Аполлоническая прокладка

Пример аполлонической прокладки

В математике аполлоническая прокладка или аполлоническая сеть - это фрактал, сгенерированный, начиная с тройки окружностей, каждая из которых касается двух других, и последовательно заполняет больше окружностей, каждая касательная к другой три. Он назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

• 1 Конструкция
• 2 Кривизна
• 3 Вариации
• 4 Симметрии
• 5 Связи с гиперболической геометрией
• 6 Целостные аполлонические упаковки кругов
  • 6.1 Симметрия целостных аполлонических круговых упаковок
    • 6.1.1 Отсутствие симметрии
    • 6.1.2 D 1 симметрия
    • 6.1.3 D 2 симметрия
    • 6.1.4 D 3 симметрия
    • 6.1.5 Почти-D 3 симметрия
  • 6.2 Последовательные кривизны
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Взаимно касательные окружности. Даны три касательных друг к другу окружности (черный ), как правило, есть еще две других окружности, касательные к ним (красный ).

Аполлоновскую прокладку можно построить следующим образом. Начните с трех окружностей C 1, C 2 и C 3, каждый из которых касается двух других (в общей конструкции эти три окружности должны быть разных размеров, и они должны иметь общую касательную). Аполлоний обнаружил, что есть две другие непересекающиеся окружности, C 4 и C 5, которые обладают тем свойством, что они касаются всех трех окружностей. исходные круги - они называются аполлоническими кругами. Добавив два аполлонических круга к исходным трем, мы получим пять кругов.

Возьмем один из двух аполлонических кругов - скажем C 4. Он касается C 1 и C 2, поэтому тройка окружностей C 4, C 1 и C 2 имеет свои два аполлонических круга. Мы уже знаем один из них - это C 3 - но другой новый круг C 6.

Аналогичным образом мы можем построить еще один новый круг C 7, который касается C 4, C 2 и C 3 и еще один кружок C 8 из C 4, C 3 и C 1. Это дает нам 3 новых круга. Мы можем построить еще три новых круга из C 5, получив в целом шесть новых кругов. Вместе с кругами от C 1 до C 5 это дает в общей сложности 11 кругов.

Продолжая поэтапное построение таким образом, мы можем добавить 2 · 3 новых круга на этапе n, что в сумме даст 3 + 2 круга после n этапов. В пределе этот набор кругов является прокладкой Аполлона.

Размеры новых кругов определяются теоремой Декарта. Пусть k i (для i = 1,..., 4) обозначает кривизны четырех взаимно касательных окружностей. Тогда теорема Декарта утверждает, что

$(k\; 1\; +\; k\; 2\; +\; k\; 3\; +\; k\; 4)\; 2\; =\; 2\; (k\; 1\; 2\; +\; k\; 2\; 2\; +\; k\; 3\; 2\; +\; k\; 4\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\; +\; k\_\; \{3\}\; +\; k\_\; \{4\})\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash ,\; (k\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; k\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}).\}$

(1)

Аполлоновская прокладка имеет размерность Хаусдорфа около 1,3057.

Кривизна окружности (изгиба) определяется как обратная ее радиусу.

• Отрицательная кривизна означает, что все остальные окружности касаются этой окружности изнутри. Это ограничивающая окружность.
• Нулевая кривизна дает линию (окружность с бесконечным радиусом).
• Положительная кривизна указывает, что все остальные окружности касаются этой окружности снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В предельном случае (0,0,1,1) две самые большие окружности заменяются параллельными прямыми линиями. В результате получается семейство кругов Форда. упаковка аполлонической сферы

Аполлоновская прокладка также может быть построена путем замены одной из образующих окружностей прямой линией, которую можно рассматривать как круг, проходящий через точку в бесконечность.

В качестве альтернативы, две образующие окружности могут быть заменены параллельными прямыми линиями, которые можно рассматривать как касательные друг к другу на бесконечности. В этой конструкции дополнительные круги образуют семейство кругов Форда.

Трехмерным эквивалентом аполлонической прокладки является упаковка сфер Аполлона.

Если две из исходные образующие круги имеют тот же радиус, а третий круг имеет радиус, который составляет две трети этого, тогда аполлоническая прокладка имеет две линии отражающей симметрии; одна линия - линия, соединяющая центры одинаковых окружностей; другая - их касательная, проходящая через центр третьего круга. Эти линии перпендикулярны друг другу, поэтому аполлоническая прокладка также имеет вращательную симметрию степени 2; группа симметрии этой прокладки D 2.

. Если все три исходных образующих окружности имеют одинаковый радиус, то аполлоновская прокладка имеет три линии отражающей симметрии; эти прямые являются взаимными касательными каждой пары окружностей. Каждая взаимная касательная также проходит через центр третьего круга и общий центр первых двух аполлонических кругов. Эти линии симметрии расположены под углами в 60 градусов друг к другу, поэтому аполлоническая прокладка также имеет вращательную симметрию степени 3; группа симметрии этой прокладки - D 3.

Три образующих окружности, а следовательно, и вся конструкция, определяются положением трех точек, в которых они касаются друг друга. Поскольку существует преобразование Мёбиуса, которое отображает любые три заданные точки на плоскости в любые другие три точки, и поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют окружности, то существует преобразование Мёбиуса, которое переводит любые две аполлоновские прокладки друг в друга.

Преобразования Мёбиуса также являются изометриями гиперболической плоскости , поэтому в гиперболической геометрии все аполлоновские прокладки конгруэнтны. Таким образом, в некотором смысле существует только одна аполлоновская прокладка с точностью до (гиперболической) изометрии.

Аполлоническая прокладка является предельным набором группы преобразований Мёбиуса, известной как группа Клейниана.

• 

  Интегральная аполлоническая упаковка кругов, определяемая кругом кривизной из (−1, 2, 2, 3)

• 

  Интегральная аполлоническая упаковка окружностей, определяемая кривизнами окружности (−3, 5, 8, 8)

• 

  Интегральная аполлоническая упаковка окружностей, определяемая кривизнами окружностей (-12, 25, 25, 28)

• 

  Интегральная аполлоническая упаковка окружностей, определяемая кривизнами окружности (−6, 10, 15, 19)

• 

  Интегральная аполлоническая упаковка окружностей, определяемая кривизнами окружностей (-10, 18, 23, 27)

Если любые четыре касательных друг к другу окружности в аполлонической прокладке имеют целочисленную кривизну, тогда все круги в прокладке будут иметь целочисленную кривизну. Поскольку уравнение, связывающее кривизну в аполлоновой прокладке, целое или нет, имеет вид

$a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; +\; d\; 2\; =\; 2\; ab\; +\; 2\; ac\; +\; 2\; ad\; +\; 2\; bc\; +\; 2\; bd\; +\; 2\; cd,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; =\; 2ab\; +\; 2ac\; +\; 2ad\; +\; 2bc\; +\; 2bd\; +\; 2cd,\; \backslash ,\}$

следует, что можно перейти от одна четверка искривлений в другую при прыжке Виета, точно так же, как при нахождении нового числа Маркова. Первые несколько из этих встроенных аполлонических прокладок перечислены в следующей таблице. В таблице указаны кривизны самых больших окружностей прокладки. Только первые три кривизны (из пяти, показанных в таблице) необходимы для полного описания каждой прокладки - все остальные кривизны могут быть получены из этих трех.

Интегральные аполлонические прокладки Начальные изгибы Симметрия -1, 2, 2, 3, 3 D2 -2, 3, 6, 7, 7 D1 -3, 4, 12, 13, 13 D1 −3, 5, 8, 8, 12 D1 −4, 5, 20, 21, 21 D1 −4, 8, 9, 9, 17 D1 - 5, 6, 30, 31, 31 D1 −5, 7, 18, 18, 22 D1 −6, 7, 42, 43, 43 D1 −6, 10, 15, 19, 19 D1 −6, 11, 14, 15, 23 C1 −7, 8, 56, 57, 57 D1 −7, 9, 32, 32, 36 D1 −7, 12, 17, 20, 24 C1 −8, 9, 72, 73, 73 D1 −8, 12, 25, 25, 33 D1 −8, 13, 21, 24, 28 C1 −9, 10, 90, 91, 91 D1 −9, 11, 50, 50, 54 D1 −9, 14, 26, 27, 35 C1 −9, 18, 19, 22, 34 C1 −10, 11, 110, 111, 111 D1 −10, 14, 35, 39, 39 D1 −10, 18, 23, 27, 35 C1 −11, 12, 132, 133, 133 D1 −11, 13, 72, 72, 76 D1 −11, 16, 36, 37, 45 C1 −11, 21, 24, 28, 40 C1 −12, 13, 156, 157, 157 D1 −12, 16, 49, 49, 57 D1 −12, 17, 41, 44, 48 C1 −12, 21, 28, 37, 37 D1 −12, 21, 29, 32, 44 C1 −12, 25, 25, 28, 48 D1 −13, 14, 182, 183, 183 D1 −13, 15, 98, 98, 102 D1 −13, 18, 47, 50, 54 C1 −13, 23, 30, 38, 42 C1 −14, 15, 210, 211, 211 D1 −14, 18, 63, 67, 67 D1 -14, 19, 54, 55, 63 C1 -14, 22, 39, 43, 51 C1 -14, 27, 31, 34, 54 C1 -15, 16, 240, 241, 241 D1 −15, 17, 128, 128, 132 D1 −15, 24, 40, 49, 49 D1 −15, 24, 41, 44, 56 C1 - 15, 28, 33, 40, 52 C1 −15, 32, 32, 33, 65 D1

Симметрия целостных аполлоновских круговых упаковок

Нет симметрии

Если нет искривлений повторяются в пределах первых пяти, прокладка не содержит симметрии, которая представлена ​​группой симметрии C 1 ; прокладка, описываемая кривизной (-10, 18, 23, 27), является примером.

D1симметрия

Если два из пяти наибольших окружностей в прокладке имеют одинаковую кривизну, эта прокладка будет иметь симметрию D 1, что соответствует отражению вдоль диаметра ограничивающего круг, без вращательной симметрии.

D2симметрия

Если две разные кривизны повторяются в пределах первых пяти, прокладка будет иметь симметрию D 2 ; такая симметрия состоит из двух отражений (перпендикулярных друг другу) вдоль диаметров ограничивающей окружности с двойной симметрией поворота 180 °. Прокладка, описываемая кривизной (-1, 2, 2, 3), является единственной аполлонической прокладкой (с точностью до масштабного коэффициента), обладающей симметрией D 2.

D3симметрия

Целочисленных прокладок с симметрией D 3 не существует.

Если три окружности с наименьшей положительной кривизной имеют одинаковую кривизну, прокладка будет иметь симметрию D 3, что соответствует трем отражениям по диаметрам ограничивающей окружности (разнесенной на 120 °)., наряду с тройной вращательной симметрией 120 °. В этом случае отношение кривизны ограничивающей окружности к трем внутренним окружностям составляет 2√3 - 3. Поскольку это соотношение нерационально, ни одна целостная аполлоническая упаковка окружностей не обладает этой симметрией D 3, хотя многие упаковки подходят близко.

Почти-D 3 симметрия

(−15, 32, 32, 33) (−15, 32, 32, 33)

Рисунок слева представляет собой интегральную аполлоновскую прокладку, имеющую симметрию D 3. Тот же рисунок показан справа, с метками, указывающими кривизну внутренних окружностей, демонстрируя, что прокладка на самом деле обладает только симметрией D 1, общей для многих других интегральных аполлонических прокладок.

В следующей таблице перечислены другие из этих почти D 3 интегральных аполлонических прокладок. Последовательность имеет несколько интересных свойств, и в таблице перечислены факторизация кривизны вместе с множителем, необходимым для перехода от предыдущего набора к текущему. Абсолютные значения кривизны дисков "a" подчиняются рекуррентному соотношению a (n) = 4a (n - 1) - a (n - 2) (последовательность A001353 в OEIS ), из которого следует, что множитель сходится к √3 + 2 ≈ 3,732050807.

Интегральные аполлонические прокладки с симметрией, близкой к D 3

Кривизна					Коэффициенты				Множитель
a	b	c	d		a	b	d		a	b	c	d
−1	2	2	3		1 × 1	1 × 2	1 × 3		Н / П	Н / П	Н / П	Н / П
−4	8	9	9		2 × 2	2 × 4	3 × 3		4.000000000	4.000000000	4.500000000	3.000000000
−15	32	32	33		3 × 5	4x8	3x11		3.750000000	4.000000000	3.555555556	3.666666667
- 56	120	121	121		8 × 7	8 × 15	11 × 11		3,733333333	3,750000000	3,781250000	3,666666667
−209	450	450	451		11 × 19	15 × 30	11 × 41		3,732142857	3,750000000	3,719008264	3,727272727
−780	1680	1681	1681		30x26	30 × 56	41 × 41		3,732057416	3,733333333	3,735555556	3,727272727
- 2911	6272	6 272	6273		41 × 71	56 × 112	41 × 153		3,732051282	3,733333333	3.731112433	3.731707317
−10864	23408	23409	23409		112 × 97	112 × 209	153 × 153		3.732050842	3.732142857	3.732302296	3.731707317
-40545	87362	87362	87363		153 × 265	209 × 418	153 × 571		3.732050810	3.732142857	3.731983425	3.732026144

Последовательные искривления

Вложенные аполлонические прокладки

Для любого целого числа n>0 существует аполлонический прокладка, определяемая следующими кривизнами:. (−n, n + 1, n (n + 1), n ​​(n + 1) + 1).. Например, прокладки, обозначенные (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) и (−9, 10, 90, 91) все следуют этому образцу. Поскольку каждая внутренняя окружность, определяемая как n + 1, может стать ограничивающей окружностью (определяемой −n) в другой прокладке, эти прокладки могут быть. Это продемонстрировано на рисунке справа, который содержит эти последовательные прокладки с n от 2 до 20.

• теорему Декарта для кривизны взаимно касательных окружностей
• Ford круг, частный случай целостной аполлонической прокладки (0,0,1,1)
• треугольник Серпинского
• аполлоническая сеть, граф, полученный из конечных подмножеств аполлонической прокладки

1. ^Сатия, II, Бабочка в мире Иглесиаса Васиаса: История самого захватывающего квантового фрактала (Бристоль : IOP Publishing, 2016), стр. 5.
2. ^Макмаллен, Кертис Т. (3 октября 1997 г.). «Хаусдорфова размерность и конформная динамика III: Вычисление размерности », Abel.Math.Harvard.edu. Доступ: 27 октября 2018 г.
3. ^Счетные круги и эргодическая теория кляйновских групп Хи О Браун. Университет декабрь 2009 г.
4. ^Рональд Л. Грэм, Джеффри К. Лагариас, Колин М. Мэллоуз, Алан Р. Уилкс и Кэтрин Х. Ян; «Аполлонические упаковки кругов: теория чисел» J. Number Theory, 100 (2003), 1-45

• Бенуа Б. Мандельброт: фрактальная геометрия природы, WH Freeman, 1982, ISBN 0-7167-1186-9
• Пол Д. Бурк: «Введение во фрактал Аполлонии ». Компьютеры и графика, том 30, выпуск 1, январь 2006 г., страницы 134–136.
• Дэвид Мамфорд, Кэролайн Серия, Дэвид Райт: Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-35253-3
• Джеффри К. Лагариас, Колин Л. Мэллоус, Аллан Р. Уилкс: За гранью Теорема Декарта о круге, The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 4 (апрель 2002 г.), стр. 338–361, (arXiv: math.MG/0101066 v1 9 января 2001 г. )

Викибук Фракталы есть страница по теме: Аполлонические фракталы

• Вайсштейн, Эрик У. «Аполлоническая прокладка». MathWorld.
• Александр Богомольный, Apollonian Gasket, Cut-the-knot
• Интерактивная Apollonian Gasket, работающая на чистом HTML5 (ссылка мертва)
• (на английском языке) A Matlab сценарий для построения 2D аполлонической прокладки с n идентичными кругами с использованием инверсии круга
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Apollonian Gasket Майклом Скрайбером, The Wolfram Demonstrations Project.
• Interactive Apollonian Прокладка Демонстрация аполлонической прокладки, работающей на Java
• Дана Маккензи. Тискет, шкатулка, аполлоническая прокладка. Американский ученый, январь / февраль 2010 г.
• «Песок» рисует крупнейшее в мире произведение искусства », The Telegraph, 16 декабря 2009 г.. Газетный рассказ о n произведение искусства в виде частичной аполлонической прокладки с внешней окружностью девять миль.
• (на итальянском языке) Динамические аполлонические прокладки, Тартапелаго Джорджио Пьетрокола, 2014.