В математике настоящие деревья (также называемый -trees ) - это класс метрических пространств обобщающих симплициальных деревья. Они естественным образом возникают во многих математических контекстах, в частности геометрической теории групп и теории вероятностей. Они также являются простейшими примерами гиперболических пространств Громова.
Содержание
- 1 Определение и примеры
- 1.1 Формальное определение
- 1.2 Простые примеры
- 2 В математическом контексте
- 2.1 Броуновские деревья
- 2.2 Ультрапределы метрических пространств
- 2.3 Предел групповых действий
- 2.4 Алгебраические группы
- 3 Обобщения
- 3.1 -деревья
- 3.2 Реальные здания
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
Определение и примеры
Формальное определение
Треугольник в реальном дереве
Метрическое пространство является настоящим деревом, если это геодезическое пространство, где каждый треугольник является треногой. То есть для каждых трех точек существует точка такой, что геодезические сегменты пересекаются в отрезке , а также . Это определение эквивалентно тому, что является «нулевым гиперболическим пространством» в смысле Громова (все треугольники «нулевые»). Реальные деревья также можно охарактеризовать топологическим свойством. Метрическое пространство является реальным деревом, если для любой пары точек все (топологические) вложения сегмента в такой, что иметь то же изображение (которое в таком случае является геодезическим сегментом от до ).
Простые примеры
- Если - граф с комбинаторной метрикой, то это настоящее дерево тогда и только тогда, когда оно является деревом (т. Е. у него нет циклов). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Они характеризуются следующим топологическим свойством: реальное дерево симплициально тогда и только тогда, когда множество особых точек (точки, дополнение которых в имеет три или более связанных компонента) дискретны в .
- R-дереве полученная следующим образом, несимплициальна. Начните с интервала [0,2] и приклейте для каждого положительного целого числа n интервал длины 1 / n к точке 1−1 / n в исходном интервале. Множество особых точек дискретно, но не может быть замкнутым, поскольку 1 - обычная точка в этом R-дереве. Приклейка интервала к 1 приведет к замкнутому набору особых точек за счет дискретности.
- Метрика Парижа превращает плоскость в настоящее дерево. Он определяется следующим образом: фиксируется начало координат , и если две точки находятся на одном луче, из их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат .
- В более общем смысле любое пространство ежа является примером реального дерево.
В математическом контексте
Реальные деревья часто появляются в различных ситуациях как пределы более классических метрических пространств.
Броуновское дерево
A Броуновское дерево почти наверняка является (не симплициальным) реальным деревом. Броуновские деревья возникают как пределы различных случайных процессов на конечных деревьях.
Абсолютные пределы метрических пространств
Любые сверхпределы последовательности из -гиперболические пробелы с - настоящее дерево. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства является вещественным деревом.
Предел групповых действий
Пусть будет группой. Для последовательности на основе -пространств существует понятие сходимости к основанному на -пространстве принадлежит М. Бествиной и Ф. Паулину. Когда пространства гиперболические и действия неограничены, предел (если он существует) - это реальное дерево.
Простой пример получается, если взять где - компактная поверхность, а универсальная обложка с метрикой (где - фиксированная гиперболическая метрика на ).
Это полезно для создания действий гиперболических групп на реальных деревьях. Такие действия анализируются с помощью так называемой машины Rips. Особый интерес представляет изучение вырождения групп, действующих должным образом прерывисто на реальном гиперболическом пространстве (это предшествует работам Рипса, Бествины и Полина и принадлежит Дж. Моргану и П. Шалену. ).
Алгебраические группы
Если - это поле с ультраметрической оценкой, тогда здание Брюа – Титса из - настоящее дерево. Это симплициально тогда и только тогда, когда оценки дискретны.
Обобщения
-trees
Если является Для полностью упорядоченной абелевой группы существует естественное понятие расстояния со значениями в (классические метрические пространства соответствуют ). Существует понятие -tree, которое восстанавливает симплициальные деревья (для ) и настоящие деревья (для ). Описана структура конечно определенных групп, свободно действующих на -деревья. В частности, такая группа свободно действует на некотором -дереве.
Реальные здания
Аксиомы для здания можно обобщить, чтобы дать определение реального здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы симметрических пространств более высокого ранга или как строения Брюа-Титса групп более высокого ранга над значными полями.
См. Также
Ссылки