Асимптотическое измерение

редактировать

В метрической геометрии, асимптотическое измерение метрического пространства является крупномасштабным аналогом размерности покрытия Лебега. Понятие асимптотической размерности было введено мной Михаилом Громовым в его монографии 1993 г. Асимптотические инварианты бесконечных групп в контексте геометрической теории групп как квазиизометрии инвариант конечно порожденных групп. Как показал Гуолян Ю, конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Асимптотическая размерность в геометрической теории групп
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Формальное определение

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет метрическим пробелом и $n ≥ 0 {\ displaystyle n \ geq 0}$ $n \ geq 0$ быть целым числом. Мы говорим, что $asdim (X) ≤ n {\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ , если для каждого $R ≥ 1 {\ displaystyle R \ geq 1}$ ${\ displaystyle R \ geq 1}$ существует равномерно ограниченная крышка $U {\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ of $X {\ displaystyle X}$ $X$ такая, что каждое закрытое $R {\ displaystyle R}$ $R$ -шар в $X {\ displaystyle X}$ $X$ пересекает не более $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ подмножества из $U {\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ . Здесь «равномерно ограниченный» означает, что $sup U ∈ U diam (U) < ∞ {\displaystyle sup_{U\in {\mathcal {U}}}diam(U)<\infty }$ ${\ displaystyle sup_ {U \ in {\ ma thcal {U}}} диаметр (U) <\ infty}$ .

Затем мы определяем асимптотическую размерность $asdim (X) {\ displaystyle asdim (X)}$ ${\ displaystyle asdim (X)}$ как наименьшее целое число $n ≥ 0 {\ displaystyle n \ geq 0}$ $n \ geq 0$ такое, что $asdim (X) ≤ n {\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ , если существует хотя бы один такой $n {\ displaystyle n}$ $n$ , и определите $asdim (X): = ∞ {\ displaystyle asdim (X): = \ infty}$ ${\ displaystyle asdim (X): = \ infty}$ иначе.

Также говорят, что семейство метрических пространств $(X i) i ∈ I {\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}$ удовлетворяет $asdim (X) ≤ n {\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ равномерно, если для каждого $R ≥ 1 {\ displaystyle R \ geq 1}$ ${\ displaystyle R \ geq 1}$ и для каждого $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ существует обложка $U i {\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {i}}$ из $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ на наборы диаметров не более $D (R) < ∞ {\displaystyle D(R)<\infty }$ ${\ displaystyle D (R) <\ infty}$ (независимо от $i {\ displaystyle i}$ $я$ ) так, что каждый замкнутый $R {\ displaystyle R}$ $R$ -шар в $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ пересекает большинство $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ подмножеств из $U i {\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {i}}$ .

Примеры

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - метрическое пространство ограниченного диаметра, тогда $asdim (X) = 0 {\ displaystyle asdim (X) = 0}$ ${\ displaystyle asdim (X) = 0}$ .
$asdim (R) = asdim (Z) = 1 {\ displaystyle asdim (\ mathbb {R}) = asdim (\ mathbb {Z}) = 1}$ ${\ displaystyle asdim (\ mathbb {R}) = asdim (\ mathbb {Z}) Знак равно 1}$ .
$asdim (р n) = n {\ displaystyle asdim (\ mathbb {R} ^ {n}) = n}$ ${\ displaystyle asdim (\ mathbb {R} ^ {n}) = n}$ .
$asdim (H n) = n {\ displaystyle asdim (\ mathbb {H} ^ {n}) = n}$ ${\ displaystyle asdim (\ mathbb {H} ^ {n}) = n }$ .

Свойства

Если $Y ⊆ X {\ displaystyle Y \ substeq X}$ $Y \ substeq X$ является подпространством метрического пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ , тогда $asdim (Y) ≤ asdim (X) {\ displaystyle asdim (Y) \ leq asdim (X)}$ ${\ displaystyle asdim (Y) \ leq asdim (X)}$ .
Для любых метрических пространств $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ один имеет $asdim (X × Y) ≤ asdim (X) + asdim (Y) {\ displaystyle asdim (X \ times Y) \ leq asdim (X) + asdim (Y)}$ ${\ displaystyle asdim (X \ times Y) \ leq asdim (X) + asdim (Y) }$ .
Если $A, B ⊆ X {\ displaystyle A, B \ substeq X}$ $A, B \ substeq X$ , то $asdim (A ∪ B) ≤ max {asdim (A), asdim (B)} {\ displaystyle asdim (A \ cup B) \ leq \ max \ {asdim (A), asdim (B) \}}$ ${\ displaystyle asdim (A \ cup B) \ leq \ max \ {asdim (A), asdim (B) \}}$ .
Если $f : Y → X {\ displaystyle f: Y \ to X}$ ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ - грубое вложение (например, квазиизометрическое вложение), то $asdim (Y) ≤ asdim (X) {\ displaystyle asdim (Y) \ leq asdim (X)}$ ${\ displaystyle asdim (Y) \ leq asdim (X)}$ .
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ являются примерно эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), тогда $asdim (X) = asdim (Y) {\ displaystyle asdim (X) = asdim (Y)}$ ${\ displaystyle asdim (X) = asdim (Y)}$ .
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является реальным деревом, то $asdim (X) ≤ 1 {\ displaystyle asdim (X) \ leq 1}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq 1}$ .
Пусть $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ будет липшицевой картой из геодезического метрического пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ в метрическое пространство $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Предположим, что для каждого $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ семейство наборов ${f - 1 (B r (y))} y ∈ Y {\ displaystyle \ {f ^ {- 1} (B_ { r} (y)) \} _ {y \ in Y}}$ ${\ displaystyle \ {f ^ {- 1} (B_ {r} (y)) \} _ {y \ in Y}}$ равномерно удовлетворяет неравенству $asdim ≤ n {\ displaystyle asdim \ leq n}$ ${\ displaystyle asdim \ leq n}$ . Тогда $asdim (X) ≤ asdim (Y) + n. {\ displaystyle asdim (X) \ leq asdim (Y) + n.}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq asdim (Y) + n.}$ См.
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - метрическое пространство с $asdim (X) < ∞ {\displaystyle asdim(X)<\infty }$ ${\ d isplaystyle asdim (X) <\ infty}$ , тогда $X {\ displaystyle X}$ $X$ допускает грубое (равномерное) вложение в Гильберта пробел.
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это метрическое пространство ограниченной геометрии с $asdim (X) ≤ n {\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ ${\ displaystyle asdim (X) \ leq n}$ , затем $X {\ displaystyle X}$ $X$ допускает грубое вложение в произведение $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ локально конечный симплициальный tr ees.

Асимптотическая размерность в геометрической теории групп

Асимптотическая размерность приобрела особое значение в геометрической теории групп после статьи 1998 года Гуолян Ю, в которой было доказано, что если $G {\ displaystyle G}$ $G$ - конечно порожденная группа конечного гомотопического типа (то есть с классифицирующим пространством гомотопического типа конечного CW-комплекса) такая, что $asdim (G) < ∞ {\displaystyle asdim(G)<\infty }$ ${\ displaystyle asdim (G) <\ infty}$ , то $G {\ displaystyle G}$ $G$ удовлетворяет гипотезе Новикова. Как было показано впоследствии, конечно порожденные группы с конечной асимптотической размерностью топологически аменабельны, т. Е. Удовлетворяют введенному в Гуоляну Ю свойству A, эквивалентному точности приведенной C * -алгебры группы.

Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ является словесно-гиперболической группой, то $asdim (G) < ∞ {\displaystyle asdim(G)<\infty }$ ${\ displaystyle asdim (G) <\ infty}$ .
Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ является относительно гиперболическим по отношению к подгруппам $H 1,…, H k {\ displaystyle H_ {1}, \ dots, H_ {k}}$ ${\ displaystyle H_ { 1}, \ точки, H_ {k}}$ каждый из которых имеет конечную асимптотическую размерность, тогда $asdim (G) < ∞ {\displaystyle asdim(G)<\infty }$ ${\ displaystyle asdim (G) <\ infty}$ .
$asdim (Z n) = n {\ displaystyle asdim (\ mathbb {Z} ^ {n}) = n}$ ${\ displaystyle asdim (\ mathbb {Z} ^ {n}) = n}$ .
Если $H ≤ G {\ displaystyle H \ leq G}$ $H \ leq G$ , где $H, G {\ displaystyle H, G}$ $H, G$ конечно генерируются, тогда $asdim (H) ≤ asdim (G) {\ displaystyle asdim (H) \ leq asdim (G)}$ ${\ displaystyle asdim (H) \ leq asdim (G)}$ .
Для группы Томпсона F мы имеем $asdim (F) = ∞ {\ displaystyle asdim (F) = \ infty}$ ${\ displaystyle asdim (F) = \ infty}$ , поскольку $F {\ displaystyle F}$ $F$ содержит подгруппы, изоморфные $Z n {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} }$ ${\ mathbb Z} ^ {n}$ для произвольно большого $n {\ displaystyle n}$ $n$ .
Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ - фундаментальная группа конечного графа группы $A { \ displaystyle \ mathbb {A}}$ $\ mathbb {A}$ с нижележащим графом $A {\ displaystyle A}$ $A$ и конечно сгенерированными группами вершин, тогда

asdim (G) ≤ 1 + max v ∈ VY asdim (A v) {\ displaystyle asdim (G) \ leq 1+ \ max _ {v \ in VY} asdim (A_ {v})}

{\ displaystyle asdim (G) \ leq 1+ \ max _ {v \ in VY} asdim (A_ {v})}

Группы классов отображения ориентируемых поверхностей конечного типа имеют конечную асимптотическую размерность.
Пусть $G {\ displaystyle G}$ $G$ будет связной группой Ли и пусть $Γ ≤ G {\ displaystyle \ Gamma \ leq G}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ leq G}$ - конечно порожденная дискретная подгруппа. Тогда $asdim (Γ) < ∞ {\displaystyle asdim(\Gamma)<\infty }$ ${\ displaystyle asdim (\ Gamma) <\ infty}$ .
Неизвестно, имеет ли $O ut (F n) {\ displaystyle Out (F_ {n})}$ ${\ displaystyle Out (F_ {n})}$ конечную асимптотическую размерность для $n>2 {\ displaystyle n>2}$ $n>2$ .

Ссылки

Дополнительная литература