такое, что существует функция от x до A с окончательным изображением. Это второе определение имеет смысл без аксиомы выбора. Если принять аксиому выбора, как будет в остальной части этой статьи, то эти два определения эквивалентны.

Конфинальность может быть аналогичным образом определена для направленного набора и используется для обобщения понятия подпоследовательности в сети.

Содержание

1 Примеры
2 Свойства
3 Конечность ординалов и других упорядоченных множеств
4 Регулярные и единственные ординалы
5 Конечность кардиналов
6 См. Также
7 Ссылки

Примеры

Конфинальность частично упорядоченного набора с наибольшим элементом равна 1, поскольку набор, состоящий только из наибольшего элемента, является конфинальным (и должен содержаться в каждом другом конфинальном подмножестве).
- В частности, конфинальность любого ненулевого конечного ординала или любого конечного ориентированного множества равна 1, поскольку такие множества имеют наибольший элемент.
Каждое конфинальное подмножество частично упорядоченного множества должно содержать все максимальные элементы этого набора. Таким образом, конфинальность конечного частично упорядоченного множества равна количеству его максимальных элементов.
- В частности, пусть A будет набором размера n, и рассмотрим набор подмножеств A, содержащий не более m элементов. Это частично упорядочено относительно включения, и подмножества с m элементами максимальны. Таким образом, конфинальность этого чугуна равна n choose m.
Подмножество натуральных чисел N является конфинальным в N тогда и только тогда, когда оно бесконечно, и, следовательно, конфинальность из 0 равно ℵ 0. Таким образом, ℵ 0 является обычным кардиналом.
Конфинальность вещественных чисел с их обычным порядком составляет ℵ 0, поскольку N является окончательным в R . Обычный порядок R не является порядком, изоморфным c, мощности действительных чисел, которая имеет конфинальность строго больше, чем ℵ 0. Это демонстрирует, что конфинальность зависит от порядка; разные порядки в одном наборе могут иметь разную конфинальность.

Свойства

Если A допускает полностью упорядоченное финальное подмножество, то мы можем найти подмножество B, которое хорошо упорядочено и окончательно в A. Любое подмножество B также упорядочено. Два конфинальных подмножества B с минимальной мощностью (т. Е. Их мощность является конфинальностью B) не обязательно должны быть изоморфны по порядку (например, если $B = ω + ω {\ displaystyle B = \ omega + \ omega}$ ${\ displaystyle B = \ omega + \ omega}$ , то оба $ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}$ $\ omega + \ omega$ и ${ω + n: n < ω } {\displaystyle \{\omega +n:n<\omega \}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega + n: n <\ omega \}}$ , рассматриваемые как подмножества B, имеют счетные мощности конфинальности B, но не изоморфны по порядку.) Но конфинальные подмножества B с типом минимального порядка будут изоморфны по порядку.

Конечность порядковых номеров и других упорядоченных множеств

Конечность порядкового номера α - это наименьший порядковый номер δ, который является типом порядка финальное подмножество α. Конфинальность набора порядковых номеров или любого другого хорошо упорядоченного набора - это конфинальность типа заказа этого набора.

Таким образом, для предельного ординала α существует δ-индексированная строго возрастающая последовательность с пределом α. Например, конфинальность ω² равна ω, потому что последовательность ω · m (где m пробегает натуральные числа) стремится к ω²; но в более общем смысле любой счетный предельный ординал имеет конфинальность ω. Неисчислимый предельный ординал может иметь либо конфинальность ω, как ω ω, либо бесчисленную конфинальность.

Конфинальность 0 равна 0. Конфинальность любого порядкового номера-преемника равна 1. Конфинальность любого ненулевого предельного ординала является бесконечным регулярным кардиналом.

Регулярные и единственные порядковые числа

A правильные порядковые числа - порядковые числа, которые равны своей конфинальности. Ординал в единственном числе - это любой ординал, который не является правильным.

Каждый правильный порядковый номер - это начальный порядковый номер кардинала. Любой предел обычных порядковых номеров является пределом начальных порядковых номеров и, следовательно, также является начальным, но не обязательно должен быть регулярным. Если принять аксиому выбора, $ω α + 1 {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha +1}}$ $\ omega _ {\ alpha +1}$ регулярно для каждого α. В этом случае порядковые номера 0, 1, $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ и $ω 2 {\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ являются обычными, тогда как 2, 3, $ω ω {\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ $\ omega _ {\ omega}$ и ω ω · 2 - начальные ординалы, которые не являются правильными.

Конфинальность любого ординала α является правильным ординалом, то есть конфинальность конфинальности α такая же, как конфинальность α. Таким образом, операция конфинальности является идемпотентной.

Конфинальностью кардиналов

Если κ - бесконечное кардинальное число, то cf (κ) является наименьшим кардиналом таким, что существует неограниченное функция от cf (κ) до κ; cf (κ) - это также мощность наименьшего набора строго меньших кардиналов, сумма которых равна κ; точнее

c f (κ) = min {c a r d (I) | κ = ∑ i ∈ I λ iи (∀ i) (λ i < κ) } {\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa)=\min \left\{\mathrm {card} (I)\ |\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \mathrm {and} \ (\forall i)(\lambda _{i}<\kappa)\right\}}

\ mathrm {cf} (\ kappa) = \ min \ left \ {\ mathrm { card} (I) \ | \ \ kappa = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} \ mathrm {and} \ (\ forall i) (\ lambda _ {i} <\ kappa) \ вправо \}

непустое множество выше происходит из-за того, что

κ = ⋃ i ∈ κ {i} {\ displaystyle \ kappa = \ bigcup _ {i \ in \ kappa} \ {i \}}

\ kappa = \ bigcup _ { i \ in \ kappa} \ {i \}

т.е. дизъюнктное объединение одноэлементных множеств κ. Отсюда немедленно следует, что cf (κ) ≤ κ. Конфинальность любого полностью упорядоченного множества равна регулярным, поэтому cf (κ) = cf (cf (κ)).

Используя теорему Кёнига, можно доказать κ < κ and κ < cf(2) for any infinite cardinal κ.

Последнее неравенство означает, что конфинальность мощность континуума должна быть неисчислимой. С другой стороны,

ℵ ω = ⋃ n < ω ℵ n {\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}}

\ aleph _ {\ omega} = \ bigcup _ {n <\ omega} \ aleph _ {n}

порядковое число ω является первым бесконечным порядковым номером, так что кофинальность $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ - это карта (ω) = $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ . (В частности, $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ в единственном числе.) Следовательно,

2 ℵ 0 ≠ ℵ ω. {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ { \ omega}.}

2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}.

(Сравните с гипотезой континуума, которая утверждает, что $2 ℵ 0 = ℵ 1 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$ $2 ^ {\ aleph _ { 0}} = \ aleph _ {1}$ .)

Обобщая этот аргумент, можно доказать, что для предельного порядкового номера δ

cf (ℵ δ) = cf (δ) {\ displaystyle \ mathrm {cf} (\ aleph _ {\ delta}) = \ mathrm {cf} (\ delta)}

\ mathrm {cf} (\ aleph _ {\ delta}) = \ mathrm {cf} (\ delta)

С другой стороны, если аксиома выбора выполняется, то для преемника или нулевого порядкового номера δ

cf (ℵ δ) = ℵ δ {\ displaystyle \ mathrm {cf} (\ aleph _ {\ delta}) = \ aleph _ {\ delta}}

{\ displaystyle \ mathrm { cf} (\ aleph _ {\ delta}) = \ aleph _ {\ delta}}

См. также

Первоначальный порядковый номер

Ссылки

Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.