Теорема Уайтхеда

редактировать

Когда отображение, которое индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах, является гомотопической эквивалентностью

В теории гомотопии (ветвь математика ), теорема Уайтхеда утверждает, что если непрерывное отображение f между комплексами CW X и Y индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах, то f является гомотопической эквивалентностью. Этот результат был доказан Дж. Х. К. Уайтхед в двух важных статьях 1949 года и дает обоснование для работы с концепцией комплекса CW, которую он там представил. Это модельный результат алгебраической топологии, в которой поведение некоторых алгебраических инвариантов (в данном случае гомотопических групп) определяет топологическое свойство отображения.

Содержание

1 Утверждение
2 Пространства с изоморфными гомотопическими группами могут не быть гомотопическими эквивалентными
3 Обобщение на категории моделей
4 Ссылки

Утверждение

Более подробно, пусть X и Y - топологические пространства. Дано непрерывное отображение

f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}

от f \ двоеточия X \ до Y

и точка x в X, рассмотрим для любого n ≥ 1 индуцированный гомоморфизм

f ∗ : π N (X, x) → π N (Y, f (x)), {\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to \ pi _ {n} (Y, f (x)),}

{\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X, x) \ to \ pi _ {n} (Y, е (х)),}

где π n (X, x) обозначает n-ю гомотопическую группу X с базовой точкой x. (Для n = 0, π 0 (X) означает просто набор компонентов пути X.) Отображение f является слабой гомотопической эквивалентностью, если функция

f *: π 0 (X) → π 0 (Y) {\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {0} (X) \ to \ pi _ {0} (Y)}

{\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {0} (X) \ to \ pi _ {0} (Y)}

является биективным, а гомоморфизмы f * биективны для всех x в X и всех n ≥ 1. (Для X и Y линейно-связанных первое условие автоматическое, и достаточно сформулировать второе условие для единственной точки x в X.) Теорема Уайтхеда утверждает, что слабая гомотопическая эквивалентность одного комплекса CW другому является гомотопической эквивалентностью. (То есть отображение f: X → Y имеет гомотопический обратный g: Y → X, что совсем не ясно из предположений.) Отсюда следует тот же вывод для пространств X и Y, гомотопически эквивалентных CW-комплексам.

Объединение этого с теоремой Гуревича дает полезное следствие: непрерывное отображение $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $от f \ двоеточия X \ до Y$ между односвязными CW комплексами, индуцирующими изоморфизм на всех целых группах гомологии, является гомотопической эквивалентностью.

Пространства с изоморфными гомотопическими группами могут не быть гомотопически эквивалентными

Предупреждение: недостаточно предположить, что π n (X) изоморфно π n (Y) для каждого n, чтобы сделать вывод, что X и Y гомотопически эквивалентны. Действительно нужно отображение f: X → Y, индуцирующее изоморфизм на гомотопических группах. Например, возьмем X = S × RP и Y = RP × S. Тогда X и Y имеют одну и ту же фундаментальную группу, а именно циклическую группу Z/ 2., и та же универсальная крышка, а именно S × S; таким образом, они имеют изоморфные гомотопические группы. С другой стороны, их группы гомологии различны (как видно из формулы Кюннета ); таким образом, X и Y не гомотопически эквивалентны.

Теорема Уайтхеда не верна для общих топологических пространств или даже для всех подпространств в R . Например, варшавский круг, компактное подмножество плоскости, имеет нулевые гомотопические группы, но отображение варшавского круга в одну точку не является гомотопической эквивалентностью. Изучение возможных обобщений теоремы Уайтхеда на более общие пространства является частью предмета теории форм.

Обобщение на категории моделей

В любой категории моделей слабая эквивалентность между кофибрантно-фибрантными объектами существует гомотопическая эквивалентность.

Ссылки

J. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. И., Бык. Амер. Математика. Soc., 55 (1949), 213–245
J. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. II., Bull. Амер. Математика. Soc., 55 (1949), 453–496
А. Хэтчер, Алгебраическая топология, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 pp. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0 (см. Теорему 4.5)