Аллегория (математика)

В математической области теории категорий аллегория - это категория, которая имеет некоторую структуру категории Rel из , устанавливает между ними и бинарные отношения. Аллегории можно использовать как абстракцию категорий отношений, и в этом смысле теория аллегорий является обобщением алгебры отношений на отношения между различными видами. Аллегории также полезны при определении и исследовании определенных конструкций в теории категорий, таких как точное завершение.

В этой статье мы принимаем соглашение, согласно которому морфизмы составляются справа налево, поэтому RS означает «сначала выполните S, затем выполните R».

• 1 Определение
• 2 Регулярные категории и аллегории
  • 2.1 Аллегории отношений в регулярных категориях
  • 2.2 Карты в аллегориях и таблицах
  • 2.3 Аллегории в единичных единицах и регулярные категории карт
  • 2.4 Более сложные виды аллегории
• 3 Ссылки

Аллегория - это категория, в которой

• каждый морфизм $R:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$связано с антиинволюцией, то есть с морфизмом $R\; \circ :\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; двоеточие\; Y\; \backslash \; к\; X\}$с $R\; \circ \; \circ \; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\; \backslash \; circ\}\; =\; R\}$и $(RS)\; \circ \; =\; S\; \circ \; R\; \circ ;\; \{\backslash \; displaystyle\; (RS)\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; S\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \{\backslash \; text\; \{;\}\}\}$и
• каждая пара морфизмов $R,\; S:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; R,\; S\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$с общим доменом / кодоменом связано с пересечением, т.е. морфизмом $R\; \cap \; S:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; cap\; S\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$

все такие, что

• пересечения являются идемпотентными : $R\; \cap \; R\; =\; R,\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; \backslash \; cap\; R\; =\; R,\}$коммутативный : $R\; \cap \; S\; =\; S\; \cap \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; cap\; S\; =\; S\; \backslash \; cap\; R,\}$и ассоциативный : $(R\; \cap \; S)\; \cap \; T\; =\; R\; \cap \; (S\; \cap \; T);\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; \backslash \; cap\; S)\; \backslash \; cap\; T\; =\; R\; \backslash \; cap\; (S\; \backslash \; cap\; T);\}$
• антиинволюция распределяет на пересечении: $(R\; \cap \; S)\; \circ \; =\; S\; \circ \; \cap \; R\; \circ ;\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; \backslash \; cap\; S)\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; S\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; cap\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\};\}$
• композиция полудистрибутивна на пересечении: $R\; (S\; \cap \; T)\; \subseteq \; RS\; \cap \; RT\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (S\; \backslash \; cap\; T)\; \backslash \; substeq\; RS\; \backslash \; cap\; RT\}$и $(R\; \cap \; S)\; T\; \subseteq \; RT\; \cap \; ST;\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; \backslash \; cap\; S)\; T\; \backslash \; substeq\; RT\; \backslash \; cap\; ST;\}$и
• выполняется закон модульности: $RS\; \cap \; T\; \subseteq \; (R\; \cap \; TS\; \circ )\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; RS\; \backslash \; cap\; T\; \backslash \; substeq\; (R\; \backslash \; cap\; TS\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; S.\}$

Здесь мы сокращаем, используя порядок, определяемый пересечением: $R\; \subseteq \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; Subteq\; S\}$означает $R\; =\; R\; \cap \; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; R\; \backslash \; cap\; S.\}$

Первым примером аллегории является категория множеств и отношений. объекты этой аллегории - это множества, а морфизм $X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; to\; Y\}$- это бинарное отношение между X и Y. Состав морфизмов - это композиция отношений, а антиинволюция $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это обратное отношение $R\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$: $y\; R\; \circ \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; yR\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; x\}$тогда и только тогда, когда $x\; R\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; xRy\}$. Пересечение морфизмов - это (теоретико-множественное) пересечение отношений.

Аллегории отношений в обычных категориях

В категории C отношение между объектами X и Y имеет значение диапазон морфизмов $X\; \leftarrow \; R\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; получает\; R\; \backslash \; to\; Y\}$, что вместе является monic. Два таких интервала $X\; \leftarrow \; S\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; получает\; от\; S\; \backslash \; до\; Y\}$и $X\; \leftarrow \; T\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; получает\; от\; T\; \backslash \; до\; Y\}$считаются эквивалентными, когда существует изоморфизм между S и T, который заставляет все коммутировать; строго говоря, отношения определяются только с точностью до эквивалентности (это можно формализовать либо с помощью классов эквивалентности, либо с помощью бикатегорий ). Если в категории C есть продукты, связь между X и Y - это то же самое, что мономорфизм в X × Y (или его класс эквивалентности). При наличии откатов и правильной системы факторизации можно определить состав отношений. Композиция $X\; \leftarrow \; R\; \to \; Y\; \leftarrow \; S\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; gets\; R\; \backslash \; to\; Y\; \backslash \; gets\; S\; \backslash \; to\; Z\}$находится при первом оттягивании коспана $R\; \to \; Y\; \leftarrow \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; to\; Y\; \backslash \; получает\; S\}$, а затем берется совместно-монический образ полученного диапазона $X\; \leftarrow \; R\; \leftarrow \; \bullet \; \to \; S\; \to \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; gets\; R\; \backslash \; gets\; \backslash \; bullet\; \backslash \; to\; S\; \backslash \; to\; Z.\}$

Состав отношений будет ассоциативным, если система факторизации будет достаточно стабильной. В этом случае можно рассматривать категорию Rel (C) с теми же объектами, что и C, но где морфизмы - это отношения между объектами. Отношения тождества - это диагонали $X\; \to \; X\; \times \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; to\; X\; \backslash \; times\; X.\}$

A обычная категория (категория с конечными пределами и изображениями, в которой покрытия стабильны при откате) имеет стабильную регулярную систему факторизации epi / mono. Категория отношений для обычной категории всегда является аллегорией. Антиинволюция определяется поворотом источника / цели отношения, а пересечения - это пересечения подобъектов, вычисленные путем отката.

Карты в аллегориях и таблицах

Морфизм R в аллегории A называется картой, если он является целым $(1\; \subseteq \; R\; \circ \; R)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (1\; \backslash \; substeq\; R\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; R)\}$и детерминированный $(RR\; \circ \; \subseteq \; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (RR\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; substeq\; 1).\}$Другой способ сказать это: карта - это морфизм, который имеет правый сопряженный в A, когда A является рассматривается, используя местную структуру заказа, как 2 категории. Карты в аллегории закрыты по идентичности и композиции. Таким образом, существует подкатегория Map (A) категории A с теми же объектами, но только с картами в качестве морфизмов. Для регулярной категории C существует изоморфизм категорий $C\; \cong \; Map\; \; (Rel\; \; (C)).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Map\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Rel\}\; (C)).\}$В частности, морфизм в Map (Rel (Set )) просто обычная функция set.

В аллегории морфизм $R:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$табулирован пара карт $f:\; Z\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; Z\; \backslash \; to\; X\}$и $g:\; Z\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; двоеточие\; Z\; \backslash \; to\; Y\}$если $gf\; \circ \; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; gf\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; R\}$и $f\; \circ \; f\; \cap \; g\; \circ \; g\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; f\; \backslash \; cap\; g\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; g\; =\; 1.\}$Аллегория называется табличной, если каждый морфизм имеет табуляцию. Для обычной категории C аллегория Rel (C) всегда таблична. С другой стороны, для любой табличной аллегории A категория Map (A) карт является локальной регулярной категорией: у нее есть откаты, эквалайзеры и изображения, устойчивые при откате. Этого достаточно, чтобы изучить отношения в Map (A), и в этой настройке $A\; \cong \; Rel\; \; (Map\; \; (A)).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Rel\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Map\}\; (A)).\}$

Единичные аллегории и обычные категории карт

A unit в аллегории - это объект U, для которого идентичность - это самый большой морфизм $U\; \to \; U,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; to\; U,\}$и такой, что от любого другого объекта существует полное отношение к U. Аллегория с единицей называется унитальный . Учитывая табличную аллегорию A, категория Map (A) является обычной категорией (она имеет конечный объект ) тогда и только тогда, когда A является унитальным.

Более сложные виды аллегории

Дополнительные свойства аллегорий могут быть аксиоматизированы. Распределительные аллегории имеют операцию, подобную объединению, которая хорошо себя ведет, а аллегории деления имеют обобщение операции деления алгебры отношений. Аллегории власти - это аллегории распределительного деления с дополнительной структурой, подобной powerset. Связь между аллегориями и регулярными категориями может быть развита в связь между аллегориями власти и топосами.

• Питер Фрейд, Андре Щедров (1990). Категории, Аллегории. Математическая библиотека, том 39. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-70368-2.

• Питер Джонстон (2003). Эскизы слона: сборник теории топоса. Оксфордские научные публикации. ОУП. ISBN 0-19-852496-X.