Вязкостный раствор

В математике концепция вязкостного раствора была введена в начале 1980-х годов Пьер-Луи Лионс и Майкл Г. Крэндалл как обобщение классической концепции того, что подразумевается под «решением» уравнения в частных производных (PDE). Было обнаружено, что вязкостное решение является естественной концепцией решения для использования во многих приложениях PDE, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие в динамическом программировании (уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана ), дифференциальные игры (the) или задачи эволюции фронта, а также уравнения второго порядка, такие как те, которые возникают в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх.

Классическая концепция заключалась в том, что PDE

$F\; (x,\; u,\; D\; u,\; D\; 2\; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; u,\; Du,\; D\; ^\; \{2\}\; u)\; =\; 0\}$

в области $x\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$имеет решение, если мы можем найти функцию u (x) непрерывной и дифференцируемая по всему домену, так что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, $D\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; Du\}$, $D\; 2\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; u\; \}$удовлетворяют вышеуказанному уравнению в каждой точке.

Если скалярное уравнение является вырожденным эллиптическим (определено ниже), можно определить тип слабого решения, называемого вязкостным решением. Согласно концепции вязкостного раствора, u не обязательно должна быть везде дифференцируемой. Могут быть точки, в которых $D\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; Du\}$или $D\; 2\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; u\}$еще не существует, но u удовлетворяет уравнению в подходящем обобщенном смысле. Определение допускает только определенный вид особенностей, так что существование, единственность и устойчивость при однородных пределах справедливы для большого класса уравнений.

• 1 Определение
• 2 Пример
  • 2.1 Обсуждение
• 3 Основные свойства
• 4 История
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкости растворов. См., Например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера или определение с использованием полуструй в Руководстве пользователя.

Вырожденный эллипс

Уравнение $F\; (x,\; u,\; D\; u,\; D\; 2\; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; u,\; Du,\; D\; ^\; \{2\}\; u)\; =\; 0\}$в домене $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$определяется как вырожденный эллиптический, если для любых двух симметричных матриц $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$таких, что $Y\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; YX\}$равно положительно определенному, и любые значения $x\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$, $u\; \in \; R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $p\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, мы имеем неравенство $F\; (x,\; u,\; p,\; X)\; \ge \; F\; (x,\; u,\; p,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; u,\; p,\; X)\; \backslash \; geq\; F\; (x,\; u,\; p,\; Y)\}$. Например, $-\; \Delta \; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\; u\; =\; 0\}$является вырожденным эллипсом, поскольку в этом случае $F\; (x,\; u,\; p,\; X)\; =\; -\; след\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; u,\; p,\; X)\; =\; -\; \{\backslash \; text\; \{trace\}\}\; (X)\}$и след из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- сумма его собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является вырожденным эллиптическим.

Подрешением

полунепрерывной сверху функцией $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$в $\Omega \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$определяется как субрешение вырожденного эллиптического уравнения в смысле вязкости, если для любой точки $x\; 0\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$и любые $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{2\}\}$function $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$такие, что $\varphi \; (Икс\; 0)\; знак\; равно\; U\; (Икс\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\})\; =\; u\; (x\_\; \{0\})\}$и $\varphi \; \ge \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; geq\; u\}$в окрестности из $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, мы имеем $F\; (x\; 0,\; \varphi \; (\; Икс\; 0),\; D\; \varphi \; (x\; 0),\; D\; 2\; \varphi \; (x\; 0))\; \le \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\},\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}),\; D\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}),\; D\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; leq\; 0\}$.

сверхвысокое разрешение

A полунепрерывная снизу функция $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$в $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$определяется как суперрешение вырожденного эллипса уравнение c в смысле вязкости, если для любой точки $x\; 0\; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$и любой $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{2\}\; \}$функция $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$такая, что $\varphi \; (x\; 0)\; =\; u\; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\})\; =\; u\; (x\_\; \{0\})\}$и $\varphi \; \le \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; leq\; u\}$в окрестности из $Икс\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, мы имеем $F\; (x\; 0,\; \varphi \; (x\; 0),\; D\; \varphi \; (x\; 0),\; D\; 2\; \varphi \; (x\; 0))\; \ge \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\},\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}),\; D\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}),\; D\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; geq\; 0\}$.

Решение вязкости

A непрерывная функция u - решение вязкости PDE, если оно одновременно является суперрешением и субрешением.

Рассмотрим краевую задачу $|\; u\; \prime \; (x)\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; u\; \text{'}(x)\; |\; =\; 1\}$или $F\; (u\; \prime )\; =\; |\; u\; \prime \; |\; -\; 1\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u\; \text{'})\; =\; |\; u\text{'}\; |\; -1\; =\; 0\}$, на $(-\; 1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1,1)\}$с граничными условиями $u\; (-\; 1)\; =\; u\; (1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (-1)\; =\; u\; (1)\; =\; 0\}$. Функция $u\; (x)\; =\; 1\; -\; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; 1-\; |\; x\; |\}$- раствор с уникальной вязкостью. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что граничные условия выполнены, и $|\; u\; \prime \; (x)\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; u\; \text{'}(x)\; |\; =\; 1\}$четко определен внутри, за исключением $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$. Таким образом, остается показать, что условия субрешения и суперрешения выполняются при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$.

Сначала предположим, что $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \}$- любая функция, дифференцируемая по $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$с $\varphi \; (0)\; =\; u\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; фи\; (0)\; знак\; равно\; и\; (0)\; =\; 1\}$и $\varphi \; (х)\; \ge \; и\; (х)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; geq\; u\; (x)\}$рядом с $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$. Из этих предположений следует, что $\varphi \; (x)\; -\; \varphi \; (0)\; \ge \; -\; |\; х\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; фи\; (х)\; -\; \backslash \; фи\; (0)\; \backslash \; geq\; -\; |\; х\; |\}$. Для положительного $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$это неравенство подразумевает $lim\; x\; \to \; 0\; +\; \varphi \; (x)\; -\; \varphi \; (0)\; x\; \ge \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; (x)\; -\; \backslash \; phi\; (0)\}\; \{x\}\}\; \backslash \; geq\; -1\}$, используя это $|\; х\; |\; /\; x\; =\; sgn\; (x)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; /\; x\; =\; sgn\; (x)\; =\; 1\}$для $x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; x>0\}$. С другой стороны, для , мы имеем, что $lim\; x\; \to \; 0\; -\; \varphi \; (x)\; -\; \varphi \; (0)\; x\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{-\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; (\; x)\; -\; \backslash \; phi\; (0)\}\; \{x\}\}\; \backslash \; leq\; 1\}$. Поскольку $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$является дифференцируемым, левый и правый пределы совпадают и равны $\varphi \; \prime \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \text{'}(0)\}$, поэтому мы заключаем, что $|\; \varphi \; \prime \; (0)\; |\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; phi\; \text{'}(0)\; |\; \backslash \; leq\; 1\}$, то есть $F\; (\varphi \; \prime )\; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; phi\text{'})\; \backslash \; leq\; 0\}$. Таким образом, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$является субрешением. Более того, тот факт, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$является сверхрешением, остается пустым, поскольку существует нет функции $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$дифференцируемой в $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$с $\varphi \; (0)\; =\; u\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (0)\; =\; u\; (0)\; =\; 1\}$и $\varphi \; (x)\; \le \; u\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; leq\; u\; (x)\}$рядом с $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; х\; =\; 0\}$. Это означает, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$представляет собой раствор для определения вязкости.

Обсуждение

Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение эйконала в одном пространственном измерении с $f\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 1\; \}$, где решение, как известно, является функцией расстояния со знаком до границы области. Также обратите внимание на важность знака $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$в предыдущем примере. В частности, решение по вязкости для PDE $-\; F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -F\; =\; 0\}$с теми же граничными условиями: $u\; (x)\; =\; |\; х\; |\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; |\; x\; |\; -1\}$. Это можно объяснить, заметив, что решение $u\; (x)\; =\; 1\; -\; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; 1-\; |\; x\; |\}$- это предельное решение проблемы исчезающей вязкости $F\; (u\; \prime )\; =\; [u\; \prime ]\; 2\; -\; 1\; =\; ϵ\; u\; ″\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\; (u\; \text{'})\; =\; [u\text{'}]\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; \backslash \; epsilon\; u\; \text{'}\text{'}\}$как $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$переходит в ноль, а $u\; (x)\; =\; |\; х\; |\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; |\; x\; |\; -1\}$- предельное решение проблемы исчезающей вязкости $-\; F\; (u\; \prime )\; =\; 1\; -\; [u\; \prime ]\; 2\; =\; ϵ\; и\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; -F\; (u\; \text{'})\; =\; 1-\; [u\text{'}]\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; epsilon\; u\; \text{'}\text{'}\}$. Легко подтвердить, что $u\; ϵ\; (x)\; =\; ϵ\; [ln\; \; (cosh\; \; (1\; /\; ϵ))\; -\; ln\; \; (cosh\; \; (x\; /\; ϵ))\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; (x)\; =\; \backslash \; epsilon\; [\backslash \; ln\; (\backslash \; cosh\; (1\; /\; \backslash \; epsilon))\; -\; \backslash \; ln\; (\backslash \; ch\; (x\; /\; \backslash \; epsilon))\}$решает PDE $F\; (u\; \prime )\; =\; [u\; \prime ]\; 2-1\; =\; ϵ\; u\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u\; \text{'})\; =\; [u\text{'}]\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; \backslash \; epsilon\; u\; \text{'}\text{'}\}$для каждого эпсилона. Далее, семейство решений $u\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\}$сходится к решению $u\; =\; 1\; -\; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 1-\; |\; x\; |\}$как $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$исчезает (см. рисунок).

Три основных свойства вязкостных растворов - это существование, уникальность и стабильность.

• уникальность решений требует некоторых дополнительных структурных предположений в отношении уравнения. Тем не менее, это можно показать для очень большого класса вырожденных эллиптических уравнений. Это прямое следствие принципа сравнения. Вот несколько простых примеров, когда выполняется принцип сравнения:

1. $u\; +\; H\; (x,\; \nabla \; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; +\; H\; (x,\; \backslash \; nabla\; u)\; =\; 0\}$с H равномерно непрерывный в x.
2. (равномерно эллиптический случай) $F\; (D\; 2\; u,\; D\; u,\; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (D\; ^\; \{2\}\; u,\; Du,\; u)\; =\; 0\}$так, чтобы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$был липшицевым по отношению ко всем переменным и для каждого $r\; \le \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; leq\; s\}$и $Икс\; \ge \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; geq\; Y\}$, $F\; (Y,\; p,\; s)\; \ge \; F\; (X,\; p,\; r)\; +\; \lambda \; |\; |\; X\; -\; Y\; |\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (Y,\; p,\; s)\; \backslash \; geq\; F\; (X,\; p,\; r)\; +\; \backslash \; lambda\; ||\; XY\; ||\}$для некоторых $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda>0\}$.

• Существование решений выполняется во всех случаях, когда соблюдается принцип сравнения и граничные условия могут быть выполнены каким-либо образом (через барьерные функции в случае Граничное условие Дирихле ). Для уравнений первого порядка оно может быть получено с помощью этого метода, а для большинства уравнений - с помощью метода Перрона. Существует обобщенное понятие граничного условия в смысле вязкости. Решение краевой задачи с обобщенные граничные условия разрешимы, когда выполняется принцип сравнения.
• стабильность решений в $L\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$выполняется следующим образом: локально равномерный предел последовательности решений (или s ubsolutions, или supersolutions) - это решение (или субрешение, или суперрешение). В более общем плане понятие вязкости суб- и сверхрастворя также сохраняется за счет полуслабых пределов.

Термин вязкие растворы впервые появился в работе Майкла Г. Крэндалла и Пьер-Луи Лионс в 1983 г. относительно уравнения Гамильтона – Якоби. Название оправдано тем, что существование решения было получено методом. Фактически определение решения было дано ранее Лоуренсом К. Эвансом в 1980 году. Впоследствии определение и свойства вязкостных решений для уравнения Гамильтона – Якоби были уточнены в совместной работе Крэндалла, Эванса и Лионса в 1984.

В течение нескольких лет работа над решениями вязкости была сосредоточена на уравнениях первого порядка, поскольку не было известно, будут ли эллиптические уравнения второго порядка иметь уникальное решение вязкости, за исключением очень частных случаев. Прорывным результатом стал метод, представленный в 1988 г. для доказательства принципа сравнения с использованием регуляризованной аппроксимации решения, которое имеет вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства это достигается с помощью суп-сверток и теоремы Александрова ).

В последующие годы концепция вязкостного раствора становится все более распространенной в анализе вырожденных эллиптических УЧП. Основываясь на их свойствах устойчивости, Барлес и Суганидис получили очень простое и общее доказательство сходимости конечно-разностных схем. Другие свойства регулярности вязкости были получены решения, особенно в равномерно эллиптическом случае с работой Луиса Каффарелли. Вязкостные решения стали центральным понятием в изучении эллиптических уравнений в частных производных. В частности, вязкостные решения важны при изучении бесконечности Лапласиан.

В современном подходе существование решений чаще всего достигается через метод Перрона. метод. Метод исчезающей вязкости вообще не применим для уравнений второго порядка, поскольку добавление искусственной вязкости не гарантирует существования классического решения. Более того, определение вязкости растворов обычно не связано с физической вязкостью. Тем не менее, хотя теория вязких растворов иногда считается не связанной с вязкими жидкостями, безвихревые жидкости действительно могут быть описаны уравнением Гамильтона-Якоби. В этом случае вязкость соответствует объемной вязкости безвихревой несжимаемой жидкости. Другие названия, которые были предложены, были решениями Крэндалла – Лайонса в честь их пионеров, $L\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$-слабые решения, ссылаясь на их свойства устойчивости, или сравнение решения, ссылаясь на их наиболее характерное свойство.

• N. Надирашвили, Полностью нелинейные эллиптические уравнения