Измерение Бесова

редактировать

В математике - в частности, в областях теории вероятностей и обратных задач - меры Бесова и связанных Случайные величины с распределением Бесова являются обобщением понятий гауссовских мер и случайных величин, распределений Лапласа и других классических распределений. Они особенно полезны при изучении обратных задач на функциональных пространствах, для которых гауссовский байесовский априор является неподходящей моделью. Построение меры Бесова аналогично построению пространства Бесова, отсюда и номенклатура.

Определения

Пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет разделимым гильбертовым пространством функций, определенных на домен $D ⊆ R d {\ displaystyle D \ substeq \ mathbb {R} ^ {d}}$ $D \ substeq \ mathbb {R } ^ {d}$ , и пусть ${en ∣ n ∈ N} {\ displaystyle \ {e_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$ $\ {e_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}$ быть полным ортонормированным базисом для $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Пусть $s ∈ R {\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$ $s \ in \ mathbb {R}$ и $1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $1 \ leq p <\ infty$ . Для $u = ∑ n ∈ N unen ∈ H {\ displaystyle u = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} \ in H}$ $u = \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} \ в H$ , определите

‖ u ‖ X s, p = ‖ ∑ n ∈ N unen ‖ X s, p: = (∑ n = 1 ∞ n (psd + p 2 - 1) | un | p) 1 / p. {\ displaystyle \ | u \ | _ {X ^ {s, p}} = \ left \ | \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} \ right \ | _ { X ^ {s, p}}: = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {({\ frac {ps} {d}} + {\ frac {p} {2}) } -1)} | u_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}.}

\ | u \ | _ {X ^ {s, p}} = \ left \ | \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} u_ {n} e_ {n} \ right \ | _ {X ^ {s, p}}: = \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty } n ^ {(\ frac {ps} {d} + \ frac {p} {2} - 1)} | u_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}.

Это определяет норму в подпространстве $H {\ displaystyle H}$ $H$ , для которого он конечен, и пусть $X s, p {\ displaystyle X ^ {s, p}}$ $X ^ {s, p}$ обозначает завершение этого подпространства относительно этой новой нормы. Мотивация для этих определений проистекает из того факта, что $‖ u ‖ X s, p {\ displaystyle \ | u \ | _ {X ^ {s, p}}}$ $\ | u \ | _ {X ^ {s, p}}$ эквивалентно норме из $u {\ displaystyle u}$ $u$ в пространстве Бесова $B pps (D) {\ displaystyle B_ {pp} ^ {s} (D)}$ $B_{pp}^{s}(D)$ .

Пусть $κ>0 {\ displaystyle \ kappa>0}$ $\kappa>0$ - параметр масштаба, аналогичный точности (обратной величине дисперсии ) гауссовской меры. Теперь мы определяем $X s, p {\ displaystyle X ^ {s, p}}$ $X ^ {s, p}$ -значная случайная величина $u {\ displaystyle u}$ $u$ by

u: = ∑ n ∈ N n - (sd + 1 2 - 1 п) κ - 1 п ξ nen, {\ displaystyle u: = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} n ^ {- ({\ frac {s} {d}} + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {p}})} \ kappa ^ {- {\ frac {1} {p}}} \ xi _ {n} e_ {n},}

u: = \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} n ^ {- (\ frac {s} {d} + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {p})} \ kappa ^ {- \ frac {1} {p}} \ xi_ {n} e_ {n},

где $ξ 1, ξ 2,… {\ displaystyle \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ dots}$ $\ xi_ {1}, \ xi_ {2}, \ dots$ выбираются независимо и одинаково из обобщенной гауссовской меры на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ с функцией плотности вероятности Лебега , пропорциональной $exp ⁡ (- 1 2 | ξ n | п) {\ displaystyle \ exp (- {\ tfrac {1} {2}} | \ xi _ {n} | ^ {p})}$ $\ exp (- \ tfrac {1} {2} | \ xi_ {n} | ^ {p})$ . Неформально можно сказать, что $u {\ displaystyle u}$ $u$ имеет функцию плотности вероятности, пропорциональную $exp ⁡ (- κ 2 ‖ u ‖ X s, pp) {\ displaystyle \ exp (- {\ tfrac {\ kappa} {2}} \ | u \ | _ {X ^ {s, p}} ^ {p})}$ $\ exp (- \ tfrac {\ kappa} {2} \ | u \ | _ {X ^ {s, p}} ^ {p})$ относительно бесконечномерной меры Лебега (, что не имеет строгого смысла ), и поэтому является естественным кандидатом на «типичный» элемент $X s, p {\ displaystyle X ^ {s, p}}$ $X ^ {s, p}$ (хотя это не совсем так - см. ниже).

Свойства

Легко показать, что, когда t ≤ s, норма X конечна, когда норма X равна. Следовательно, пространства X и X вложены:

X s, p ⊆ X t, p, когда t ≤ s. {\ displaystyle X ^ {s, p} \ substeq X ^ {t, p} {\ t_dv {when}} t \ leq s.}

{\ displaystyle X ^ {s, p} \ substeq X ^ {t, p} {\ t_dv {when}} t \ leq s.}

Это согласуется с обычным вложением классов гладкости функций f: D → R : например, пространство Соболева H (D) является подпространством H (D) и, в свою очередь, пространства Лебега L (D) = H (D); пространство Гельдера C (D) непрерывно дифференцируемых функций является подпространством пространства C (D) непрерывных функций.

Можно показать, что ряд, определяющий u, сходится в X почти наверняка для любого t почти наверняка не в меньшем пространстве X. Пространство X скорее является пространством Камерона-Мартина этой вероятностной меры в гауссовском случай p = 2. Случайная величина u называется распределенной Бесова с параметрами (κ, s, p), а индуцированная вероятностная мера называется мерой Бесова. .

~~Ссылки~~

Дашти, Масуме; Харрис, Стивен; Стюарт, Эндрю М. (2012). «Априоры Бесова для байесовских обратных задач». Обратные задачи и изображения. 6 (2): 183–200. arXiv : 1105.0889. doi : 10.3934 / ipi.2012.6.183. ISSN 1930-8337. MR 2942737. S2CID 88518742.
Лассас, Матти; Саксман, Ээро; Силтанен, Самули (2009). «Дискретно-инвариантное байесовское обращение и априорные значения пространства Бесова». Обратные задачи и изображения. 3 (1): 87–122. arXiv : 0901.4220. doi : 10.3934 / ipi.2009.3.87. ISSN 1930-8337. MR 2558305. S2CID 14122432.