Процесс Коши

редактировать

В теории вероятности процесс Коши является типом стохастического процесс. Существуют симметричная и асимметричная формы процесса Коши. Неуказанный термин «процесс Коши» часто используется для обозначения симметричного процесса Коши.

Процесс Коши имеет ряд свойств:

Симметричный процесс Коши

Симметричный процесс Коши может описываться броуновским движением или винеровским процессом при подчинении Леви подчиненного. Подчиненный Леви - это процесс, связанный с распределением Леви, имеющим параметр местоположения $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ и параметр масштаба $t 2/2 {\ стиль отображения t ^ {2} / 2}$ $t ^ {2 } / 2$ . Распределение Леви является частным случаем обратного гамма-распределения. Таким образом, используя $C {\ displaystyle C}$ $C$ для представления процесса Коши и $L {\ displaystyle L}$ $L$ для представления подчиненного Леви, симметричный процесс Коши может описывается как:

C (t; 0, 1): = W (L (t; 0, t 2/2)). {\ displaystyle C (t; 0,1) \;: = \; W (L (t; 0, t ^ {2} / 2)).}

C (t; 0,1) \;: = \; W (L (t; 0, t ^ {2} / 2)).

Распределение Леви - это вероятность первого совпадения для броуновского движения, и, таким образом, процесс Коши по существу является результатом двух независимых процессов броуновского движения.

Представление Леви – Хинчина для симметричного процесса Коши имеет вид триплет с нулевым дрейфом и нулевой диффузией, что дает триплет Леви – Хинчина $(0, 0, W) {\ displaystyle (0,0, W)}$ $(0,0, W)$ , где $W ( dx) = dx / (π x 2) {\ displaystyle W (dx) = dx / (\ pi x ^ {2})}$ $W (dx) = dx / (\ pi x ^ { 2})$ .

Маргинальная характеристическая функция симметричного процесса Коши имеет форма:

E ⁡ [ei θ X t] = e - t | θ |. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = e ^ {- t | \ theta |}.}

\ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {{i \ theta X_ {t} }} {\ Big]} = e ^ {{- t | \ theta |}}.

Маргинальное поле Распределение вероятностей симметричного процесса Коши - это распределение Коши, плотность которого равна

f (x; t) = 1 π [tx 2 + t 2]. {\ displaystyle f (x; t) = {1 \ over \ pi} \ left [{t \ over x ^ {2} + t ^ {2}} \ right].}

f (x; t) = {1 \ over \ pi} \ left [{t \ over x ^ {2} + t ^ {2}} \ right].

Асимметричный процесс Коши

Асимметричный процесс Коши определяется с помощью параметра $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Здесь $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - параметр асимметрии, и его абсолютное значение должно быть меньше или равно 1. В этом случае где $| β | = 1 {\ displaystyle | \ beta | = 1}$ $| \ beta | = 1$ процесс считается полностью асимметричным процессом Коши.

Триплет Леви – Хинчина имеет вид $(0, 0, W) {\ displaystyle (0,0, W)}$ $(0,0, W)$ , где $W (dx) = {A x - 2 dx, если x>0 B x - 2 dx, если x < 0 {\displaystyle W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx{\text{if }}x>0 \\ Bx ^ {- 2} \, dx {\ text {if}} x <0\end{cases}}}$ $W(dx)={\begin{cases}Ax^{{-2}}\,dx{\text{if }}x>0 \\ Bx ^ {{- 2}} \, dx {\ text {if}} x <0\end{cases}}$ , где $A ≠ B {\ displaystyle A \ neq B}$ $A \ neq B$ , $A>0 {\ displaystyle A>0}$ $A>0$ и $B>0 {\ displaystyle B>0}$ $B>0$ .

Учитывая это, $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ является функцией $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ .

характеристической функции асимметричного распределения Коши имеет вид:

E ⁡ [ei θ X t] = e - t (| θ | + i β θ ln ⁡ | θ | / (2 π)). {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = e ^ {- t (| \ theta | + i \ beta \ theta \ ln | \ theta | / (2 \ pi))}.}

\ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {{i \ theta X_ {t}}} {\ Big]} = e ^ {{- t (| \ theta | + i \ beta \ theta \ ln | \ theta | / (2 \ pi))}}.

Маргинальное распределение вероятностей асимметричного процесса Коши - это стабильное распределение с индексом устойчивости (т. е. параметром α), равным 1.

Ссылки