Центральная сила

Центральная сила на объект - это сила, которая направлена ​​вдоль линии, соединяющей объект и начало координат

В классическая механика, центральная сила на объекте - это сила, которая направлена ​​вдоль линии, соединяющей объект и начало координат:

$F\; \to \; =\; F\; (г)\; знак\; равно\; F\; (г)\; р\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\; \}\}\}\}$

где $F\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}\}$- сила, F - векторная силовая функция, F - скалярная силовая функция, r - вектор положения, || r || - его длина, а $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$= r/ || r || - соответствующий единичный вектор.

Не все центральные силовые поля консервативны или сферически симметричны. Однако центральная сила является консервативной тогда и только тогда, когда она сферически симметрична.

• 1 Свойства
• 2 Примеры
• 3 Примечания
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Центральные силы, которые являются консервативными, всегда могут быть выражены как отрицательный градиент потенциальной энергии : -

$F\; (r)\; =\; -\; \nabla \; V\; (r),\; где\; V\; (r)\; =\; \int \; |\; г\; |\; +\; \infty \; F\; (r)\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \{\backslash \; text\; \{,\; где\}\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; |\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; F\; (r)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\}$

(верхняя граница интегрирования произвольна, так как потенциал определяется от до аддитивной постоянной).

В консервативном поле общая механическая энергия (кинетическая и потенциальная) сохраняется:

$E\; =\; 1\; 2\; м\; |\; r\; \dot{}\; |\; 2\; +\; V\; (r)\; =\; константа\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; |\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\; \backslash \; text\; \{constant\}\}\}$

(где ṙ обозначает производную от r по времени, то есть скорость ), а также в центральном силовом поле угловой момент :

$L\; =\; r\; \times \; mr\; \dot{}\; =\; constant\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; m\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$

, потому что крутящий момент, создаваемый силой, равен нулю. Как следствие, тело движется по плоскости, перпендикулярной вектору углового момента и содержащей начало координат, и подчиняется второму закону Кеплера. (Если угловой момент равен нулю, тело движется по линии, соединяющей его с началом координат.)

Также можно показать, что объект, который движется под действием любой центральной силы, подчиняется второму закону Кеплера. Однако первый и третий законы зависят от природы обратных квадратов закона всемирного тяготения Ньютона и в целом не выполняются для других центральных сил.

Вследствие консервативности эти специфические центральные силовые поля являются безвихревыми, то есть его curl равен нулю, за исключением начала координат:

$\nabla \; \times \; F\; (r)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \{\backslash \; text\; \{.\}\}\}$

гравитационная сила и кулон force - два знакомых примера, где $F\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$пропорционально только 1 / r. Объект в таком силовом поле с отрицательным $F\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$(соответствующий силе притяжения) подчиняется законам движения планет Кеплера..

Силовое поле пространственного гармонического осциллятора является центральным с $F\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$пропорционально только r и отрицательный.

Согласно теореме Бертрана эти два, $F\; (r)\; =\; -\; k\; /\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; k\; /\; r\; ^\; \{\; 2\}\}$и $F\; (r)\; =\; -\; kr\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; kr\}$, являются единственными возможными центральными силовыми полями, где все ограниченные орбиты являются стабильными замкнутыми орбитами. Однако существуют и другие силовые поля, у которых есть замкнутые орбиты.

В этой статье используется определение центральной силы, данное у Тейлора. Другое распространенное определение (используемое в ScienceWorld) добавляет ограничение, согласно которому сила должна быть сферически симметричной, то есть $F\; \to \; =\; F\; (r)\; =\; F\; (|\; |\; r\; |\; |)\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; F\; (||\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ||)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$.

• Классическая центральная сила проблема
• Частица в сферически-симметричном потенциале

1. ^ Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика. Саусалито, Калифорния: Univ. Научные книги. п. 93. ISBN 1-891389-22-X.
2. ^Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика. Саусалито, Калифорния: Univ. Научные книги. С. 133–38. ISBN 1-891389-22-X.
3. ^Эрик У. Вайстейн (1996–2007). "Центральная сила". ScienceWorld. Wolfram Research. Проверено 18 августа 2008 г.